IRISAN KERUCUT DAN KOORDINAT KUTUB

I.1 DEFINISI DAN BAGIAN IRISAN KERUCUT Irisan Kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang lengkung kerucut lingkaran tegak dengan bidang datar. Irisan Kerucut terbagi empat, yaitu : Berbentuk lingkaran Berbentuk parabola Berbentuk elips Berbentuk hiperbola

Definisi Irisan Kerucut (yang berbentuk parabola, elips, dan hiperbola) Irisan Kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap. keterangan: Titik tertentu = titik api (fokus) Garis tertentu = garis arah (direktriks) Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)

I.2 PARABOLA Definisi Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

Bentuk Umum Persamaan Parabola yang Berpuncak di Titik Pusat (0,0) y2 = 4px parabola terbuka ke kanan y2 = -4px parabola terbuka ke kiri x2 = 4py parabola terbuka ke atas x2 = -4py parabola terbuka ke bawah Keterangan : p > 0 p = jarak fokus ke titik puncak parabola

RUMUS y2=4px y2=-4px x2=4py x2=-4py Koordinat fokus (p,0) (-p,0) (0,p) (0,-p) Garis arah x = -p x = p y = -p y = p Sumbu simetri y = 0 x = 0 Titik Latus Rectum (p,2p) (p,-2p) (-p,2p) (-p,-2p) (2p,p) (-2p,p) (2p,-p) (-2p,-p) Panjang Latus Rectum 4p

PARABOLA y2 = 4px y (p,2p) F(p,0) x (p,-2p) direktriks x= -p

PARABOLA y2 = -4px y (-p,2p) F(-p,0) x (-p,-2p) direktriks x= p

PARABOLA x2 = 4py y (-2p,p) (2p,p) F(0,p) x direktriks y = -p

PARABOLA x2 = -4py y direktriks y = p x (-2p,-p) (2p,-p) F(0,-p)

Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Suatu Titik Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda D = 0 garis menyinggung parabola D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung

Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1) 11/04/2017 Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1) Parabola Persamaan Garis Singgung Persamaan Garis Normal y2 = 4px y2 = -4px x2 = 4py x2 = -4py yy1 = 2p(x+x1) yy1 = -2p(x+x1) xx1 = 2p(y+y1) xx1 = -2p(y+y1) Ditentukan dari persamaan garis singgung y – y1 = m(x-x1) (m = kebalikan negatif m pada persamaan garis singgung) DIEN/TI/KALKULUS II

I.3 ELIPS Definisi Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.

Bentuk Umum Persamaan Elips yang Berpusat di Titik (0,0)

RUMUS ELIPS HORISONTAL ELIPS VERTIKAL Titik puncak Titik sb pendek Fokus Panjang sb pjg Panjang sb pdk e Direktriks Panjang LR Titik LR (-a,0) dan (a,0) (0,-b) dan (0,b) (-c,0) dan (c,0) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a) LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a) (0,-a) dan (0,a) (-b,0) dan (b,0) (0,-c) dan (0,c) y=-a/e dan y=a/e LR1 : (b2/a,-c) dan (-b2/a,-c) LR2 : (b2/a,c) dan (-b2/a,c)

ELIPS HORISONTAL y B2(0,b) x F1(-c,0) F2(c,0) B1(0,-b) x= -a/e x= a/e A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-b) x= -a/e x= a/e

ELIPS VERTIKAL y x= a/e F1(0,c) B1(-b,0) B2(b,0) x F2(0,-c) x= -a/e A2(0,a) F1(0,c) B1(-b,0) B2(b,0) x F2(0,-c) A1(0,-a) x= -a/e

Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1) 11/04/2017 Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1) Elips Persamaan Garis Singgung Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola DIEN/TI/KALKULUS II

11/04/2017 I.4 HIPERBOLA Definisi Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. DIEN/TI/KALKULUS II

Bentuk Umum Persamaan Hiperbola yang Berpusat di Titik (0,0)

RUMUS HIPERBOLA HORISONTAL HIPERBOLA VERTIKAL Titik puncak Fokus Titik sb minor Panjang sb mayor Panjang sb minor e Direktriks Panjang LR Titik LR Pers. Asimtot (-a,0) dan (a,0) (-c,0) dan (c,0) (0,-b) dan (0,b) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a) LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a) y=(-b/a)x dan y=(b/a)x (0,-a) dan (0,a) (0,-c) dan (0,c) (-b,0) dan (b,0) y=-a/e dan y=a/e LR1 : (-b2/a,c) dan (b2/a,c) LR2 : (-b2/a,-c) dan (b2/a,-c) y=(-a/b)x dan y=(a/b)x

Bentuk Siku Empat Dasar Hiperbola Tentukan titik puncak A1 dan A2 Tentukan titik sumbu minor B1 dan B2 Gambarkan siku empat dasar yang melalui titik-titik tersebut seperti gambar berikut : A2 B2 A1 A2 B1 B2 B1 A1 Hiperbola vertikal Hiperbola horisontal

HIPERBOLA HORISONTAL y = (b/a) x y = - (b/a) x B2 F1 F2 A1 A2 B1 x = -a/e x = a/e

HIPERBOLA VERTIKAL F1 y = - (a/b) x y = (a/b) x A2 y = a/e B1 B2 A1

Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1) 11/04/2017 Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1) Hiperbola Persamaan Garis Singgung Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola DIEN/TI/KALKULUS II

I.5 TRANSLASI SUMBU Penyederhanaan Persamaan Hiperbola Dengan Metode Translasi Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan konstanta di ruas kanan. Keluarkan koefisien x2 dan y2 sehingga menjadi k1(x2+ax) dan k2(y2+by). Lengkapi kuadrat x2+ax dan y2+by dengan menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y. Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di ruas kanan menjadi 1. Translasikan u = x + a dan v = y + b.

Translasi u = x – 2 dan v = y – 4 Contoh : 4x2 – 9y2 – 16x + 72y – 164 = 0 4x2 – 16x– 9y2 + 72y = 164 4(x2 – 4x) – 9(y2 – 8y) = 164 4(x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 8y + 16) = 164 + 16 – 144 4(x-2)2 – 9(y-4)2 = 36 (x-2)2 (y-4)2 9 4 Translasi u = x – 2 dan v = y – 4 = 1 u2 v2 9 4 =1 merupakan persamaan hiperbola horisontal

I.6 ROTASI SUMBU Gunakan substitusi Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi Gunakan substitusi x = u cos θ – v sin θ y = u sin θ + v cos θ dengan

Contoh : 3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 A= 3, B = 10, C = 3, D = 8 Cot 2θ = (A-C)/B (3-3)/10 = 0 Tg 2θ = ∞ 2θ = 900 θ = 450 Sin θ = sin 450 = ½√2 Cos θ = cos 450 = ½√2

↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0 x = u cos θ – v sin θ x = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v) y = u sin θ + v cos θ y = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v) 3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 ↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0 ↔ 3[½(u-v)2] + 10 [½(u2-v2)]+3[½(u+v)2]+8 = 0 ↔ 3/2 (u-v)2 + 3/2 (u+v)2 + 5 (u2 – v2) + 8 = 0 ↔ 3/2u2 – 3uv + 3/2v2 + 3/2u2 + 3uv + 3/2v2 + 5u2 – 5v2 + 8 = 0 ↔ 8u2 – 2v2 = -8 ↔ v2/4 – u2/1 = 1 (hiperbola vertikal)

I.7 SISTEM KOORDINAT KUTUB Titik Dalam Koordinat Kutub (r,θ) (-r,-θ) θ (-r,θ) (r,-θ) Keempat titik tersebut adalah pasangan koordinat kutub.

Menentukan Persamaan Cartesian dari Grafik Persamaan Kutub Gunakan substitusi persamaan-persamaan : Menggambarkan Grafik Persamaan Kutub Gantikan persamaan kutub ke persamaan Cartesian x2 + y2 = r2 x = r cos θ y = r sin θ

I.8 GRAFIK PERSAMAAN KUTUB Persamaan Cartesian Garis r = d / cos θ r = d / sin θ x = d y = d Lingkaran r = 2a cos θ r = 2a sin θ Pusat (a,0), jari-jari = a (x-a)2 + y2 = a2 Pusat (0,a) , jari-jari = a x2 + (y-a)2 = a2 Konik r = ed / (1 + e cos θ) r = ed / (1 + e sin θ) d memotong sumbu x d memotong sumbu y 0<e<1 elips e = 1 parabola e > 1 hiperbola

I.9 KALKULUS DENGAN KOORDINAT KUTUB Rumus kemiringan garis singgung di θ pada r = f(θ)

Persamaan garis singgung di kutub dapat Persamaan garis singgung di kutub dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan f(θ) = 0 Luas bidang pada koordinat kutub