Dosen: Lies Rosaria, ST., MSi Ukuran dispersi Dosen: Lies Rosaria, ST., MSi

Pengertian dispersi Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya Ukuran dispersi pada dasarnya merupakan pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Jadi, dengan adanya ukuran dispersi maka penggambaran sekumpulan data akan menjadi lebih jelas dan tepat

Jenis-jenis ukuran dispersi Dispersi mutlak Jangkauan (Range) Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) Varians (Variance) Standar Deviasi (Standard Deviation) Simpangan Kuartil (Quartile Deviation) Dispersi relatif Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)

1. JANGKAUAN Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar dengan data dengan nilai terkecil data. R = nilai maksimum – nilai minimum Semakin kecil nilai R maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai R, maka kualitas datanya semakin tidak baik.

2. Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) Deviasi rata-rata atau simpangan rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpangannya. Deviasi rata-rata data tunggal: DR = 1 𝑛 𝑋− 𝑋 = 𝑋− 𝑋 𝑛 Deviasi rata-rata data berkelompok: DR = 1 𝑛 𝑓 𝑋− 𝑋 = 𝑓 𝑋− 𝑋 𝑛

banyaknya mahasiswa (f) Contoh 01. Tentukan deviasi rata-rata dan deviasi frekuensi dari data berikut ini: Berat badan banyaknya mahasiswa (f) 60 – 62 10 63 – 65 25 66 – 68 32 69 – 71 15 72 – 74 18

penyelesaian Dari tabel di atas didapat 𝑋 = 𝑓𝑋 𝑓 = 6718 100 = 67,18 Berat badan banyaknya mahasiswa (f) X f X X − X f X − X 60 – 62 10 61 610 6,18 61,8 63 – 65 25 64 1600 3,18 79,5 66 – 68 32 67 2144 0,18 5,76 69 – 71 15 70 1050 2,82 42,3 72 – 74 18 73 1314 5,82 104,76  100 6718 294,12 Dari tabel di atas didapat 𝑋 = 𝑓𝑋 𝑓 = 6718 100 = 67,18 DR = 𝑓 𝑋− 𝑋 𝑛 = 294,12 100 = 29,412

3. varians Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan s2. Untuk populasi, variansnya (varians populasi) disimbolkan dengan 2 (baca: sigma). Varians data tunggal Metode biasa Untuk sampel besar (n30): s2 = 𝑋− 𝑋 2 𝑛 Untuk sampel kecil (N30): s2 = 𝑋− 𝑋 2 𝑛−1 Metode angka kasar Untuk sampel besar (n30): s2 = 𝑋 2 𝑛 − 𝑋 𝑛 2 Untuk sampel kecil (N30): s2 = 𝑋 2 𝑛−1 − 𝑋 2 𝑛 𝑛−1

Contoh 02. Penyelesaian: Tentukan varians dari data 2, 3, 6 8, 11! 𝑋 = 2+3+6+8+11 5 = 6 s2 = 𝑋− 𝑋 2 𝑛−1 = 54 5−1 =13,5 s2 = 𝑋 2 𝑛−1 − 𝑋 2 𝑛 𝑛−1 = 234 5−1 − 30 2 5 5−1 = 13,5 X 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 X2 2 -4 16 4 3 -3 9 6 36 8 64 11 5 25 121 30 54 234

Varians data berkelompok Metode biasa Untuk sampel besar (n30): s2 = 𝑓 𝑋− 𝑋 2 𝑛 Untuk sampel kecil (N30): s2 = 𝑓 𝑋− 𝑋 2 𝑛−1 Metode angka kasar Untuk sampel besar (n30): s2 = 𝑓𝑋 2 𝑛 − 𝑓𝑋 𝑛 2 Untuk sampel kecil (N30): s2 = 𝑓𝑋 2 𝑛−1 − 𝑓𝑋 2 𝑛 𝑛−1 Metode coding Untuk sampel besar (n30): s2 = 𝐶 2 . 𝑓𝑢 2 𝑛 − 𝑓𝑢 𝑛 2 Untuk sampel kecil (N30): s2 = 𝐶 2 . 𝑓𝑢 2 𝑛−1 − 𝑓𝑢 2 𝑛 𝑛−1 Keterangan: C = panjang interval kelas u = 𝑑 𝐶 = 𝑋−𝑀 𝐶 M = rata-rata hitung sementara

Contoh 03. Tentukan varian dari distribusi frekuensi Contoh 01 dengan metode biasa, angka kasar dan coding! Penyelesaian: 𝑋 = 67,18 kelas f X f X X2 f X2 X − X (X − X )2 f (X − X )2 u u2 fu fu2 60 – 62 10 61 610 3721 37210 -6,18 38,1924 381,924 -2 4 -20 40 63 – 65 25 64 1600 4096 102400 -3,18 10,1124 252,81 -1 1 -25 66 – 68 32 67 2144 4489 143648 -0,18 0,0324 1,0368 69 – 71 15 70 1050 4900 73500 2,82 7,9524 119,286 72 – 74 18 73 1314 5329 95922 5,82 33,8724 609,7032 2 36 72  100 6718 22535 452680 90,162 1364,76 6 152

Dengan metode biasa s2 = 𝑓 𝑋− 𝑋 2 𝑛 = 1364,76 100 = 13,6476 Dengan metode kasar s2 = 𝑓𝑋 2 𝑛 − 𝑓𝑋 𝑛 2 = 452680 100 − 6718 100 2 =13,6476 Dengan metode coding s2 = 𝐶 2 . 𝑓𝑢 2 𝑛 − 𝑓𝑢 𝑛 2 = 3 2 . 152 100 − 6 100 2 =. 1368 100 − 36 10000 =13,6476

4. SIMPANGAN BAKU (STANDAR DEVIASI) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar rata-rata kuadrat (s = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 ). Untuk sampel, simpangan bakunya dilambangkan dengan s, sedangkan untuk simpangan baku populasi dilambangkan dengan . Simpangan baku data tunggal Metode biasa Untuk sampel besar (n30): s = 𝑋− 𝑋 2 𝑛 Untuk sampel kecil (N30): s = 𝑋− 𝑋 2 𝑛−1 Metode angka kasar Untuk sampel besar (n30): s = 𝑋 2 𝑛 − 𝑋 𝑛 2 Untuk sampel kecil (N30): s = 𝑋 2 𝑛−1 − 𝑋 2 𝑛 𝑛−1

Simpangan baku data berkelompok Metode biasa Untuk sampel besar (n30): s = 𝑓 𝑋− 𝑋 2 𝑛 Untuk sampel kecil (N30): s = 𝑓 𝑋− 𝑋 2 𝑛−1 Metode angka kasar Untuk sampel besar (n30): s = 𝑓𝑋 2 𝑛 − 𝑓𝑋 𝑛 2 Untuk sampel kecil (N30): s = 𝑓𝑋 2 𝑛−1 − 𝑓𝑋 2 𝑛 𝑛−1 Metode coding Untuk sampel besar (n30): s = 𝐶 2. 𝑓𝑢 2 𝑛 − 𝑓𝑢 𝑛 2 Untuk sampel kecil (N30): s = 𝐶 2. 𝑓𝑢 2 𝑛−1 − 𝑓𝑢 2 𝑛 𝑛−1 Keterangan: C = panjang interval kelas u = 𝑑 𝐶 = 𝑋−𝑀 𝐶 M = rata-rata hitung sementara

5. Koefisien variasi (dispersi relatif) Untuk melihat penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdiri dari beberapa kumpulan data. Bentuk umum : Dispersi relatif = dispersi absolut rata−rata Koefisien Variasi, KV = 𝑠 𝑋 × 100% Variasi Jangkauan, VR = 𝑅 𝑋 × 100% Variasi simpangan rata-rata, VSR = 𝑆𝑅 𝑋 × 100% Variasi kuartil (VQ) = 𝑄𝑑 𝑀𝑒 × 100% = 𝑄 3 − 𝑄 1 𝑄 3 + 𝑄 1 × 100%

Latihan 01 Dua perusahaan yakni “CV. Ngalor” dan “CV Ngidul” memiliki karyawan sebanyak 100 orang. Untuk keperluan penelitian diambil sampel sebanyak 8 orang setiap perusahaan dengan gaji masing-masing (dalam ribuan rupiah): 300, 250, 350, 600, 650, 500, 550, 450 dan 200, 250, 300, 650, 550, 550, 600, 400. Tentukan dispersi relatif perusahaan tersebut (gunakan ke-4 macam dispersi relatif. Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji yang lebih baik?

6. kemencengan/kecondongan Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama sehingga distrbusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor lebih panjang ke kanan daripada ke kiri maka maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, Jika distribusi memiliki ekor lebih panjang ke kiri daripada ke kanan maka maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

GAMBAR 1. KEMENCENGAN DISTRIBUSI Untuk mengetahui konsentrasi distrbusi menceng ke kanan atau ke kiri digunakan metode-metode: Koefisien kemencengan pearson Koefisien kemencengan bowley Koefisien kemencengan persentil Koefisien kemencengan momen

a. Koefisien kemencengan pearson Rumus koefisien kemencengan: sk = 𝑋 −𝑀𝑜 𝑠 Keterangan : sk = koefisien kemencengan pearson Apabila secara empiris didapat hubungan antar nilai pusat sebagai: 𝑋 −𝑀𝑜=3 𝑋 −𝑀𝑒 Maka rumus kemencengan menjadi: sk = 3 𝑋 −𝑀𝑒 𝑠 Jika sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka: Sk = 0, berarti kurva berbentuk simetris Sk > 0, berarti kurva menceng ke kanan (menceng positif) Sk < 0, berarti kurva menceng ke kiri (menceng negatif)

b. Koefisien kemencengan bowley (Kuartil koefisien kemencengan) Rumus koefisien kemencengan: 𝑠𝑘 𝐵 = 𝑄 3 − 𝑄 2 − 𝑄 2 − 𝑄 1 𝑄 3 − 𝑄 2 + 𝑄 2 − 𝑄 1 Atau 𝑠𝑘 𝐵 = 𝑄 3 −2 𝑄 2 + 𝑄 1 𝑄 3 − 𝑄 1 Keterangan: skB = koefisien kemencengan bowley Q = kuartil Jika skB dihubungkan dengan keadaan kurva maka: 𝑄 3 − 𝑄 2 > 𝑄 2 − 𝑄 1 , berarti kurva menceng ke kanan (menceng positif). 𝑄 3 − 𝑄 2 < 𝑄 2 − 𝑄 1 , berarti kurva menceng ke kanan (menceng positif). skB positif, berarti distribusi menceng ke kanan skB negatif, berarti distribusi menceng ke kiri skB = ± 0,1 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skb > 0,3 menggambarkan kurva yang menceng berarti.

c. Koefisien kemencengan persentil Rumus koefisien kemencengan: 𝑠𝑘 𝑝 = 𝑃 90 − 𝑃 50 − 𝑃 50 − 𝑃 10 𝑃 50 − 𝑃 10 Atau, 𝑠𝑘 𝑝 = 𝑃 90 −2 𝑃 50 + 𝑃 10 𝑃 50 − 𝑃 10 Keterangan: skP = koefisien kemencengan persentil P = Persentil

d. Koefisien kemencengan momen (kemencengan relatif) Untuk data tunggal, rumus: 𝛼 3 = 𝑀 3 𝑆 3 = 1 𝑛 𝑋− 𝑋 3 𝑆 3 Untuk data berkelompok, rumus: 𝛼 3 = 𝑀 3 𝑆 3 = 1 𝑛 𝑓 𝑋− 𝑋 3 𝑆 3 Atau 𝛼 3 = 𝐶 3 𝑆 3 = 𝑓 𝑢 3 𝑛 −3 𝑓 𝑢 2 𝑛 𝑓𝑢 𝑛 +2 𝑓𝑢 𝑛 3

7. Keruncingan (kurtosis) Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Dapat dibedakan atas tiga macam: Leptokurtik : distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi Platikurtik : distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar Mesokurtik : distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar GAMBAR 2. KERUNCINGAN KURVA

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien keruncingan dan koefisien kurtosis persentil. Koefisien Keruncingan Ketentuan: Nilai < 3, distribusi plaktikurtik Nilai > 3, distribusi leptokurtik Nilai = 3, distribusi mesokurtik Data tunggal: 4 = 1 𝑛 𝑋− 𝑋 4 𝑠 4 Data berkelompok : 4 = 1 𝑛 𝑓 𝑋− 𝑋 4 𝑠 4

Tugas i Buatlah tabel dengan ketentuan sbb: Banyaknya data (N)  50 data Jangkauan sesuaikan dengan 1 angka NPM terakhir. Apabila genap R = 4. apabila ganjil R= 5 dan nol R = 6 Dari tabel yang telah dibuat, hitung : Rata-rata hitung (dengan 3 metode), Median dan Quartil (Q1,Q2,Q3) Varians, Simpangan baku dan simpangan rata-rata Tabel Data tidak boleh ada yang sama dengan teman lain. Kalo ada yang sama, dianggap tidak mengerjakan. Tugas dikumpulkan paling lambat 1 minggu setelah tugas ini diberikan (pada saat pertemuan minggu berikutnya).

Tugas i Buatlah masing-masing satu contoh soal dan pembahasan mengenai : Koefisien variasi Kemencengan dengan 4 metode Keruncingan dengan 2 metode Dengan Ketentuan: Soal dapat berupa data tunggal atau data berkelompok. Contoh soal tidak boleh ada yang sama dengan teman lain. Kalo ada yang sama, dianggap tidak mengerjakan. Apabila memungkinkan, disertai dengan gambar grafik. Tugas dikumpulkan paling lambat 1 minggu setelah tugas ini diberikan (pada saat pertemuan minggu berikutnya).