Mathematics for Business & Economics Atman P, drs. STIE INDONESIA BANKING SCHOOL

Quadratic, Exponential & Logarithmic Functions Week 3 rd

Quadratic Functions

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Bentuk umum Fungsi Kuadrat: y = a x 2 + b x + c dimana x dan y adalah variabel, sementara a, b dan c adalah konstanta. y biasa disebut dengan variabel terikat (dependent) dan x disebut variabel bebas (independent). Harga konstanta a  0. Disebut sebagai fungsi kuadrat karena mengandung variabel bebas dengan pangkat 2, x 2.

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Ciri – ciri fungsi kuadrat secara analitis xy = x y = (1) 2 = 1 y = (2) 2 = 4 y = (3) 2 = 9 y = (4) 2 = 16 y = (5) 2 = 25 y = (0) 2 = Disebut fungsi kuadratik karena perubahan variabel bebas tidak linier terhadap perubahan variabel terikat.

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Ciri – ciri fungsi kuadrat secara grafis

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Karakteristik fungsi kuadratis X Y Intersepsi thd sumbu y Intersepsi thd sumbu x Titik minimum, a > 0 Titik maksimum, a < 0 1.Intersepsi terhadap sumbu y, yaitu (0,c). 2.Intersepsi terhadap sumbu x yaitu (x 1,0) dan / atau (x 2,0). 3.Titik maksimum (a 0). y = a x 2 + b x + c

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Karakteristik fungsi kuadratis Intersepsi terhadap sumbu y X Y Intersepsi thd sumbu y y = a x 2 + b x + c di x = 0 y = a (0) 2 + b (0) + c = c Jadi intersepsi terhadap sumbu y adalah (0,c) (0,c)

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Contoh Intersepsi terhadap sumbu y X Y Intersepsi thd sumbu y y = 4 x x + 20 di x = 0 y = 4(0) 2 +18(0)+20 =20 Jadi intersepsi terhadap sumbu y adalah (0,20) (0,20)

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Karakteristik fungsi kuadratis Intersepsi terhadap sumbu x X Y Intersepsi thd sumbu x y = a x 2 + b x + c di y = 0 a x 2 + b x + c = 0 (x 1,0) (x 2,0) – b – (b 2 – 4 a c) 1/2 x 1 = a – b + (b 2 – 4 a c) 1/2 x 2 = a

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Karakteristik fungsi kuadratis Intersepsi terhadap sumbu x X Y Intersepsi thd sumbu x y = 4 x x +20 di y = 0 4 x x +20 = 0 (-2,5,0) (-2,0) – 18 – (18 2 – ) 1/2 x 1 = = – – 18 + (18 2 – ) 1/2 x 2 = = – 2,5 2.4

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Karakteristik fungsi kuadratis Titik Vertex X Y y = a x 2 + b x + c (x V,y V ) – b x V = a –b 2 +4ac y V = a x 1 + x 2 x V = Jadi titik Vertex : (–b/2a,(–b 2 +4ac)/4a)

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Karakteristik fungsi kuadratis Titik Vertex X Y y = 4 x x +20 (-2,25, -0,25) x V = –2,25y V = –0,25 –2.5 – 2 x V = = –2,25 2 Jadi titik Vertex : (–2,25,–0,25) (-2,5,0) (-2,0) (0,20)

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions y x y x y x y x y x y x a > 0 b 2 > 4ac a > 0 b 2 = 4ac a > 0 b 2 < 4ac a < 0 b 2 > 4ac a < 0 b 2 = 4ac a < 0 b 2 < 4ac (a)(b)(c) (d) (e) (f)

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Bagaimana memperoleh fungsi kuadrat? Untuk memperoleh fungsi kuadrat harus diketahui 3 konstanta yaitu a, b dan c. Jika a, b dan c tidak diketahui, maka harus ada tiga titik berbeda P 1 (x 1,y 1 ), P 2 (x 2,y 2 ) dan P 3 (x 3,y 3 ) Cara 1 Cara 2 y 1 = a (x 1 ) 2 + b (x 1 ) + c y 2 = a (x 2 ) 2 + b (x 2 ) + c y 3 = a (x 3 ) 2 + b (x 3 ) + c Gunakan metoda eliminasi !!

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Quadratic Functions Diketahui tiga titik P 1 (2,26), P 2 (4,54) dan P 3 (8,170). Tentukanlah fungsi kuadrat yang memenuhi ketiga titik tersebut. Jawab : 26 = a (2)2 + b (2) + c = a 4 + b 2 + c 58 = a (4)2 + b (4) + c = a 16 + b 4 + c 170 = a (8)2 + b (8) + c = a 64 + b 8 + c 4a + 2 b + c = a + 4 b + c = a + 8 b + c = a + 2 b + c = a + 4 b + c = a – 2 b = a + 2 b + c = a + 8 b + c = a – 6 b = a – 6 b = a – 6 b = a = 48 a = (2) – 6 b = – 6b = b = 144 – 120 = 24 b = 4 4(2) + 2(4) + c = c = 26 c = 10 y = 2 x x + 10

Exponential Functions

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Exponential Functions Bentuk Umum : y = a b cx dimana a, b dan c adalah konstanta sementara x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Dan a, b dan c  0 semantara b > 0. Keunikan fungsi exponential adalah fungsi ini tidak memiliki titik intersepsi dengan sumbu x. di x = 0y = a b c(0) = a. 1 = a(0,a) di x = ∞ y = a b c(∞) = a. ∞ = ∞(∞, ∞) di x = –∞ y = a b c(-∞) = a. 0 = 0(–∞, 0 )

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Exponential Functions Ciri fungsi exponential secara grafis: X Y (0,a) y = a b c x 0 X –∞ c > 0 ∞ 0 Y Y y = a b c x c < 0 (0,0) peluruhan pertumbuhan

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Exponential Functions Contoh : y = 3 4 x X 0y = = 3 1y = = 12 2y = = 48 3y = = 192 4y = = 768 y = 3 4 –x X 0y = = y = = y = = y = = y = =

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Exponential Functions Contoh : X Y (0,3) y = 3 4 x 0 X –∞ c = 1 > 0 ∞ 0 Y Y y = 3. 4 –x c = –1< 0 (0,0)

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Exponential Functions Beberapa bentuk fungsi exponential : y = A e kX dimana e = bilangan Euler y = P (1 + b) X dimana P dan b adalah konstanta. y = A e kX y = P (1 + b) X A e kX = P (1 + b) X A (e k ) X = P (1 + b) X A = Pdane k = (1 + b)

Logarithmic Functions

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Logarithmic Functions Bentuk Umum : y = A log x dimana y adalah variabel terikat dan x adalah variabel bebas, sementara A adalah konstanta. Bentuk diatas adalah bentuk kebalikan dari fungsi eksponential y = A log x y = log x A 10 y = x A (10 y)1/A = x 10 y/A = x karena log 10 y = y log 10 = y. 1 = y y = log xx = 10 y

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Logarithmic Functions Ciri – ciri fungsi logarithmic : y = log xx 0 y = log 0 = 0 10 y = log 10 = y = log 100 = y = log 1000 = y = log = 4

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Logarithmic Functions Sifat fungsi logarithmic : y = log bx = log b + log x y = log x b = b log x y = log xx = 10 y x = 10 y/b y = log b x = x log b 4 b x = 10 y 5 y = e x log y = log e x = x log e log y x = = e log y = ln y log e 6 y = a x log y = log a x = x log a log y x = = a log y log a

agustus 2010atman p / matematika ekonomi / Logarithmic Functions y = A b cX log y = log (A b cX ) = log A + log (b cX ) = log A + cX log b y = A e cX log y = log (A e cX ) = log A + log (e cX ) = log A + cx log e y = P (1 + b) X log y = log (P (1+b) X ) = log P + log ((1+b) X ) = log P + x log (1 + b) c log e = log (1 + b)