Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah Yulvi zaika

Deret taylor untuk satu variable bebas Deret Pangkat: ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n …… Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat f(x)=ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n …… Deret Taylor untuk delta (kenaikan) yang kecil f(x)=f(h) + f(b)’(x-h)+ f(h)’’ (x-h)2+ f(h)’’’ (x-h)3……… f(b)n(x-h)n …… 2! 3! n! Bila h=0 maka deret menjadi deret Maclaurin f(x)=f(0) + f(0)’(x)+ f(0)’’ (x)2+ f(0)’’’ (x)3……… f(0)n(x)n …… 2! 3! n! (354)

Derter taylor untuk dua variable bebas Jika z=f(x,y); kenaikan terjadi arah x dan y maka Z+z=(x+h, y+k); dimana h = keneikan arah x dan k = kenaikan arah y Untuk R fx(x,y) = df(x,y)/dx dan fxx(x,y)=d2f(x,y)/dx2 Dari R ke Q maka (x+h) konstan : y berubah (y+k) (1) (2)

continue Untuk mendapatkan formulasi kenaikan pada y dari persamaan kenaikan terhadap x yaitu f(x+h,y) maka dapat dilakukan dengan menurunkan persamaannya. Turunan ke dua terhadap y Persamaan (2) menjadi

Teorema taylor untuk 2 variable bebas Bila persamaan yang diambil hanya sampai turunan kedua maka akan menjadi Jika z=f(x,y); h=dx dan k=dy maka teorema taylor dapat ditulis Bila z dipindahkan ke kiri maka Karena dx dan dy kenaikan yang kecil sehingga turunan berikutnya akan menjadi lebih kecil sehingga bias diabaikan, maka persamaannya akan menjadi

continue Dapat digambarkan sbg berikut

Contoh soal Jari – jari kerucut meningkat dengan kecepatan perubahan sebesar 1.5 mm/s dan tingginya meningkat sebesar 6.0 mm/s. Tentukan peningkatan perubahan volumenya saat r= 12mm dan h=24mm Solusi: V= 𝜋 𝑟 2 ℎ 3 ; 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑡 + 𝑑𝑉 𝑑ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑟ℎ 3 𝑑𝑟 𝑑𝑡 + 𝜋 𝑟 2 3 𝑑ℎ 𝑑𝑡 dr/dt=1.5mm/s dan dh/dt=6.0 mm/s maka 𝑑𝑉 𝑑𝑡 =288𝜋−288𝜋=0 Tidak terjadi perubahan volume pada r=12mm dan h=24mm

Perubahan variabel Bila z=f(x,y) dimana x, y juga merupakan fungsi dari variable bebas u dan v. formulasi untuk dz/du dan dz/dv. Persamaan awal adalah: Dengan membagi dengan du dan dv maka:

Contoh Jika z= x2-y2 dan x=r cos  dan y= r sin  tentukan dz/d ; dz/dr; d2z/d2; d2z/dr2 Solusi:

Fungsi invers Bila z=f(x,y) dan x dan y merupakan fungsi dari variable u dan v yang dinyatakan dalam fungsi u=g(x,y) dan v= h(x,y). Kita bias menentukan dx/du; dx/dv;dy/du; dy/dv serta dz/dx dan dz/dy Contoh: Jika z=f(x,y) dan u=excosy dan v=e-x sin y tentukan dx/du dan dx/dv (1) (2)

continue (1) (2) Jumlahkan Menentukan dy

rumusan Menentukan dx Menentukan dy Eliminasi dx Jika z=f(x,y) dan x=g(u,v); y=h(u.v) maka Untuk menentukan du dan dv eliminasi dy Kurangkan Eliminasi dx

continue Dari jawaban di atas terlihat bahwa pembaginya sama sehingga bias dinyatakan dengan determinan yang disebut dengan Jacobian