Deret Taylor dan Analisis Galat

Metode-metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi ke dalam bentuk polinom Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling mudah dipahami kelakuannya Kalau perhitungan dengan fungsi yang sesungguhnya menghasilkan solusi sejati, maka perhitungan dengan fungsi hampiran menghasilkan solusi hampiran Pada pertemuan lalu sudah dikatakan bahwa solusi numerik merupakan pendekatan (hampiran) terhadap solusi sejati, sehingga terdapat galat sebesar selisih antara solusi sejati dengan solusi hampiran Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya. Kakas yang digunakan untuk membuat polinom hampiran adalah deret Taylor.

INGAT!!!!! Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak METODE NUMERIK Terdapat kesalahan (error) terhadap nilai eksak Hasil:pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak) KOMPUTER Dalam proses perhitungannya (algoritma) dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang

DERET TAYLOR Definisi : Andaikan f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor) Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial. Bentuk umum deret Taylor: Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi . f(x) Order 2 Order 1 xi xi+1 f(xi ) : fungsi di titik xi f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1 f’, f’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi ∆x : jarak antara xi dan xi+1 Rn : kesalahan pemotongan ! : operator faktorial

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor) Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol) Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu) Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua) Perkiraan order nol Perkiraan order satu Perkiraan order dua

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor) Contoh Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik x = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik x0 = 0. Solusi: Memperhitungkan satu suku pertama (order nol) Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

KESALAHAN (ERROR) Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Terdapat tiga macam kesalahan: Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data. Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. contoh, nilai: 8632574 dapat dibulatkan menjadi 8633000 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

GALAT PEMBULATAN Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan.

Contoh : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667. Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu : (a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

(b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03 0,1714 x 10-13 atau 0,1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).

ANGKA BENA Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti. Contoh : 43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2) 278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

GALAT TOTAL Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Contoh : Galat pemotongan Galat pembulatan

KESALAHAN (ERROR) Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga. Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga yaitu: Nilai eksak dari diperoleh apabila semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Namun dalam prakteknya,sulit untuk menghitung semua suku sampai tak terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanya memperhitungkan beberapa suku pertama disebut dengan kesalahan pemotongan.

Maka : Galat pemotongan : Nilai hampiran Galat pemotongan

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat dirumuskan sebagai berikut: p = p* + Ee dengan: p : nilai eksak p* : nilai perkiraan Ee : kesalahan terhadap nilai eksak Sehingga dapat dicari besarnya kesalahan adalah sebagai perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan, yaitu: Ee = p – p* Pada kesalahan absolut,tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan Kesalahan Absolut

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF Kesalahan relatif: besarnya tingkat kesalahan ditentukan dengan cara membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak. Kesalahan Relatif terhadap nilai eksak Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen.

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF 1818 KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF Dalam metode numerik, besarnya kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak,sehingga kesalahan mempunyai bentuk sebagai berikut: dengan: Ea : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik p* : nilai perkiraan terbaik Indeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan (approximate value).

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang. dengan: : nilai perkiraan pada iterasi ke n : nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1