KELAS XI SEMESTER GENAP MULAI DIFFERENSIAL KELAS XI SEMESTER GENAP

SK DAN KD SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3 Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi dasar SK dan KD Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah. materi 1 soal 1 Indikator materi 2 1. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan enggunakan konsep turunan pertama. 2. Menggambarkan sketsa grafik fungsi dengan menggunakan ifat-sifat turunan. 3. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi 4. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi. soal 2 materi 3 soal 3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan tu run di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), SK dan KD Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo; materi 1 Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo; soal 1 Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo; materi 2 Perhatikan gambar di bawah ini : soal 2 f(x) materi 3 B C F soal 3 D a b c d e f A E Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan tu run di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), SK dan KD Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo; materi 1 Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo; soal 1 Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo; materi 2 Perhatikan gambar di bawah ini : soal 2 f(x) Pada selang a<f(x)<b fungsi f(x) naik , di titik A garis singgung Pada kurva condong ke kanan (mempunyai Gradien positip), m=f ’(x)>0 materi 3 B C F soal 3 D a b c d e f A E Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan tu run di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), SK dan KD Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo; materi 1 Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo; soal 1 Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo; materi 2 Perhatikan gambar di bawah ini : soal 2 f(x) Pada titik B yaitu pada x=b fungsi f(x) stasioner , di titik B garis singgung Pada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol), m=f ’(x)=0, Titik B disebut titik puncak materi 3 B C F soal 3 D a b c d e f A E Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan tu run di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), SK dan KD Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo; materi 1 Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo; soal 1 Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo; materi 2 Perhatikan gambar di bawah ini : soal 2 f(x) Pada titik C yaitu pada x=c fungsi f(x) stasioner , di titik C garis singgung Pada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol), m=f ’(x)=0, Titik C disebut titik belok materi 3 B C F soal 3 D a b c d e f A E Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan tu run di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), SK dan KD Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo; materi 1 Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo; soal 1 Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo; materi 2 Perhatikan gambar di bawah ini : soal 2 f(x) Pada selang c<f(x)<e fungsi f(x) turun , di titik D garis singgung Pada kurva condong ke kiri (mempunyai Gradien negatip), m=f ’(x)<0 materi 3 B C F soal 3 D a b c d e f A E Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan tu run di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), SK dan KD Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo; materi 1 Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo; soal 1 Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo; materi 2 Perhatikan gambar di bawah ini : soal 2 f(x) Pada titik E yaitu pada x=e fungsi f(x) stasioner , di titik E garis singgung Pada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol), m=f ’(x)=0, Titik E disebut titik puncak materi 3 B C F soal 3 D a b c d e f A E Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan tu run di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), SK dan KD Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo; materi 1 Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo; soal 1 Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo; materi 2 Perhatikan gambar di bawah ini : soal 2 f(x) Pada titik F yaitu pada x=f fungsi f(x) stasioner , di titik F garis singgung Pada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol), m=f ’(x)=0, Titik F disebut titik belok materi 3 B C F soal 3 D a b c d e f A E Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3 Contoh Soal : Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang ditentukan 1. Y = 3x2 + x -2 di titik x= 4 SK dan KD 2. Y = x3 - 2x2 - 1 di titik x= 1 materi 1 soal 1 3. Y = ½.x4 - 4x2 - 7 di titik x= 1 materi 2 4. Y = sin 2x + cos x di titik x = ½ soal 2 Jawab . materi 3 y = 3x2 + x -2 di titik x= 4 y ’ = 6x + 1 y ‘ = 25 > 0 karena y ‘ > 0 maka fungsi di titik x = 4 merupakan fungsi naik 2. Y = x3 - 2x2 - 1 di titik x= 1 y ’= 3x2 - 4x y ‘ = -1 < 0 karena y ‘ < 0 maka fungsi di titik x = 1 merupakan fungsi turun soal 3

SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3 Jawab . 3. y = ½.x4 - 4x2 - 7 di titik x= 2 y ’ = 2x3 - 8x y ‘ = 0 karena y ‘ = 0 maka fungsi di titik x = 2 merupakan fungsi stasioner 4. Y = sin 2x + cos x di titik x = ½ y ’= 2cos 2x – sin x y ‘= -3 < 0 karena y ‘ < 0 maka fungsi di titik x = 1 merupakan fungsi turun SK dan KD materi 1 soal 1 Latihan soal : materi 2 Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang ditentukan soal 2 materi 3 1. y = 5x2 + x - 7 di titik x= 1 soal 3 2. Y = 2x3 - 5x2 - 1 di titik x= 1 3. Y = 2.x4 - 4x3 - 7 di titik x= 1 4. Y = cos 2x + sin x di titik x = ½

HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUM Pengujian turunan pertama : 1. Pecahkan f ’(x)= 0 untuk mendapatkan harga kritis 2. Gambarkan harga kritis tersebut pada garis bilangan, dengandemikian terbentuk sejumlah selang SK dan KD materi 1 3. Tentukan tanda f ‘ (x) pada tiap selang soal 1 4. Misalkan x bertambah setelah tiap harga kritis x=xo; maka materi 2 f(x) mempunyai harga maksimum (=f(xo) jika f ‘ (x) berubah dari + ke - soal 2 f(x) mempunyai harga minimum (=f(xo) jika f ‘ (x) berubah dari – ke + materi 3 soal 3 f(x) tidak mempunyai mempunyai harga maksimum maupun minimum di (x=xo) jika f ‘ (x) tidak mengalami perubahan tanda

HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 1 : Diketahui y = carilah : Titik titik kritis Selang dimana y bertambah dan berkurang Harga harga y maksimun da minimum SK dan KD materi 1 Jawab : soal 1 y ’ = x2 + x - 6 = ( x – 2 )( x + 3 ) materi 2 a. Dengan mengambil y ‘ = 0 diperoleh harga-harga x = -3, 2. Titik titik kritis adalah (-3, 43/2) , (2, 2/3) soal 2 b. Gambar garis bilangan untuk menentukan selang fungsi naik atau fungsi turun materi 3 soal 3 x=-4 x=-3 x=0 x=2 x=3 y ‘ = 6 >0 y ‘ = -6 < 0 y ‘ = 6 >0 Untuk x<-3 fungsi naik Untuk -3<x<2 fungsi turun Untuk x>2 fungsi naik

HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUM Jawab : y = c. Untuk y ‘= 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada x=p y ‘ = 0 untuk x = -3 dan x = 2 SK dan KD Substitusikan nilai x = -3 dan x = 2 pada fungsi : y = materi 1 soal 1 materi 2 Untuk x = -3 maka nilai stasioner y = 43/2 f ‘(x) berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum relatif Untuk x = 2 maka nilai stasioner y = 2/3 f ‘(x) berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai minimum relatif soal 2 materi 3 soal 3

HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUM Jawab : y = sin x + cos x c. Untuk y ‘= 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada x=p y ‘ = 0 untuk x = dan x = SK dan KD Substitusikan nilai x = dan x = pada fungsi : y = sin x + cos x materi 1 soal 1 materi 2 Untuk x = maka nilai stasioner y = f ‘(x) berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum relatif f ‘(x) berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai minimum relatif soal 2 materi 3 soal 3

HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 2. Ditentukan fungsi y = sin x + cos x carilah : Titik titik kritis Selang dimana y bertambah dan berkurang Harga harga y maximun da minimum SK dan KD materi 1 soal 1 Jawab : materi 2 a y ‘= cos x – sin x nilai stasioner diperoleh jika y ‘ = 0 Cos x – sin x = 0 Tgn x = 0 diperoleh nilai soal 2 materi 3 soal 3 b Untuk x< fungsi naik Untu <x< fungsi turun Untuk x> fungsi naik

HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUM Tentukan : Titik titik kritis Selang dimana y bertambah dan berkurang Harga harga y maksimun da minimum SK dan KD materi 1 Untuk fungsi fungsi dibawah ini : soal 1 a. y = x2 – 4x e. y = ( 2 – x )3 materi 2 f. y = (x-4)4(x-3)3 b. y = soal 2 c. y = g. y = materi 3 d. y = x4 + 2x3 -3x2 -4x + 4 h. y = cos 2x untuk ½ ≤ x ≤ 3/2  soal 3

PENERAPAN MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh soal : Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 200m akan dibangun suatu kandang ayam yang bentuknya persegi panjang, tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimum SK dan KD Jawab. materi 1 Keliling kandang = 2P + 2L Nilai stasioner dicari dengan Luas ‘ = 0 Luas ‘ = 100 – 2L soal 1 2P + 2L = 200 P + L = 100 P = 100 - L 100 – 2L = 0 2L = 100 L = 50 materi 2 soal 2 Luas kandang = p x L 50 materi 3 Luas = P.L Luas = ( 100 – L). L Luas = 100L – L2 40 60 soal 3 Luas ‘ = 100 – 2.40 = 20 > 0 Luas ‘ = 100 – 2.60 = -20 < 0 Untuk L = 50 maka nilai stasioner y = 50 x 50 = 2500 Luas ‘ berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum

PENERAPAN MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh soal : Jumlah dua bilangan adalah 30, tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum Jawab. SK dan KD Misal bilangan tersebut a dan b maka a + b = 30; a = 30 – b, misal Hasil kali kedua bilangan = P P = a x b = (30 – b)xb = 30b – b2 materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 Nilai stasioner jika P’ = 0 P’ = 30 – 2b 30 – 2b = 0 2b = 30 b = 15 10 15 20 materi 3 soal 3 P’ = 30 – 2b P’ = 10 P’ = 30 – 2b P’ = -10 Untuk b = 15 maka nilai stasioner y = 15 x 15 = 225 hasil kali antara a dan b berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum

PENERAPAN MAKSIMUM DAN MINIMUM Soal Latihan : 1. Dari suatu karton persegi panjang yang sisinya 24 cm, akan dibuat suatu kotak tanpa tutup dengan jalan memotong pada keempat sudut persegi panjang tersebut dengan sisi x cm tentukan x agar sisi kotak maksimum. 2. Segitiga siku siku AOB terbentuk dari sumbu X, sumbu Y, dan sisi AB dengan persamaan y = 10 – 2x. Dari titik C(x,y) yang terletak pada AB, dibuat garis tegak lurus sumbu sumbu koordinat sehingga terjadi persegi panjang dengan diagonal OC. 3.Jumlah dua bilangan adalah 40. tentukan masing masing bilangan tersebut agar hasil kali antara bilangan yang satu dengan kuadrat yang lainnya maksimum. 4. Suatu kotak tanpa tutup dengan alas persegi berisi x cm dan tinggi t cm. isi kotak tersebut 2.000 cm3. tentukan ukuran kotak agar bahan untuk membuat kotak minimum.( cari luas permukaan kotak minimum). 5.Suatu tangki air berbentuk silinder lingkaran tegak dengan diameter alasnya 1 m. apabila tinggi air dalam tangki x cm, tentukan laju perubahan volume v terhadap penambahan tinggi x, ketika air diisikan ke dalam tangki tersebut SK dan KD materi 1 soal 1 materi 2 soal 2 materi 3 soal 3