Akar Persamaan f(x)=0 Metode AITKEN Percepatan dari metode iterasi Disebut juga proses Aitken 2 Formula xi+2 = xi+1 – (xi)2/ 2xi-1 Contoh, Gunakan Metode Aitken untuk mencari akar pendekatan dari x2-6x+8=0, 4 desima, dengan bentuk x=(x2+8)/6. a. pakai titik awal xo = 1 b. pakai titik awal xo = 5.
n xn G(xn) |xn -g(xn)| 1 1,5 0,5 1,7083 0,2083 2 1,8197 0,1114 n xn x Jawab: Tabel sebelumnya: ni ditulis dlm btk. tabel: X3=1,7083- (0,2083)2/(-0,2917) = 1,8570 b = ?. n xn G(xn) |xn -g(xn)| 1 1,5 0,5 1,7083 0,2083 2 1,8197 0,1114 n xn x 2x 1 0,5 1,5 0,2083 -0,2917 2 1,7083
Akar Persamaan f(x) = 0 Metode Newton Raphson Bisa menyelesaikan bentuk f(x)=0 dan x=g(x) Hanya memerlukan satu ttk. Awal dan kondisi berhenti . Tidak selalu konvergen, bisa divergen Apabila konvergen lebih cepat dari Bisection maupun Iterasi.
y=f(x) y x xo 1 2 3 divergen konvergen x Bentuk f(x)=0 - Sama seperti mencari titik potong antara kurva y=f(x) dengan sb.x (y=0)
Metode Newton Raphson dpt. dipakai jika: - Nilai awal xo cukup dekat dgn akar eksak - nilai f’’(x) tidak membesar terus menerus - nilai f’(x) tidak mendekati nol. - | (f(x).f’’(x))/(f’(x))2| < 1. - iterasnya: xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn) - iterasi berhenti bila |f(xn)|≤
Contoh : Cari akar pendekatan x2-6x+8=0, y=f(x) y x xo 1 2 3 y=x konvergen Contoh : Cari akar pendekatan x2-6x+8=0, ttk.awal xo =1, =0,001, 4 desimal.
Jawab: x2-6x+8=0 f’(x) = 2x-6 xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn) Nilai f(x3) = 0,0006 ≤ 0,001, sehingga nilai pendekatan adalah 1,9997. (hanya 3 iterasi). n xn f(xn) 1 3 1,75 0,5625 2 1,975 0,0506 1,9997 0,0006
b. Bentuk x=g(x). - Mencari ttk. Potong kurva y=g(x) dengan grs.y=x. - Metode Newton Raphson dpt. dipakai jika: - Nilai awal xo cukup dekat dgn akar eksak - nilai g’’(x) tidak membesar terus menerus - nilai g’(x) tidak mendekati nol. - | (g’’(x))(g(x)-x)/(1-g’(x))2| < 1. - iterasnya: xn+1 = (g(xn)– xn g’(xn))/(1-g’(xn)) - iterasi berhenti bila |xn – g(xn)|≤
y=g(x) y x Xo, 2, 4,.. X1,3,5.. y=x divergen Contoh : Gunakan Metode Newton Raphson untuk menyelesaikan akar pendekatan x2-6x+8=0, ttk.awal xo =1, =0,001, 4 desimal, dengan bentuk x= (x2+8)/6.