“Fungsi Peluang Diskrit, Kontinu, dan Bersama” Kelompok I : Christian Koba Riskika Fauziah Kodri Yulin Tipaka

Fungsi Peluang Diskrit Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin, berlaku : f(x) ≥0 𝑥 𝑓 𝑥 =1 P(X=x) = f(x)

Untuk undian dua buah mata uang, maka peristiwa yang terjadi adalah : GG, GA, AG, AA P(GG) = P(GA) = P(AG) = P(AA) = ¼. Jika X= muka G, 𝑋 = 0,1,2. Sehingga, 𝑃(𝑋 = 0) = ¼, 𝑃(𝑋 = 1) = ½ 𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝑋 = 2) = ¼.

Didapat: X P(X) 1 2 ¼ ½ Jumlah

Simbol 𝑋 di atas bersifat variabel dan hanya memiliki harga-harga 0, 1, 2, 3, …., tiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, disebut variabel acak diskrit. Dalam tabel di atas jumlah peluang selalu sama dengan satu ⇒ distribusi peluang untuk variabel acak X telah terbentuk.

Variabel acak diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-nilai 𝑋 = 𝑥1, x2, . . . , xn terdapat peluang 𝑝 (𝑥𝑖) sehingga: 𝑝(𝑥) disebut fungsi peluang untuk variabel acak 𝑋 pada harga 𝑋 = 𝑥 Ekspektasinya. 𝐸 (𝑋) = 𝛴𝑥𝑖𝑝(𝑥𝑖) dan penjumlahan dilakukan untuk semua harga 𝑋 yang mungkin. 𝐸 (𝑋) merupakan rata-rata untuk variabel acak 𝑋.

Distribusi Probabilitas Diskrit Tiap nilai sebuah variabel random memiliki probabilitas tertentu untuk muncul. Contoh: Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam pelemparab tsb. Maka ruang sampelnya: S = {GGG,GGA,GAG,GAA, AGG,AGA,AAG,AAA} x = 0  {AAA}  P(X=0) = 0 x = 1  {GAA,AGA,AAG}  P(X=1) = 3/8 x = 2  {GGA,GAG,AGG}  P(X=2) = 3/8 x = 3  {GGG}  P(X=3) = 1/8

Distribusi Probabilitas Diskrit

Fungsi Peluang Kontinu Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila: f(x)≥ 0 untuk x ∈ R −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =1 P(a<x<b) = −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =1

Jika X adalah variabel random dengan peluang pada setiap titik tunggal x sama dengan nol, yakni P (X = x) = 0, maka X dinamakan variabel random kontinyu. Jika X variabel random kontinyu, maka ada fungsi f (x) sehingga peluang variabel random X berada di antara a dan b sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f (x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. Selanjutnya peluang X berada di antara a dan b ditulis P (a < X < b). Fungsi f (x) tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang.

Fungsi distribusi kumulatif variabel random kontinyu X , ditulis F (x), didefinisikan sebagai peluang variabel random X bernilai lebih kecil atau sama dengan x atau f(x) = P (X < x)

Distribusi Probabilitas Kontinu Contoh. Misal kesalahan dalam pencatatan temperature di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yg memiliki fungsi rapat probabilitas sbb: Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitas Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan 1? Jawab. a. b.

Contoh 1. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam. a) Tentukan fungsi densitas peluang dari X. b) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

Peluang Fungsi Bersama Misalkan X dan Y ada peubah acak- peubah acak diskrit yang terdenisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama (joint pmf ) dari X dan Y adalah P X,Y (x, y) = P (X = x; Y = y)

Catatan. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama {X = x; Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y

Contoh Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0) f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220 Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10 f(0,0) adalah 10/220

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1 Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3 p(x,y) x Total Baris 1 2 3 y 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220 40/220 60/220 12/220   112/220 18/220 48/220 4/220 Total Kolom 84/220 108/220 27/220

Distribusi Probabilitas Bersama (Joint) Contoh. Sebuah perusahaan permen mendistribusikan kotak-kotak cokelat yang berisi isian jenis: krim, tofi dan kacang. Terdapat dua tipe cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak 1 kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase dari coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi rapat probabilitas bersamanya: Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1 Carilah probabilitas mendapati 0<x<1/2 dan ¼<y<1/2

Surface plot f(x,Y)

Distribusi Probabilitas Bersama (Joint) Jawab. Integral di seluruh wilayan x,y: b. P(0<X<1/2,1/4<Y<1/2)

TERIMA KASIH