Proses Stokastik Semester Ganjil 2011

Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrival and waiting times X(t): Jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, dengan laju λ t X(t) S1 S0 S2 S3 W1 W2 W3 W4 4 Wn, n =0, 1, …: Waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n 3 2 Sn, n =0, 1, …: Waktu antar kedatangan (interarrival times), atau sojourn time 1 W0

Waktu antar Kedatangan (Interarrival Times): Sojourn times Jika tidak terdapat kedatangan sampai dengan waktu t berarti bahwa: Waktu tunggu (waiting time) dari kedatangan pertama (W1) atau sistem sojourn pada state 0 (S0) lebih dari t Funsi Sebaran Kumulatif (cdf) dari sebaran exponential dengan rata-rata (mean) 1/λ Waktu antar kedatangan S0, S1, … adalah peubah acak exponential yang saling bebas dengan rata-rata 1/ (i.i.d):

Waktu Tunggu (Waiting Time) Waktu tunggu adalah jumlah dari n waktu antar kedatangan (interarrival/sojourn times). Waktu antar kedatangan (interarrival times) menyebar secara exponential Dengan pendekatan fungsi pembangkit moment: Fungsi pembangkit moment dari sojourn times, S

Fungsi pembangkit moment dari waiting time, W Dengan sifat i.i.d. dari sojourn times Yang merupakan fungsi pembangkit momen dari sebaran Gamma (n, λ), dengan fungsi:

Ringkasan Jika jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, X(t) adalah proses Poisson dengan laju λ Maka waktu antar kedatangan (interarrival times), S akan menyebar secara exponential dengan rata-rata (mean) 1/ λ Dan waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n, W mempunyai sebaran gamma dengan parameter (n, λ)

Contoh Suatu sumber radioaktif memancarkan partikel mengikuti proses Poisson dengan laju λ=2 partikel per menit. Berapa peluang bahwa partikel pertama akan muncul setelah tiga menit?

Berapa peluang bahwa partikel pertama muncul setelah menit ke-3 menit akan tetapi sebelum menit ke-5?

Proses Poisson dan Sebaran Binomial Teorema Diberikan X(t) suatu proses Poisson dengan laju λ>0, maka untuk 0<u<t dan 0 ≤ k ≤n Bukti:

Contoh: X(t): jumlah kedatangan pelanggan ke suatu fasilitas umum Adalah proses Poisson dengan laju =2 pelanggan/jam Jika 6 pelanggan datang pada setelah 3 jam fasilitas dibuka, berapa peluang bahwa terdapat 2 pelanggan datang selama jam pertama fasilitas tersebut dibuka? 0<1<3 and 0 ≤2≤6

Definisi Proses Kelahiran dan Kematian (Birth and Death Process) Adalah proses Markov untuk waktu kontinyu X(t) dengan: State space yang bersifat diskrit Kemungkinan state: i = 0, 1, 2, ... sedemikian sehingga Transisi state hanya mungkin terjadi antara state yang bertentangga , i→ i+1 or i→ i-1 Transisi tersebut terjadi pada selang waktu tertentu dari t sampai dengan (t+∆t)

Birth and Death Process Digunakan untuk memodelkan Proses reproduksi organisme Penyebaran penyakit menular Sistem antrian

Laju transisi: Ketika sistem berada pada state i Peluang kelahiran pada selang waktu ∆t adalah λi∆t Peluang kematian pada selang waktu ∆t adalah μi∆t Laju transisi:

Peluang Equilibrium Probability dari Birth and Death Process Adalah peluang dari proses berada di state i, tanpa tergantung waktu Pada saat equilibrium total aliran peluang (net flow) adalah 0 State 0 dapat dijangkau dari state 1 dengan peluang π1 dan laju μ1 State 0 dengan peluang π0 dapat berubah menjadi state 1 dengan laju λ0 Secara umum: State k dapat dijangkau dari k+1 dengan peluang πk+1 dan laju μk+1 State k dengan peluang πk dapat berubah menjadi state k+1 dengan laju λk

Hubungan berikut mendefinisikan net flow balance: Dst secara rekursif:

π0 menentukan syarat di atas Dengan batasan sedemikian sehingga fungsi peluang dapat terdefinisi dengan baik: π0 menentukan syarat di atas

Contoh: Proses kelahiran dan kematian berawal dari X(0)=0 dan 0, 1, 2, 3 adalah kemungkinan state , dengan parameter kelahiran dan kematian Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state 0?

Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state1?