BY : ERVI COFRIYANTI, S.Si ALJABAR LINIER BY : ERVI COFRIYANTI, S.Si

BAB 1 MATRIKS

DEFINISI MATRIKS SUATU DAFTAR BILANGAN REAL ATAU KOMPLEKS TERDIRI ATAS M BARIS DAN N KOLOM, M DAN N BILANGAN BULAT POSITIF, DISEBUT MATRIKS BERTIPE M X N

BENTUK MATRIKS TIPE M X N Misalkan A matriks bertipe m x n A = Atau A = (aIJ), i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyaknya kolom sama dengan banyaknya baris. Unsur-unsur a11, a22,…,ann dalam matriks bujur sangkar disebut unsur-unsur diagonal disebut trace dari matriks bujur sangkar

OPERASI ALJABAR MATRIKS KESAMAAN DUA MATRIKS PENJUMLAHAN DUA BUAH MATRIKS PERKALIAN MATRIKS DENGAN SEBUAH BILANGAN PERKALIAN DUA BUAH MATRIKS

1. KESAMAAN DUA MATRIKS DEFINISI : DUA MATRIKS A = (aIJ) dan B = (bIJ) dikatakan SAMA bila : A dan B sejenis Setiap unsur yang seletak sama Jadi, jika A(mxn) = B(pxq) maka a) m = p dan n = q b) aij = bij untuk setiap i dan j, i = 1, 2,…,m ; j = 1, 2,…,n

2. PENJUMLAHAN DUA BUAH MATRIKS DEFINISI : Misalkan A = (aIJ) dan B = (bIJ) dua matriks bertipe sama. Jumlahan dari A dan B adalah suatu matriks C yang bertipe sama dengan A dan B dengan C = (cIJ) dan cIJ = aIJ + bIJ , i = 1,2,…,m ; j ; 1,2,…,n Catatan : Penjumlahan dua buah matriks hanya didefinisikan pada dua buah matriks yang sejenis Jumlah dua buah matriks yang sejenis merupakan matriks dengan ukuran yang sama

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SEBUAH BILANGAN DEFINISI : Hasil kali suatu bil k dengan suatu matriks A adalah suatu matriks yang didapat dengan mengalikan setiap unsur dari A dengan k, ditulis kA = Ak = (kaij) = (aijk), i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n

PERKALIAN DUA BUAH MATRIKS Misalkan A bertipe m x n dan B bertipe n x p, maka hasil kali dari matriks A dan B adalah matriks C bertipe m x p Perkalian matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A sama dgn banyaknya baris matriks B Umumnya AB BA Inti perkalian dua buah matriks adalah baris pada matriks A dengan kolom pada matriks B

MATRIKS-MATRIKS KHUSUS MATRIKS NOL Definisi : Sebuah matriks disebut matriks nol, jika unsur-unsur dari matriks semua sama dengan 0, ditulis 0

2. TRANSPOSE DEFINISI : Suatu matriks disebut matriks transpoe dari matriks A, ditulis At atau A*, adalah matriks yang didapat dengan menukar baris-baris A menjadi kolom-kolom A dan sebaliknya.

SIFAT-SIFAT TRANSPOSE Bila matriks A dapat dikalikan dengan matriks B dan Kk suatu bilangan, maka (A*)* = A (kA)* = kA* (A + B)* = A* + B* (AB)* = B*A*

3. MATRIKS SEGITIGA ATAS DEFINISI : SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR A = (aij) dikatakan matriks segitiga atas, bila aij = 0 untuk setiap i > j, seperti

4. MATRIKS SEGITIGA BAWAH DEFINISI : SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR A = (aij) dikatakan matriks segitiga bawah, bila aij = 0 untuk setiap i < j, seperti

5. MATRIKS DIAGONAL DEFINISI : Suatu matriks yang sekaligus matriks segitiga atas dan segitiga bawah disebut matriks diagonal, ditulis diag (a11, a22,…,ann)

6. MATRIKS SATUAN DEFINISI : Matriks diagonal dengan elemen diagonalnya sama dengan 1 disebut matriks identitas, atau matriks satuan. Simbol : In untuk ukuran matriks n x n

7. MATRIKS INVERS DEFINISI : Bila a dan B matriks bujur sangkar dengan AB = BA = I, maka B disebut invers dari A, ditulis B = A-1. Matriks A juga merupakan invers dari B, ditulis A = B-1

8. Matriks Simetri Definisi : Bila A matriks bujur sangkar dengan A = A*, maka A disebut matriks simetri. Bila A = (aij) matriks simetri, maka aij = aji untuk setiap i j.

9. MATRIKS SKEW SIMETRI DEFINISI : Bila A matriks bujur sangkar dengan A = -A*, maka A disebut matriks skew simetri. Bila A = (aij) matriks skew, maka aji = -aij untuk setiap i dan j. Ini berarti aii = -aii untuk setiap i. Jadi aii = 0 untuk setiap i.