Bunga tunggal dan bunga kelompok Imam Malik Safrudin 662011001 imammaliks@live.com

Bunga tunggal

Data tunggal Bunga Tunggal merupakan bunga yang hanya digitung berdasarkan uang pokok tanpa mengperhitungkan bunga yang telah diakumulasikan pada periode sebelumnnya (sumber). Kategori bunga tunggal: Bunga tunggal atas satu satuan waktu Bunga tunggal selama bebrapa unit waktu Hari dan tahun konvensi Nilai waktu dan uang

Bunga tunggal atas satu satuan waktu Maksudnya, hanya ada satu deposito dan satu pembayaran. Dalam hal ini pembayaran merupakan jumlah uang pokok ditambah bunga atau disebut juga future value. 𝑖= 𝐶 𝐼 − 𝐶 0 𝐶 0 , 𝑖 = tingkat bunga per periode, 𝑐 0 = uang awal periode, dan 𝑐 1 = uang akhir periode Diperoleh juga 𝑐 1 = 𝑐 0 (1+𝑖) dan 𝑐 0 = 1 1+𝑖 𝑐 1

Bunga tunggal atas satu satuan waktu - Contoh Soal Contoh soal: Andaikan uang sejumlah 100 pound diinvestasikan untuk satu tahun pada bunga 8%/tahun. Berapa pound uang yang harus dikembalikan? Jawab: misalakan 𝑐 1 merupakan uang pengembalian, 𝑖=8%=0,08 dan 𝑐 0 =100. Sehingga diperoleh, 𝑐 1 = 𝑐 0 1+𝑖 =100 1+0,08 =108 pound

Bunga tunggal selama beberapa satuan waktu Penghitungan atas 𝑛 waktu, dapat dicari dengan rumus berikut: 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 +𝑛𝑖 𝑐 0 = 𝑐 0 (1+𝑛𝑖), 𝑖 = tingkat bunga per periode, 𝑐 0 = uang awal periode, dan 𝑐 𝑛 = uang akhir periode Diperoleh juga 𝑐 0 = 1 1+𝑛𝑖 𝑐 𝑛

Bunga tunggal selama beberapa unit waktu – Contoh Soal Contoh soal: Seorang mahasiswa meminjam uang sebesar Rp. 1.000.000 di Koperasi dengan bunga tunggal 10%/thn selama 4 tahun dan dibayar sekali pada tahun ke 4. Berapa besar hutang yang harus dibayar oleh mahasiswa tersebut pada akhir tahun ke 4? Jawab: 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 +𝑛𝑖 𝑐 0 =1000000+4∗ 10 100 ∗1000000=1400000 juta

Bunga tunggal Hari dan tahun konvensi Penghitungan bunga biasanya didasarkan pada jumlah hari yang tepat sebagai proporsi tahun. Instrumen keuangan domestic di Inggris menganggap ada 365 hari dalam satu tahun, bahkan dalam tahun kabisat. Konvensi ini dilambangkan ACT/365 (jumlah hari actual dibagi 365).

Bunga tunggal Hari dan tahun konvensi – Contoh Soal Dengan menggunakan asumsi ACT/365. Berapa banyak bunga yang akan dibayarkan? Investasi deposito 1000 pound untuk 60 haridengan bunga 10% per tahun? Investasi deposito 1000 pound tepat satu tahun dengan bunga 10% per tahun? Investasi deposito 1000 pound tepat satu tahun kabisat dengan bunga 10% per tahun? Jawab: 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 𝑛𝑖=1000× 60 365 ×0.1.=16.44 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 𝑛𝑖=1000×0.1.=100 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 𝑛𝑖=1000× 366 365 ×0.1.=100.27

Nilai waktu dari uang Secara umum, sejumlah uang memiliki nominal yang berbeda pada tanggal yang berbeda. Misalkan jumlah 𝑐 0 diinvestasikan pada tingkat bunga tunggal 𝑖. Nilai waktu direpresentasikan dalam berikut diagram: Perhitunga bunga tunggal hanya dapat dilakukan terhadap satu titik waktu yang tetap. Titik waktu tetap ini disebut juga titik focus atau tanggal penilaian.

Bunga tunggal Nilai waktu dari uang – Contoh Soal Seseorang mengambil pinjaman 5.000 pound dengan bunga 9%/thn pada bunga tunggal. Dia melunasi 1.000 pound setelah 3 bulan (waktu 𝑡 0 + 1 4 ), 750 pound setelah dua bulan lagi (waktu 𝑡 0 + 5 12 ) dan selanjutnya 500 pound setelah sebulan lebih (tanggal 𝑡 0 + 1 2 ). Berapa sisa uang pelunasan setelah satu tahun pinjaman (waktu 𝑡 0 + 1)? Jawab: Ambil 𝑡 0 +1 sebagai titik focus, Sehingga diperoleh 5000 1+0.09 −1000 1+0.09 9 12 −750 1+0.09 7 12 −500 1+0.09 1 2 =3070.625

Bunga majemuk

Bung majemuk Bunga majemuk merupakan bunga yang dihitung berdasarkan uang pokok ditambah besarnya bunga yang telah terakumulasi pada periode sebelumnya (Raharjo, 2007). Bunga majemuk dapat dihitung menggunakan rumus berikut: 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 (1+𝑖) 𝑛 dimana 𝑖= tingkat bunga per periode, 𝑐 0 = uang awal periode dan 𝑐 𝑛 =uang akhir periode (akumulasi setelah 𝑛 tahun)

Contoh soal Misalkan seorang investor berinvestasi 720 pound selama dua tahun pada tingkat bunga majemuk 10% per tahun. Cari jumlah kembalinya Jawab: dengan menggunakan rumus bunga majemuk diperoleh 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 (1+𝑛) 𝑛 = 720(1+0.1) 2 =871.20 pound

Perbedaan bunga tunggal dan majemuk Bunga tunggal : bunga yang dihitung terhadap uang pokok, pertumbuhan bunga terakumulasi linier. Bunga majemuk : bunga yang dihitung berdasarkan jumlah uang yang telah terakumulasi, pertumbuhan bunga eksponensial.

Nilai sekarang atau saat ini Misalkan 𝑡 1 ≤ 𝑡 2 maka investasi 𝑐 1+𝑖 𝑡 2 − 𝑡 1 saat 𝑡 1 akan menghasilkan pengembalian 𝑐 pada waktu 𝑡 2 . Oleh karena itu: 𝑐 1+𝑖 𝑡 2 − 𝑡 1 Merupakan nilai diskonto pada 𝑡 1 dari jumlah 𝑐 saat waktu 𝑡 2 . Secara khusus, istilah "nilai sekarang (waktu 0) dari jumlah 𝑐 pada waktu 𝑡" berarti "Nilai diskonto pada saat 0 dari jumlah 𝑐 pada waktu 𝑡." Dengan demikian, jika tingkat bunga majemuk adalah 𝑖 per satuan waktu, maka nilai sekarang dari jumlah 𝑐 pada waktu 𝑡 adalah 𝑐 (1+𝑖) 𝑡 =𝑐 𝑣 𝑡 , dimana 𝑣= 1 1+𝑖 yang disebut dengan faktor diskonto.

Nilai Sekarang – Contoh Soal Tingkat inflasi disesuaikan dengan return. Misalkan tingkat inflasi adalah 𝑖 0 per tahun. Lebih lanjut bahwa investasi menghasilkan return 𝑖 1 per tahun. Apakah tingkat inflasi disesuaikan return, 𝑖 𝑎 , saat investasi? Secara khusus, jika 𝑖 1 =0.04 (4% per tahun) dan tingkat inflasi adalah 𝑖 0 = 0.02 (2% per tahun), maka 𝑖 𝑎 adalah ? Jawab

Nilai Sekarang – jawaban Misalkan modal pada waktu 0 adalah 𝑐 0 . Setelah 1 tahun, nilai akumulasi menjadi 𝑐 0 (1+ 𝑖 1 ). Sehingga, inflasi saat nilai 0 jumlahnya adalah 𝑐 0 (1+ 𝑖 1 ) dan pada waktu 1 adalah 𝑐 0 (1+ 𝑖 1 ) (1+ 𝑖 0 ) , Oleh karena itu 𝑖 𝑎 = 1+ 𝑖 1 (1+ 𝑖 1 ) −1= ( 𝑖 1 − 𝑖 0 ) (1+ 𝑖 0 ) Jelas, jika 𝑖 0 kecil maka 𝑖 𝑎 ≈ 𝑖 1 − 𝑖 0 . Untuk kasus tertentu 𝑖 𝑎 = 𝑖 0 1+ 𝑖 0 = 0.02 1.02 =0.0196 atau 1.96%. Pendekatan yang biasa digunakan adalah 𝑖 1 − 𝑖 0 yang memberikan 2%

Harga nominal dan efektif bunga-contoh numerik Pinjaman perusahaan sering mengutip seperti tingkat bunga 15% per tahun ditambah bulanan. Ini berarti bahwa pinjaman dari 100 pound untuk satu tahun akan terakumulasi ke 𝑐 0 1+ 𝑖 𝑡 𝑡 =100 1+ 0.15 12 12 =100∗1.1608=116.08 pound Note: 𝑡 dalam hal ini satuan bulan.

Harga nominal dan efektif bunga-contoh numerik Demikian pula, misalkan investasi membayar tingkat bunga 12% per tahun berlanjut dengan bunga majemuk hingga 12 kali per tahun. Kemudian sesuai tingkat bunga efektif tahunan didefinisikan sebagai tingkat bunga yang akan menghasilkan jumlah yang sama pada tiap tahun; yaitu 𝑐 0 1+ 𝑖 𝑡 𝑡 = 1+ 0.12 12 12 −1= 1+0.01 12 −1=0.1268 atau 12.68%

Harga nominal dan bunga efektif -contoh numerik Misalkan 1000 pound diinvestasikan selama dua tahun sebesar 10% per tahun ditambah setengah tahunan. Berapa Jumlah uang yang kembali? Jumlahnya adalah 1000 1.05 4 =1215.51

Tingkat bunga nominal dan efektif untuk kasus umum Pada kasus umum, 𝑖 (𝑚) dan 𝑖 1 𝑚 menunjukkan tingkat bunga nominal per satuan waktu yang bunga dimajemukkan 𝑚 kali per satuan waktu dan yang berkorespondensi dengan tingkat bunga efektif dari 𝑖 per satuan waktu. Hubungan diantara kuantitas keduanya diperoleh: 𝑖= 1+ 𝑖 (𝑚) 𝑚 𝑚 −1 Kuantitas 𝑖 (𝑚) =𝑚[ 1+𝑖 1 𝑚 −1] juga dideskripsikan sebagai tingkat bunga nominal per satuan waktu yang dibayarkan 𝒎 kali. Ditinggalkan sebagai contoh, untuk membuktikan: 𝑖= 𝑖 (1) > 𝑖 (2) > 𝑖 (3) >… Jika 𝑝= 1 𝑚 , banyaknya 𝑖 (𝑚) juga dinotasikan dg 𝑖 𝑝 dan dinamakan tingkat bunga nominal per periode 𝑝 yg berkorenspondensi terhadap tingkat bunga efektif dari 𝑖 per satuan waktu. (1)

Tingkat bunga nominal dan efektif untuk kasus umum Menulis persamaan (1) kedalam 𝑝 diperoleh 1+𝑖 𝑝 =1+ 𝑝𝑖 𝑝 dimana 𝑝= 1 𝑚 dan 𝑖 𝑝 = 𝑖 (𝑚) . Kuantitas 𝑖 𝑒𝑝 = 𝑝𝑖 𝑝 = 𝑖 (𝑚) 𝑚 dinamakan tingkat bunga efektif atas periode p. Scara khusus, 𝑖 (1) =𝑖= 𝑒 𝑖1 dinamakan suku bunga efektiff per satuan waktu. Lebih jelasnya, ekuivalen dengan tingkat bunga efektif tahunan, sebaiknya digunakan untuk membandingkan tingkat bunga nominal dengan interval majemuk yang berbeda.

Tingkat bunga nominal dan efektif untuk kasus umum-contoh soal Misalnya tingkat bunga nominal 10% per tahun yang dibayarkan tiap perempat tahun. Cari: Suku bunga efektif per tahun Suku bunga tiap 3 bulan Jawab: Pada kasus ini, 𝑝= 1 4 dan 𝑖 𝑝 =0.1 𝑖 𝑒𝑝 = 0.1 4 =0.025. Suku bunga per tahun 𝑖= 1+ 𝑖 𝑒𝑝 4 −1= 1+0.025 4 1+0.025 4 −1=1.1038−1 atau 10.38%

Terminologi Ada 2 kasus sesial: Jika tingkat bunga ditawarkan pada investasi 6 bulan adalah10%, kemudian investor akan menerima 5% dari bunga pada modalnya, berhenti 6 bulan. Pada umumnya, untuk situasi <1 tahun, ekuivalen dengan bunga tunggal per tahun yang biasa dibagi. Jika investasi 3 tahun pada 10% berarti investor akan menerima jumlah dari bunga 𝑐 0 × 1.1 3 dimana 𝑐 0 merupakan awal investasinya. Asumsi ini dapat diinvestasikan kembali. Pada kasus ini, tarif yang dipakai adalah tarif satu tahun yang dimajemukkan. ff

Terminologi-lanjutan Dasar satuan waktu adalah selalu mengasumsikan terhadap satu tahun kecuali, satuan waktu yang sudah eksplisit. Kata, “sebuah investasi 3 tahun pada 10%” dulu berarti “sebuah investasi pada 10% per tahun”. Pada umumnya, untuk menetapkan tingkat bunga kita butuh menetapkan dasar satuan waktu dan periode konversinya. Sebuah tingkat bunga kita sebut efektif jika dasar satuan waktu dan periode konversinya sama dan kemudian bunga merupakan kredit pada akhir untuk dasar satuan waktu. Ketika periode konversinya tidak sama dengan dasar periode waktunya, tingkat bunga disebut nominal.

Terminologi-Contoh soal Tingkat bunga efektif 12% dalam 2 tahun sama saja tingkat bunga nominal 6% per tahun dalam jangka waktu peminjaman 2 tahun. Hal ini merupakan pembayaran satu bunga setelah 2 tahun dan pembayaran yang sama besarnya dengan 12% terhadap modal. Tingkat bunga efektif 3% per perempat tahun sama dengan tingkat bunga nominal 12% per tahun, dengan pembayaran setiap empat kali setahun. Pada umumnya, untuk kedua 𝑝∈(0,1) dan 𝑝>1, tingkat bunga efektif 𝑖 𝑒𝑝 terhadap periode 𝑝 juga dideskripsikan sebagai tingkat unga nominal 𝑖 𝑝 = 𝑖 𝑒𝑝 𝑝 per tahun, konversi 1 𝑝 kali setahun.

Terminologi-lanjutan Perhitungan biasanya hanya dilakukan pada tingkat bunga efektif, sedangkan tingkat bunga nominal hanya masalah presentasi. Ingat ini: 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙=𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖×𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑒𝑓𝑒𝑘𝑡𝑖𝑓 atau 𝑖 (𝑚) =𝑚× 𝑖 𝑒𝑝

Daftar pustaka Etin Solihatin dan Raharjo. (2007). Cooperative Learning. Jakarta : Bumi Aksara.

Terima kasih