TESTABLE HYPOTHESES

Matriks ab x ( a+b+1 )

Asumsi

Hipotesis Dua hipotesis yang penting yaitu : Ho : τ1 = τ2 =... = τa: Tidak ada perbedaan pada efek yang terkait pada level dari faktor I Ho : β1 = β2 =... = βb: Tidak ada perbedaan pada efek yang terkait pada level dari faktor II Untuk melihat bahwa testable, pertama perlu melihat bahwa kontras dari τ dan β dapat diestimasi. Untuk itu, kita gunakan matriks X’X.

Matriks X’X Tampak bahwa matriks ini mempunyai dua ketergantungan antar kolom terhadap X. Oleh karena itu suatu matriks (a+b+1) x (a+b+1) memiliki rank a+b+1 Matriks tersebut digunakan untuk menentukan perkiraan kontras dari τ.

Theorema Pada desain dua faktor yang tidak berinteraksi, setiap kontras dari τ dapat diestimasi (estimable) Bukti : ω = a 1 τ 1 + a 2 τ a n τ n = [ 0 a 1 a 2... a n ]β = a’β Menyatakan kontras. Berdasarkan teorema 5.4.1, a’β dapat diestimasi (estimable) jika terdapat solusi pada sistem (X’X)z = a.

Berdasarkan Theorema Sistem tersebut memiliki solusi jikar [ X’X | a ] = r ( X’X ) dengan

...lanjutan

dimana C adalah matriks (a-1) x ( a+b+1 ) sebagai berikut :

Sum of Squares Regresi Seperti pada satu faktor, testable hypotheses dapat dicari dengan berbagai metode, misalnya F ratio, reparameterisasi menjadi full rank, atau membagi ke dalam subvektor β. Secara khusus, Sum of Squares Regresi untuk model penuh (full model) ditemukan maka Sum of Squares Regresi untuk model yang mengasumsikan τ 1 + τ 2 =... = τ a, ditemukan. Perbedaan antara keduanya adalah SS reg (hypothesis) digunakan untuk menguji Ho.

Sum of Squares Regresi (2) Ingat bahwa Sum of Squares Regresi untuk Full model adalah sebagai berikut : SS reg (full) = y’X (X’X) c X’y = b’X’y Karena Sum of Squares Regresinya invarian terhadap berbagai solusi persamaan normal, maka solusi dari sistem ( X’X )b =X’y dapat digunakan untuk menghitung SS full. Secara teori, satu solusi dapat ditemukan dengan menghitung ( X’X ) c X’y dimana ( X’X ) c adalah conditional inverse dari X’X.

Kendala ( Constraints )

Untuk mengetahui kenapa kendala diperlukan, ingat bahwa X’y adalah sebagai berikut : y.. menyatakan jumlah respons, y i. menyatakan jumlah respon pada level ke-i dan faktor I, dan y.j menyatakan jumlah respons pada level ke-j dari faktor II.

menyelesaikan sistem ( X’X )b = X’y Sisi kiri dari persamaan menjadi

menyelesaikan sistem ( X’X )b = X’y

Sehingga

...lanjutan

Derajat Bebas untuk Ho

Derajat Bebas untuk H’o