PROGRAM LINIER By GISOESILO ABUDI

Tentangku Alamat Rumah : Kemlaten Baru Barat Kenongo Kav. 57 Surabaya 60222 Telepon : 031-72687730 Email : gisoesilo_wp@yahoo.com soesilo180571@gmail.com Blog : soesilongeblog.wordpress.com

PROGRAM LINIER A. Pengertian Program linier / Motivasi B. Grafik Himp. Penyel. S Pertidaksamaan L C. Model matematika D. Nilai Optimum Fungsi Objektif E. Garis Selidik

C. Model Matematika Masalah-masalah program linier dalam bidang teknik, perdagangan, bisnis, maupun dalam kegiatan perindustrian akan lebih mudah diselesaikan jika permasalahan tersebut diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam pernyataan Matematika. Pernyataan matematika ini menggunakan variabel (peubah) dan notasi matematika. Dengan ini akan diperoleh suatu model matematika

Model Matematika Contoh 1 Pedagang buah mempunyai rak yang hanya cukup ditempati untuk 40 keranjang buah. Buah mangga dibeli dengan harga Rp6000,00 setiap keranjang dan buah jeruk dibeli dengan harga Rp8000,00 setiap keranjang. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp300.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah ini.

Solusi Pertama kita misalkan : Buah mangga = x Buah jeruk = y, maka : Sehingga x + y ≤ 40 6000x + 8000y ≤ 300.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 150 Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 B. Mangga B. Jeruk Kapasitas Banyak x y 40 Harga 6000x 8000y 300.000

Solusi x + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 X 40 Y X 50 Y 37,5 Y 40 Y X 50 Y 37,5 Y x + y ≤ 40 40 3x + 4y ≤ 150 37,5 HP X 40 50

Model Matematika Contoh 2 Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu untuk anak-anak dan dewasa. Rata-rata harga beli sepasang sepatu anak-anak adalah Rp50.000,00 dan sepatu dewasa Rp100.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu dan modal yang tersedia Rp5.000.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah ini.

Solusi Pertama kita misalkan : Sepatu anak-anak = x Sepatu dewasa = y, maka : Sehingga x + y ≤ 80 50.000x + 100.000y ≤ 5.000.000 ⇔ x + 2y ≤ 100 Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0 S. Anak-anak S. Dewasa Kapasitas Banyak x y 80 Harga/pasang Rp50.000,00x Rp100.000,00y Rp5.000.000,00

Solusi x + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0 X 80 Y X 50 Y 100 Y 80 Y X 50 Y 100 Y x + 2y ≤ 100 100 x + y ≤ 80 80 HP X 50 80

Latihan Jika Anda siswa kelas X kelompok teknologi kerjakan soal latihan halaman 158 - 159 (buku sumber Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Penerbit Erlangga) Jika Anda siswa kelas X kelompok bisnis kerjakan soal latihan halaman 178 - 179 (buku sumber Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan, Penerbit Erlangga)

D. Nilai Optimum Fungsi Objektif Salah satu cara menentukan nilai optimum dengan menggunakan uji titik pojok. Langkah-langkah Rumuskan persoalan kedalam model matematikan. Dan tentukan pula fungsi objekftif (ax + by) Gambarlah daerah penyelesaian yang memenuhi Hitunglah nilai dari bentuk objektif (syarat untuk maksimum atau minimum)

Nilai Optimum Fungsi Objektif Contoh 1. Pedagang buah mempunyai rak yang hanya cukup ditempati untuk 40 keranjang buah. Buah mangga dibeli dengan harga Rp6000,00 setiap keranjang dan buah jeruk dibeli dengan harga Rp8000,00 setiap keranjang. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp300.000,00, keuntungan yang diperoleh Rp500 dan Rp750 untuk masing-masing buah mangga dan jeruk. Buatlah model matematika untuk masalah ini dengan tujuan memaksimumkan keuntungan.

Solusi Pertama kita misalkan : Buah mangga = x, dan Buah jeruk = y, maka : Sehingga x + y ≤ 40 6000x + 8000y ≤ 300.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 150 Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 F(x, y) = 500x + 750y B. Mangga B. Jeruk Kapasitas Banyak x y 40 Harga 6000x 8000y 300.000 Fungsi 500x 750y

Solusi x + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 X 40 Y X 50 Y 37,5 Y 40 Y X 50 Y 37,5 Y x + y ≤ 40 40 3x + 4y ≤ 150 D 37,5 C HP B X A 40 50

Solusi x + y = 40 |x3| 3x + 3y = 120 3x + 4y =150 |x1| 3x + 4y = 150 -y = -30 ⇔ y = 30 x + y = 40 ⇔ x + 30 = 40 ⇔ x = 10 Uji titik pojok Jadi nilai maksimumnya adalah Rp28.125 _ F(x, y) 500x + 750y Keterangan A(0, 0) 500.0 + 750.0 = 0 B(40, 0) 500.40 + 750.0 = 20.000 Nilai minimum C(10, 30) 500.10 + 750.30 = 27.500 D(0, 37,5) 500.0 + 750.37,5 = 28.125 Nilai maksimum

Nilai Optimum Fungsi Objektif Contoh 4 Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu untuk anak-anak dan dewasa. Rata-rata harga beli sepasang sepatu anak-anak adalah Rp50.000,00 dan sepatu dewasa Rp100.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu dan modal yang tersedia Rp5.000.000,00. Keuntungan yang diperoleh pada tiap penjualan adalah Rp10.000,00 dan Rp15.000,00 masing-masing untuk sepatu anak-anak dan dewasa. Buatlah model matematika untuk masalah ini dengan tujuan memaksimumkan keuntungan dari penjualan tersebut.

Solusi Pertama kita misalkan : Sepatu anak-anak = x, Sepatu dewasa = y, maka : Sehingga x + y ≤ 80 50.000x + 100.000y ≤ 10.000 ⇔ x + 2y ≤ 100 Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0 F(x, y) = 10.000x + 15.000y S. Anak-anak S. Dewasa Kapasitas Banyak x y 80 Harga/pasang Rp50.000,00x Rp100.000,00y Rp5.000.000,00 Fungsi 10.000x 15.000y

Solusi x + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0 X 80 Y X 50 Y 100 Y 80 Y X 50 Y 100 Y x + y ≤ 80 100 x + 2y ≤ 100 80 HP X 50 80

Solusi x + y = 80 x + 2y =100 -y = -20 ⇔ y = 20 x + y = 80 ⇔ x + 20 = 80 ⇔ x = 60 Uji titik pojok Jadi nilai maksimumnya adalah Rp1.200.000 _ F(x, y) 10.000x + 15.000y Keterangan A(0, 0) 10.000.0 + 15.000.0 = 0 B(50, 0) 10.000.50 + 15.000.0 = 500.000 Nilai minimum C(60, 20) 10.000.60 + 15.000.20 = 900.000 D(0, 80) 10.000.0 + 15.000.80 = 1.200.000 Nilai maksimum

Latihan Jika Anda siswa kelas X kelompok teknologi kerjakan soal latihan halaman 164 - 165 (buku sumber Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Penerbit Erlangga) Jika Anda siswa kelas X kelompok bisnis kerjakan soal latihan halaman 187 - 189 (buku sumber Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan, Penerbit Erlangga)

E. Garis Selidik Garis selidik merupakan garis sejajar garis acuan. Misal : Diketahui fungsi objektif f(x, y) = ax + by, maka garis acuan adalah garis ax + by = ab. Sehingga, garis selidik adalah ax + by = k yang diperoleh dengan cara menggeser garis acuan ax + by = ab ke kanan atau ke kiri, hingga didapatkan nilai optimum.

Sifat-sifat garis selidik Untuk ax + by = k Jika k = 0, maka garis selidik ax + by = k melalui titik pangkal O (0, 0) Jika nilai k semakin besar, maka garis-garis ax + by = k semakin menjauh titik pangkal O (0, 0). Begitu juga sebaliknya, jika garis-garis ax + by = k menjauhi titik pangkal, maka nilai ax + by = k semakin besar.

Nilai optimum dengan garis selidik Untuk mencari nilai maksimum fungsi obyektif, garis selidik ax + by = k digeser ke kanan hingga diperoleh nilai maksimum Untuk mencari nilai minimum fungsi obyektif, garis selidik ax + by = k digeser ke kiri hingga diperoleh nilai minimum.

Contoh Seorang penjahit hendak membuat 2 model pakaian jadi dari dua jenis kain, yaitu kain polos dan kain bergaris. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Penjahit tersebut memiliki persediaan 20 m kain polos dan 15 m kain bergaris. Tentukan jumlah total maksimum pakaian yang dapat dibuat.

Solusi Misal model I = x dan Model II = y Tabel Diperoleh : x ≥ 0, y ≥ 0 x + 2y ≤ 20 1,5x + 0,5y ≤ 15 ⇔ 3x + y ≤ 30 Model I Model II Kapasitas Banyak X Y Kain Polos x 2y 20 Kain Bergaris 1,5x 0,5y 15

x + 2y ≤ 20; 3x + y ≤ 30; x ≥ 0; y ≥ 0 X 20 Y 10 X 10 Y 30 Y 20 Y 10 X 10 Y 30 Y Koordinat titik potong x + 2y = 20 |x1| x + 2y = 20 3x + y = 30 |x2| 6x + 2y = 60 _ -5x = -40 x = 8 Substitusi x = 8 ke persamaan x + 2y = 20 8 + 2y = 20 2y = 20 – 8 2y = 12 y = 6 Jadi koordinat titik potong P(8, 6) 30 10 P X 10 20

Pembuktian dengan garis selidik Y x + y = 14 x + y = 10 30 x + y = 2 14 x + y = 0 10 P 2 X 2 10 14 20 Garis putus-putus pada gambar adalah garis selidik x + y = k. Fungsi (x + y) mencapai maksimum dititik P(6, 8) dengan nilai maksimum 14

Latihan Jika Anda siswa kelas X kelompok teknologi kerjakan soal latihan halaman 168 (buku sumber Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Penerbit Erlangga) Jika Anda siswa kelas X kelompok bisnis kerjakan soal latihan halaman 187 - 189 (buku sumber Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan, Penerbit Erlangga)

Motivasi Hati-hatilah dengan perkataan Anda, karena akan menjadi suatu tindakan. Hati-hatilah dengan tindakan Anda, karena itu akan menjadi perilaku Anda. Hati-hatilah dengan perilaku Anda, karena itu akan menentukan masa depan Anda. (by Cak Gie)

Kegagalan awal keberhasilan Thank You ! Kegagalan awal keberhasilan