Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd SUKU BANYAK Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd

Standar Kompetensi 4. Menggunakan aturan Suku banyak dalam Penyelesaian Masalah Kompetensi Dasar 4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian 4.2 Menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam memecahkan masalah

Tujuan Pembelajaran Siswa dapat menggunakan algoritma Pembagian Suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian Siswa dapat menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam Pemecahan masalah

Aspek Penyajian Peng. Suku banyak, nilai suku banyak, dan operasi antarsukubanya Pembagian suku banyak Teorema sisa Teorema Faktor

Pengertian Suku Banyak Nilai Suku Banyak Operasi Antar Suku Banyak

Pengertian Suku Banyak Suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki Bentuk umum anxn + an-1x n-1 + an-2x n-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0 ao, a1, an-1, an-2, an bil. real an ≠ 0 ao, a1, an-1, an-2, an koefisien dan ao suku tetap Suku banyak terdiri dari 2 yaitu yang mempunyai satu variabel ( univariabel) dan suku banyak yang lebih dari satu variabel ( multivariabel) Contoh: 3x5 + 6x4 - 2x2 - 4x + 7 Suku banyak diatas merupakan suku banyak berderajat 5 dimana, Koef dari X5 adalah 3 Koef dari x4 adalah 6 Koef dari x3 adalah 0 koef dari x2 adalah -2 Koef dari x adalah -4 Suku tetapnya adalah 7

Nilai Suku Banyak Kadang dinyatakan dengan P(x) atau S(x) Suku banyak dapat dinyatakan dalam fungsi berikut f(x) = anxn + an-1x n-1 + an-2x n-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0 Kadang dinyatakan dengan P(x) atau S(x) Nilai suku banyak dapat dicari dengan 2 metode, yaitu Metode Substitusi/ Langsung Metode bagan / Skema

Metode Substitusi f(x) = anxn + an-1x n-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0 Jika diketahui polinom f(x) = anxn + an-1x n-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0 Untuk x = P, maka f(x) = anpn + an-1pn-1 + … + a2p2 + a1p1 + a0 Disebut nilai suku banyak Contoh Tent. Nilai suku banyak Jika diketahui polinom f(x) = x3 + 3x2 - x + 5 untuk nilai x = 2 Penye; Untuk x = 2, diperoleh f(2) = (2)3 + 3(2)2 - 2 + 5 f(2) = 8 + 3 . 4 - 2 + 5 = 8 + 12 - 2 - 5 = 13 Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13

Untuk x = 2 dan y = 1 diperoleh f(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2 Contoh Dik. Suku banyak dengan 2 variabel yaitu x dan y. Hitung nilai suku banyak f(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2 untuk f(2,1) Penye; Untuk x = 2 dan y = 1 diperoleh f(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2 f(2, 1) = (2)3.1+ 3(2)2(1)2 – 2.(2) + 4.(1) + 2 f(2,1) = 8.1 + 3.4.2 - 5 + 4 + 2 f(2,1) = 8 + 24 - 5 + 4 + 2 = 33 Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 dan y = 1 adalah f(2,1) = 33

Metode Bagan / Skema f(p) = (ap2 + bp + c)p + d Misal f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, untuk x = p berlaku f(p) = ap3 + bp2 + cp + d Bentuk ini dapat diubah menjadi f(p) = (ap2 + bp + c)p + d f(p) = ((ap + b)p + c)p + d Jadi, f(p) = ap3 + bp2 + cp + d dapat diperoleh dengan cara: Kalikan a dengan p lalu tambah b, hasilnya (ap+b) Kalikan (ap+b) dengan p lalu tambah c, hasilnya (ap+b)p + c atau ap2 + bp + c Kalikan ap2 + bp + c dengan p lalu tambah d hasilnya (ap2 +bp +c)p +d = ap3 +bp2 +cp + d

f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, untuk x = p f(p) = ap3 + bp2 + cp + d koef p3 koef p2 koef p1 koef po /suku tetap p a b c d (ap 2+ bp + c)p ap (ap + b)p ((ap + b)p) + c (ap 2+ bp + c)p + d = a ap + b = ap 2+ bp + c ap 3+ bp2 + cp + d Nilai dari suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, untuk x = p yg diperhatikan: Penulisan koefisien suku banyak harus berturut-turut dari pangkat tertingi ke pangkat terendah.

Contoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 5 ; x = 2 Penye : koef x3 koef x2 koef x1 koef xo /suku tetap 1 2 5 -4 2 8 2 8 4 4 13 1 jadi, nilai suku f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13

Contoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = 2x4 + x2 + 3x + 2 ; x = 3 dengan metode substitusi dan metode bagan !!! Penye : Metode substitusi Untuk x = 3, diperoleh f(3) = 2(3)4 + (3)2 + 3(3) + 2 f(2) = 2.(81) + 9 +9 + 2 = 162 + 9 + 9 + 2 = 182 Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182 Metode Bagan/ Skema koef x4 koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap 3 2 1 3 2 6 180 18 57 60 182 6 19 2

Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) Operasi Antarsukubanyak A. Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) menjumlahkan atau mengurangkan suku – suku yang sejenis Misal 2x2 sejenis dengan 3x2 sehingga 2x2 + 3x2 = (2+3)x2 = 5x2 3y4 sejenis dengan y4 sehingga 3y4 – y4 = (3-1)y4 = 2y4 2y3 tidak sejenis dengan 2x3 sehingga 2y3+ 2x3 = 2y3+ 2x3 5x3 tidak sejenis dengan 2x2 sehingga 5x3 - 2x2 = 5x3 - 2x2 Misal f(x) dan g(x) masing masing merupakan suku banyak berderajat m dan n maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat m atau n

Contoh : Dik. f(x) = 3x2 + 4x + 1 dan g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4 Tent. f(x) + g(x) dan f(x) – g(x) serta derajatnya f(x) + g(x) = (3x2 + 4x + 1) + (2x4 + 3x2 – 6x + 4) f(x) + g(x) = (0 + 2x4)+ (3x2 + 3x2) +(4x – 6x) + (1+4) f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 + (–2x) + 5 f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5 Jadi, f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5 dan f(x) + g(x) berderajat 4 f(x) - g(x) = (3x2 + 4x + 1) - (2x4 + 3x2 – 5x + 4) f(x) - g(x) = (0-2x4)+ (3x2 - 3x2) +(4x – (-6x) + (1-4) f(x) - g(x) = (-2x4)+ 0 + 10x + (-3) f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3 Jadi, f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3 dan f(x) - g(x) berderajat 4

Perkalian AntarSuku Banyak Perkalian suku banyak f(x) dengan g(x) Mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua suku digunakan sifat distribusi perkalian ( distribusi perkalian terhadap penjumlahan maupun distribusi perkalian terhadap pengurangan , kemudian baru dihitung jumlahnya. Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing merupakan suku banyak berderajat m atau n maka: f(x). g(x) adalah suku banyak berderajat m+n Misalkan f(x) = 3x2 + 4x + 1 adalah suku banyak berderajat 2 g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4 adalah suku banyak berderajat 4 Maka hasil perkalian f(x) dengan g(x) berderajat 2+4 = 6

Ingat!!! am x an = a m+n Contoh Tent. Hasil dan derajat perkalian dari 2x2- 4x + 5 dengan x2 + 4 X - 2 dengan (2x + 1)2 Ingat!!! am x an = a m+n Penyelesaian : (2x2 – 4x + 5)(x2 + 4) = 2x2(x2 + 4) -4x(x2 + 4) + 5(x2 + 4) = 2x4 + 8x2 – 4x3 – 16x + 5x2 + 20 = 2x4 – 4x3 + 8x2 + 5x2 – 16x + 20 = 2x4 – 4x3 + 13x2 – 16x + 20 Hasilnya suku banyak berderajat 4 atau 2 + 2 = 4 (x - 2)(2x + 1)2 = (x – 2)(4x2 + 4x + 1) = x (4x2 + 4x + 1) – 2(4x2 + 4x + 1) = 4x3 + 4x2 + x – 8x2 – 8x – 2 = 4x3 + 4x2 – 8x2 + x – 8x – 2 = 4x3 – 4x2 – 7x – 2 Hasilnya suku banyak berderajat 3 atau 1 + 2 = 3

Kesamaan Suku Banyak Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah suku banyak f(x) = anxn + an-1x n-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0 g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x1 + b0 f(x) ≡ g(x) jika dan hanya jika an = bn; an-1 = bn-1; … ; a2 = b2; a1 = b1; a0 = b0 Contoh Tentukan nilai a, b, c, dan d, jika X4 - 8x3 – 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d Penyelesaian

X4 - 8x3 + 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d Misal f(x) = X4 - 8x3 + 15x – 20 Misal g(x) = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d f(x) = g(x) Koefisien x4 1 = 1 Koefisien x3 -8 = a pers. 1 Koefisien x2 0 = a + b pers. 2 Koefisien x 15 = 2b – c pers. 3 Koefisien x0 -20 = d pers. 4 pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh: 0 = a + b 0 = (-8) + b 8 = b pers. 5 pers 5 disubs. ke pers 3, diperoleh: 15 = 2b - c 15 = 2(8) - c 15 = 16 - c C = 16 – 15 = 1 dari uraian diatas, diperoleh: a = -8 c = 1 b = 8 d = -20

Pembagian suku Banyak Hubungan antara yang dibagi, Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian Cara pembagian suku banyak * Cara Biasa/ Langsung * Cara Skema/ Horner Pembagian suku banyak dengan; * Pembagi berbentuk linear; ( x – k) dan (ax – b) * Pembagi berbentuk kuadrat ( ax2 + bx + c)

5 2 4 1 5 2 4 1 2 2 5 4 1

Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa Pembagian. perhatikan pembagian bersusun dibawah 7 2 3 6 1 ( i ) 8 2 4 ( ii ) Dari (i) terlihat bahwa 7 dibagi dengan 2 memberikan hasil 3 dengan sisa pembagian 1 Dari (ii) terlihat bahwa 8 dibagi dengan 2 memberikan hasil 4 dengan sisa pembagian 0 ( i ) 7 = 2 x 3 + 1 ( ii ) 8 = 4 x 4 + 0 Dengan demikian dapat dirumuskan sebagai berikut: Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian

Pembagi suku banyak dengan (x – k) Pembagi suku banyak dengan (x – k) Pembagian suku Banyak berbentuk linear; (x – k) dan (ax + b) Cara yang digunakan untuk membagi suku banyak dengan pembagi berbentuk linear dikenal dengan cara biasa dan cara horner Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian adalah Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sis Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa f(x) = ( x – k ). H(x) + S Dimana, f(x) = fungsi yang dibagi ( x – k ) = pembagi H(x) = hasil bagi S = sisa pembagian Catatan…. Derajat hasil bagi ditambah derajat pembagi sama dengan derajat yang dibagi

Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut: (x3 – 11x + 10) : (x – 5 ) Dengan pembagian bersusun/ biasa x2 + 5x + 14 x - 5 Dari pembagian disamping diperoleh; Hasil bagi / H(x) : x2 + 5x + 14 Sisa pembagian/ S : 80 X3 – 11x + 10 X3 – 5x2 5X2 – 11x + 10 5X2 – 25x 14x + 10 14x - 70 80 Sehingga hub; f(x) = ( x – k ) . H(x) + S (x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80

( x3 – 11x + 10 ) : ( x – 5 ) , berarti faktor pengalihnya adalah 5 Cara horner / Skema Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( x – k ) atau ( x + k) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah : Jika pembaginya ( x – k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah k Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k ( x3 – 11x + 10 ) : ( x – 5 ) , berarti faktor pengalihnya adalah 5 koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap 1 -11 10 5 5 25 70 1 5 14 80 ….. sisa Hasil bagi koef x2 koef x1 koef po /suku tetap Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14 Sehingga hubungannya: (x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80

Tent. Hasil bagi dan sisa pembagian berikut: (x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 ) Dengan pembagian bersusun/ biasa ……. hasil bagi x2 + 3x - 6 x + 3 X3 + 6x2 + 3x - 15 X3 + 3x2 3X2 + 3x - 15 3X2 + 9x -6x - 15 -6x - 18 3 … sisa Diperoleh hasil bagi / H(x) = x2 + 3x – 6 Sisa pembagian / S = 3

Berarti fakor pengali terhadap koefisien2 adalah -3 Cara horner / Skema (x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 ) Berarti fakor pengali terhadap koefisien2 adalah -3 koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap 1 6 3 -15 - 3 - 3 - 9 18 1 3 - 6 3 ….. sisa Hasil bagi koef x2 koef x1 koef po /suku tetap 1 jadi koefisien x2 3 jadi koefisien x1 - 6 jadi koefisien xo atau suku tetap Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14 Sisa pembagian/ S = 3

Pembagi suku banyak dengan (ax + b) Dengan cara horner Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( ax + b ) atau ( ax - b) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah : Jika pembaginya ( ax + b ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah - Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k

Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut: (x3 – 11x + 10) : (x – 5 ) Dengan pembagian bersusun/ biasa X3 – 11x + 10 perhatikan pembagian bersusun dibawah x - 5 x2 X3 – 5x2 5X2 – 11x + 10 80 14x - 70 + 14 14x + 10 + 5x 5X2 – 25x

Pembagi suku banyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat (ax2 + bx + c untuk a ≠ o) jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ax2+bx+c, dengan a≠0 (untuk ax2+bx+c, a≠0 yang dapat difaktorkan ataupun yang tidak dapat difaktorkan), hasil bagi dan sisa pembagiannya dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun Hubungannya… f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g) Derajat yang dibagi > derajat Pembagi > derajat Hasil bagi ≥ derajat Sisa

Tent. Hasil bagi dansisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 + 3x + 6 oleh x2 + x - 1 f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g) 2x3 + 3x + 6 = ( x2 + x - 1 ). H(x) + (px + g) Dengan pembagian bersusun/ biasa 2x - 1 x2 + x - 1 2X3 + 3x + 6 2X3 + 2x2 –2x -X2 + 5x + 6 -X2 – x + 1 6x + 5 Hasil / H(x) = 2x – 1 dan Sisa / S = 6x + 5, seingga: ( 2x3+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )

Dengan menggunakan hubungan… f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + S ingat!! Derajat pembagi + derajat asi bagi = derajat yang dibagi Jadi, meliat derajat yang dibagi 3 dan derajat pembagi 2 maka dapat disimpulkan bawa derajat hasil adala 1, sehingga dimisalkan hasil : ax+b dan sisa : px + q (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax – b) + ( px+q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax + px – b +q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (b+a)x2+ (b-a+p)x + ( q-b ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b ) Ingat!!! Kesamaan Suku Banyak

Misalkan: p(x) = (2x3 + x2 + 3x + 6) g(x) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b ) f(x) = g(x) Koefisien x3 2 = a pers. 1 Koefisien x2 1 = a + b pers. 2 Koefisien x 3 = b - a + p pers. 3 Koefisien x0 6 = q - b pers. 4 pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh: 1 = a + b 1 = 2 + b 1 - 2 = b -1 = b pers. 5

pers 1 & 5 disubs. pers 3, Diperoleh: 3 = b – a + p 3 = -1 – 2 + p 3 = - 3 + p 3 + 3 = p 6 = p pers. 6 pers 5 disubs. ke pers 4, Diperoleh: 6 = q - b 6 = q – (-1) 6 = q + 1 6 - 1 = q 5 = q pers. 7 dari uraian diatas, diperoleh: a = 2 p = -6 b = -1 q = 5 Sehingga : Hasil / H(x) ax + b = 2x – 1 Sisa / S px + q = 6x + 5 (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) ( 2x3+x2+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )