Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Peluang Bersyarat Kasus peubah diskrit: Dengan hukum peluang total Definisi peluang bersyarat Sifat peluang marjinal

Contoh penggunaan Apa sebaran marjinal bagi X? Gunakan hukum peluang total Binomial Poisson

Dengan deret Taylor:

Peluang Bersyarat Kasus peubah kontinyu Dengan hukum peluang total Definisi peluang bersyarat Sifat peluang marjinal

Contoh penggunaan Apa sebaran marjinal bagi X? Gunakan hukum peluang total Binomial Uniform

Fungsi Beta

Contoh Terapan Peubah acak N merupakan jumlah angka pada sisi dadu yang menghadap ke atas ketika dilakukan pelemparan. Dilakukan suatu percobaan berikut: Dadu dilempar sekali, dan diamati jumlah angka pada sisi dadu yang menghadap ke atas. Misalkan diperoleh jumlah angka sebesar N maka dilakukan percobaan berikutnya, pelemparan koin sebanyak N kali. Dari pelemparan N kali koin tersebut, diamati X: jumlah Gambar dari N kali lemparan tersebut.  Berdasarkan sifat peluang bersyarat, hitunglah peluang diperolehnya 2 gambar pada pelemparan koin dan jumlah angka 3 pada sisi dadu yang menghadap ke atas! Berdasarkan hukum peluang total, berapa peluang bahwa akan diperoleh 5 angka pada percobaan pelemparan koin?

Nilai Harapan Bersyarat (Conditional Expected Value) Definisi nilai harapan X dengan syarat Y=y: Berdasarkan hukum peluang total: Berlaku hal yang sama untuk kasus peubah kontinyu

Contoh terapan Random Sums: Proses Antrian Teori Resiko Model populasi

Teori Antrian N sebagai jumlah pelanggan yang datang pada fasilitas layanan pada selang waktu tertentu (Peubah acak) ξi adalah waktu layanan yang dibutuhkan oleh pelanggan ke-i, Maka total kebutuhan waktu layanan adalah:

Teori Resiko N sebagai jumlah klaim yang diterima suatu perusahaan asuransi pada suatu minggu (peubah acak). ξi adalah jumlah yang harus dibayarkan untuk klaim ke-i, Maka total liability (hutang) dari perusahaan asuransi tersebut adalah:

Model Populasi N sebagai jumlah tanaman spesies tertentu pada suatu daerah (peubah acak). ξi adalah jumlah biji yang dihasilkan oleh tanaman ke-i, Maka total biji yang diproduksi di daerah tersebut adalah:

Pada Random Sums terdapat dua peubah, X dan N di mana N selalu berupa peubah diskrit Jika X juga peubah diskrit, sifat sebaran bersyarat seperti biasa dapat diterapkan Jika X peubah kontinyu maka digunakan definisi fungsi sebaran bersyarat pada kasus mixed

Sebaran Bersayarat: the mixed case X dan N peubah acak yang mempunyai sebaran gabungan N bersifat diskrit Fungsi sebaran bersyarat bagi X dengan syarat N=n: Untuk X peubah kontinyu, maka berlaku:

Fungsi tersebut dapat digunakan untuk menghitung peluang: Memperoleh fungsi peluang marjinal bagi X dengan hukum peluang total: Nilai harapan bersyarat

Nilai harapan berdasarkan hukum peluang total: Sifat-sifat tersebut digunakan untuk menurunkan moment dari Random Sums

Momen-momen bagi Random Sums E[k] = , Var [k] = 2 E[N] =  Var [N] = 2 Nilai harapan dari Random Sums:

Karena X dan N saling bebas: Sifat nilai harapan Nilai harapan N

Ragam dari Random Sums: Bukti ada di Buku Taylor & Karlin

Contoh 1: Jika: Maka:

Contoh 2: Didefinisikan peubah acak N sebagai jumlah kecelakaan dalam 1 minggu, yang menyebar secara Poisson dengan rata-rata 2. Diasumsikan bahwa peubah acak jumlah korban di setiap kecelakaan ke – i, menyebar secara bebas dan indentik pada sebaran tertentu dengan, rata-rata 3 dan ragam 4 Berdasarkan konsep random sums tentukan rata-rata dan ragam dari total jumlah korban kecelekaan pada satu minggu tersebut!