PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE N

PENDAHULUAN Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linier Orde n : an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + … + a1(x)y’ + a0(x)y = q(x) Bentuk Umum PD Linier Orde Kedua : a2y” + a1y’ + a0y = q(x) dimana a2, a1, a0 adalah konstanta. Jika q(x) = 0 maka dikatakan PD orde kedua homogen, dan bila q(x) ≠ 0 maka dikatakan PD linier orde kedua tidak homogen.

SOLUSI PD LINIER ORDE 2 Untuk memudahkan penyelesaian PD linier orde kedua dapat digunakan operator D, Yaitu : D = sehingga Dy = Cara lain untuk memperoleh penyelesaian umum PD homogen orde dua dengan koefisien konstanta adalah sbb : Pandang persamaan yg berbentuk : a0y” + a1y’ + a2y = 0 dengan a0, a1, a2 adalah konstanta sebarang. Jika andaikan m adalah akar persamaan karakteristiknya yaitu : a0m2 + a1m + a2 = 0

Maka akar-akar karakteristiknya dapat diselesaikan dengan rumus abc pada persamaan kuadrat yaitu: Karena a0, a1, a2 adalah bilangan real sehingga akar-akar karakteristiknya mempunyai 3 (tiga) kasus yakni : 1.Dua akar real yg berbeda. 2.Dua akar real yg sama. 3.Dua akar komplek konjugat.

Kasus 1 (Dua akar real yg berbeda) : Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 > 0 Sehingga akar-akar kuadratnya adalah bil. real Jadi penyelesaian umum PDnya : y = c1em1x + c2em2x dengan c1 dan c2 adalah konstanta yg sesuai.

Kasus 2 (Dua akar yg sama) : Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 = 0 Sehingga akar-akar kuadratnya adalah m1 = m2 = m Jadi, penyelesaian umum PDnya adalah : y = (c1 + c2x) emx dgn c1 dan c2 adalah konstanta yg sesuai dan m1 = m2 = m.

Kasus 3 (Dua akar komplek konjugat) : Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 < 0 Sehingga akar-akar kuadratnya adalah kompleks konjugat yaitu

Dengan demikian diperoleh penyelesaian umum dari PDnya adalah : Dengan c1 dan c2 adalah konstanta.

Soal- soal Latihan : Carilah penyelesaian umum dari PD berikut ini : y” + y’ - 2y = 0 y” – y’ - 6y = 0 y” -14y’ + 49y = 0 y” + 4y’ +4y = 0 y” – 2y’ + 10y = 0

PD LINIER ORDE N HOMOGEN Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linier Orde n : an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + … + a1(x)y’ + a0(x)y = q(x) Solusi PD Linier Orde n Homogen : Untuk PD Linier Orde n Homogen dengan Koefisien- koefisien konstanta : Andaikan m1 ≠ m2 ≠ m3 ≠ … ≠ mn-1 ≠ mn. Penyelesaian Umumnya : y = c1em1x + c2em2x + c3em3x + … + cnemnx Andaikan m1 = m2 = m3 = … = mn-1 = mn =m. y = (c1 + c2x + c3x2 + c4x3 + … + cnxn-1) emx   Andaikan ada yg berbentuk komplek konjugat, penyelesaian umumnya mirip dgn PD linier Orde 2 homogen dgn koefisien konstanta.

Soal-soal Latihan : Carilah penyelesaian umum dari PD berikut ini : yIV – 7y” + 6y’ = 0 yIV + 2y”’ -3y” – 4y’ + 4y = 0 y(7) + 18y(5) + 81y’” = 0