4 Peubah Acak Kontinyu dan Sebaran Peluangnya Chapter 4 Title and Outline

Peubah Acak Kontinyu Contoh: Panjang produk hasil produksi mesin tidak akan pernah sama persis. Dapat saja disebabkan oleh Getaran, fluktuasi suhu ruang, perbedaan operator mesin, kalibrasi mesin, alat pemotong atau perubahan bahan mentah. Jika panjang produk dinotasikan dengan X, maka: X adalah peubah acak kontinyu dengan salah satu nilai pada selang (terbatas atau tak terbatas) dari bilangan riil. Kemungkinan nilai X pada selang tersebut tak terhingga banyaknya dan tergantung pada ketepatan alat pengukuran.

Fungsi Kepekatan Peluang Sebaran peluang peubah acak kontinyu digambarkan oleh fungsi kepekatan yang sifatnya kontinyu Fungsi kepekatan peluang, berbeda dengan fungsi massa (diskrit), menyebarkan peluang secara kontinyu sepanjang selang tertentu. Peluang di antara dua titik adalah luasan kurva di antara dua titik: integral dari fungsi tsb di antara dua titik

Fungsi kepekatan peluang f(x) menggambarakan sebaran peluang dari peubah acak kontinyu. Peluang ditentukan dari luas daerah di bawah kurva f(x) dari a ke b.

Peubah Acak Kontinyu Sifat-sifat fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinyu: Perhitungan peluang bagi kejadian A: Luasan daerah A di bawah kurva f(x) Mis: A = {a < X < b}

Fungsi sebaran kumulatif yang bersesuaian dengan fungsi kepekatan peluang: Peluang X berada pada selang tertentu dapat dihitung berdasarkan sebaran kumulatif

Contoh: Arus Listirk Misalkan peubah acak X merupakan arus yang melewati suatu kabel dalam mA. Diasumsikan bahwa kisaran nilai X adalah 0 ≤ x ≤ 20 dan f(x) = 0.05. Berapa peluang bahwa arus yang melewati suatu kabel akan kurang dari 10 mA? Figure 4-4 P(X < 10) adalah luasan di bawah kurva berarsir biru.

Contoh: Arus Listrik Fungsi sebaran kumulatif bagi sebaran peluang peubah acak X arus listrik dapat dinyatakan dalam 3 selang di bawah ini:

Ukuran-ukuran Penting Pada Suatu Sebaran Peluang Mean adalah ukuran pemusatan dari suatu sebaran peluang. Varians adalah ukuran ketersebaran dari suatu sebaran peluang. Akarnya adalah simpangan baku

Sebaran Seragam Kontinyu Sebaran paling sederhana yang setara dengan sebaran seragam di kasus diskrit. Suatu peubah acak X yang mempunyai peluang sama sepanjang selang a sampai dengan b, dengan fungsi kepekatan peluang: f(x) = 1 / (b-a) for a ≤ x ≤ b (4-6) Figure 4-8 Fungsi kepekatan peluang peubah acak seragam kontinyu

Mean & Variance (Rata-rata & Ragam) Rata-rata dan ragam bagi peubah acak kontinyu:

Contoh: Arus listrik Untuk kasus aliran listrik dengan fungsi kepekatan peluang f(x) = 0.05 for 0 ≤ x ≤ 20. Tentukan rata-rata dan ragamnya! a = 0, b = 0

Sebaran Normal Sebaran yang paling banyak digunakan, juga dikenal sebagai sebaran Gaussian. Keragaman acak dari hasil-hasil pengukuran umumnya berdistribusi normal. Pemusatan dan penyebaran dari sebaran normal ditentukan oleh rata-rata (μ) dan simpangan baku (σ). Figure 4-10 Normal probability density functions Sec 4-6 Normal Distribution

Fungsi Kepekatan Sebaran Peluang Normal

Contoh: Penerapan Sebaran Normal Diasumsikan bahwa pengukuran arus yang melalui suatu jaringan listrik mengikuti sebaran normal dengan rata-rata10 mA dan ragam 4 mA2. Diberikan X sebagai arus dalam mA. Berapa peluang bahwa hasil pengukuran melebihi 13 mA? Figure 4-11 Peluang secara grafis bahwa X > 13 untuk peubah acak yang menyebar normal dengan μ = 10 and σ2 = 4.

Aturan Empiris P(μ – σ < X < μ + σ) = 0.6827 P(μ – 2σ < X < μ + 2σ) = 0.9545 P(μ – 3σ < X < μ + 3σ) = 0.9973

Sebaran Normal Baku Suatu sebaran normal dengan μ = 0 and σ2 = 1 Dinamakan sebaran normal baku dengan peubah acak yang dinotasikan Z. Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak dengan sebaran normal baku dinyatakan sebagai: Φ(z) = P(Z ≤ z) = F(z) Dengan nilai yang dapat dihitung di Tabel atau Excell

Contoh: Sebaran Normal Baku Diasumsikan bahwa Z adalah peubah acak normal baku Figure 4-13 Standard normal PDF Hitung P(Z ≤ 1.50) = 0.93319 Hitung P(Z ≤ 1.53) = 0.93699

Example 4-12: Standard Normal Exercises 1. P(Z > 1.26) = 0.1038 2. P(Z < -0.86) = 0.195 3. P(Z > -1.37) = 0.915 4. P(-1.25 < Z < 0.37) = 0.5387 5. P(Z ≤ -4.6) ≈ 0 6. Cari z untuk P(Z ≤ z) = 0.05, z = -1.65

Pembakuan Peubah Normal Dibakukan menjadi: Dimanfaatkan untuk perhitungan peluang:

Contoh: Arus yang Menyebar Normal Jika diasumsikan arus menyebar normal dengan μ = 10 dan σ = 2 mA, berapa peluang bahwa arus yang sedang diukur di antara 9 dan 11 mA?

Contoh: Arus yang Menyebar Normal Tentukan arus hasil pengukuran sehingga diperoleh peluang bagi nilai yang kurang dari pengukuran tersebut sebesar 0.98!

Contoh: Diameter Sekrup Diameter suatu Sekrup hasil produksi diasumsikan menyebar normal dengan μ = 0.2508 inci dan σ = 0.0005 inci. Spesifikasi dari sekrup tersebut adalah 0.2500 ± 0.0015 inci. Berapa proporsi dari sekrup yang sesuai dengan spesifikasi tersebut? Gunakan X sebagai peubah acak yang menyatakan diameter sekrup dalam inci.

Pendekatan Sebaran Normal Sebaran Binomial akan menyerupai sebaran normal jika rata-ratanya membesar. Dengan pendekatan sebaran normal, mempermudah perhitungan Pendekatan sebaran normal baik bagi: Binomial jika np > 5 dan n(1-p) > 5.

Pendekatan Sebaran Normal bagi Binomial Misalkan dipunyai sebaran binomial dengan n = 10 and p = 0.5. Rata-rata = 5.0 dan simpangan baku = 1.58. Gambar sebaran tersebut berikut sebaran normal pendekatannya:

Pendekatan Sebaran Normal bagi Binomial

Contoh: Tanpa kalkulator atau software akan kesulitan menghitung. Pada suatu transmisi suatu sinyal digital, jumlah bit yang ditransmisikan secara salah dari seluruh bit dapat dimodelkan sebagai peubah acak binomial. Peluang bahwa suatu bit ditransmisikan secara salah adalah 10-5. Jika 16 juta bit ditransmisikan, berapa peluang bahwa terdapat 150 atau kurang kesalahan transmisi? X adalah jumlah bit yang salah transmisi Tanpa kalkulator atau software akan kesulitan menghitung. Dapat digunakan pendekatan normal bagi sebaran Binomial.

Contoh: Menerapkan Pendekatan Normal Pada Kasus Transmisi Dengan pendekatan normal pada sebaran binomial bagi X jumlah bit yang salah ditransmisikan. Ingat: n = jumlah transmisi = 16 juta p = peluang salah transmisi = 1. 10-5 np = 160, np(1- p)=160 ( 1- 10-5)