Pertemuan VIII Kalkulus I 3 sks

Turunan Aljabar Materi: Pengertian Turunan Fungsi Aljabar Rumus Turunan Fungsi Aljabar Turunan Berantai Fungsi Aljabar Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar Turunan Implisit Turunan multivariabel

Turunan Aljabar Tujuan Perkuliahan: Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan, rumus-rumus, dan menghitung turunan fungsi aljabar.

Pengertian Turunan Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titik pada selang tersebut. Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), dll

Konsep Limit mengingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsi Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah: Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞ Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi

Secara Grafis pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut: Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah mPQ

Secara Grafis

Secara Grafis Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah: Dengan catatan limitnya ada.

Contoh Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2) Penyelesaian: Dengan menggunakan penjelasan di atas maka Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut pada titik tertentu.

Contoh 1. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4) Penyelesaian:

Contoh 2. Jika f(x)= x3 + 7x, Carilah f’(c) Penyelesaian

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i) Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta) Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f’(x)= 0. Bukti: Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i) Teorema II (Aturan Fungsi Identitas) Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1 Bukti:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii) Teorema III (Aturan Pangkat) Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1 Bukti:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii) Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi Contoh: f(x)=x2 maka f’(x) = 2x

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii) Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k. f(x). Maka Contoh: F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii) Teorema V (Aturan Jumlah) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f+g)’(x) = f’ (x) + g’ (x). Bukti: Contoh: F(x)=x2+3x maka f’(x)=2x+3

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv) Teorema VI (Aturan Selisih) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x) Contoh: F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v) Teorema VII (Aturan Hasil Kali) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v) Contoh : F(x) = (x+2)(x-5)2

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi) Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, dengan g(x) = 0. Maka

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

Bedakan antara Turunan dan Diferensial ! Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = anda menuliskan lambang turunan Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial Contoh: Cari dy jika y = x3 - 3x+1 Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Yaitu cukup menghitung turunan lalu mengalikannya dengan dx Dy = (3x2-3) dx Hal ini karena dy = f’ (x) dx

Turunan Berantai Fungsi Aljabar Contoh: y = (3x+1)10

Turunan Berantai Fungsi Aljabar Contoh: 1). y = (x2+3x+5)9

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f, maka f’ juga merupakan suatu fungsi, f’ adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yang sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f’’, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n dari fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakan dengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar Contoh: Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini:

Turunan Trigonometri Turunan dari: Sin x = cos x Cos x = -sin x Tan x = sec2 x Sec x = sec x tan x Cot x = -csc2 x Csc x = -csc x cot x

Turunan Trigonometri Contoh:

Turunan Fungsi Implisit Andaikan kita menjumpai sebuah persamaan sebagai berikut : y 3 + 7y = x3 dan kita menginginkan untuk mencari turunannya, maka hal seperti ini tentulah tidak dapat secara gamblang (eksplisit) terselesaikan , akan tetapi kita harus menggunakan cara tertentu, misalnya aturan Rantai untuk dapat menyelesaikannya.

Turunan Fungsi Implisit lanjutan Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunan fungsi Implisit. Cara untuk mendapatkan turunan fungsi Implisit, yaitu : Jika tidak terlalu sulit, atau jika mungkin, y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, lalu didiferensialkan terhadap x (sebagai perubah bebasnya)

Turunan Fungsi Implisit lanjutan Contoh 1: Tentukan turunan pertama dari 4x 2 y - 3y = x3 - 1 Fungsi Implisit tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam fungsi eksplisit menjadi : atau y( 4x 2 - 3 ) = x3 -1

Turunan Fungsi Implisit lanjutan Atau: Setelah berubah menjadi fungsi eksplisit, maka tinggal diturunkan sehingga menjadi

Soal-soal latihan (i) Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

Soal-soal latihan (ii) Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:

Soal-soal latihan (iii) Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

Pertemuan XI Kalkulus I 3 sks

Integral Tak Tentu Jika diketahui F(x) = x2, maka turunannya adalah F’(x) = 2x = f(x). Bila operasi dibalik yakni diketahui f(x) = 2x dapatkah ditemukan F(x) sebagai anti turunan dari f(x) sedemikian sehingga F’(x) = 2x = f(x)? Jawabannya adalah DAPAT. Caranya adalah sebagai berikut: F(x) = x2 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau F(x) = x2 + 1 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau F(x) = x2 + 7 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau F(x) = x2 - 10 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau ………… dan seterusnya sehingga dapat ditulis F(x) = x2 + C untuk sembarang konstanta C. Ini benar sebab F’(x) = 2x = f(x)

Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari f(x)=2x adalah F(x) = x2 + C berlaku untuk sembarang konstanta C. Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f yang dirumuskan oleh f(x) = xn adalah Sebab turunannya F’(x) = x2 = f(x) Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral (Leibniz)

Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi Dari definisi , maka f(x) disebut integran Sedang F(x) adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta sembarang C maka disebut integral tak tentu adalah rumus dasar integral tak tentu

Teori I (Aturan Pangkat) Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka: Contoh: Berapa anti turunan dari f(x) = x4/3

Teori II (Aturan Trigonometri)

Teori II (Aturan Trigonometri)

Teori III (Integral Tak Tentu - Linier) Jika f dan g memiliki anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka:

Contoh: Tentukan besarnya nilai integral berikut!

Teori IV (Aturan Pangkat yang digeneralisir) Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka:

Contoh: Selesaikan integral berikut!

Latihan Selesaikan integral berikut!

Latihan Selesaikan integral berikut!

Integral Tentu Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika: Ada, maka f adalah terintegrasikan pada [a, b] Lebih lanjut disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh

Berdasarkan definisi Selesaikan integral berikut!

Teorema 1 Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan anggaplah x sebagai sebuah titik (peubah) pada (a, b). Maka:

Teorema 2 (Sifat Perbandingan) Jika f dan g terintegrasikan pada [a, b] dan jika f(x)≤g (x) untuk semua x dalam [a, b], maka:

Teorema 3 (Sifat Keterbatasan) Jika f terintegrasikan pada selang [a, b] dan m≤ f(x) ≤ M untuk semua x dalam [a, b], maka:

Teorema 4 (Kelinieran Integral Tentu) Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a, b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f+g terintegrasikan dan

Contoh soal

Latihan Selesaikan integral berikut!