PERSAMAAN DIFFRENSIAL PARSIAL BAB VI PERSAMAAN DIFFRENSIAL PARSIAL

PERSAMAAN DIFFRENSIAL PARSIAL (PDP) PDP adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial yang harus melibatkan satu variabel terikat dan paling sedikit dua variabel bebas. Orde suatu PDP adalah tingkat tertinggi turunan yang terlibat.

p,q,r,s,t,… adalah turunan parsial PDP Linier dan Tak Linier PDP Linier Ap + Bq + Cr + Ds +…+ Y = Z keterangan : p,q,r,s,t,… adalah turunan parsial A,B,C,…,Y,Z adalah fungsi yang mungkin bergantung pada variabel bebas tetapi tidak pada variabel terikat.

PDP Tak Linier Ap + Bq + Cr + Ds +…+ Y = Z keterangan : p,q,r,s,t,… adalah turunan parsial A,B,C,…,Y,Z adalah fungsi yang mungkin bergantung pada variabel bebas dan bergantung pada variabel terikat.

Contoh PDP Linier dan Tak Linier PDP TAK LINIER

A. PDP LINIER ORDE SATU Bentuk Umum :

Penyelesaian PDP Linier 1. Penyelesaian Umum Adalah sebuah penyelesaian yang memuatsejumlah berhingga fungsi bebas sembarang yang banyaknya sama dengan orde persamaan tersebut. 2. Penyelesaian Khusus Adalah penyelesaian ynag diperoleh dari penyelesaian umum dengan cara memiliki fungsi sembarangnya secara khusus.

Penyelesaian PDP Linier Orde satu Jika A ,B, dan C adalah konstanta maka penyelesaian umum dapat ditentukan dengan pemisalan u = e ax+by. Penyelesaian khususnya dapat ditentukan dengan adanya syarat batas.

Contoh PDP Linier Orde satu jika A=B=konstanta dan C = 0 Contoh PDP Linier Orde satu jika A=B=C = konstanta

B. PERSAMAAN DIFFRENSIAL ORDE DUA HOMOGEN Bentuk Umum PDP Orde Dua Jika persamaan diatas memuat G=0 maka PDP tersebut dinamakan PDP ORDE DUA HOMOGEN.

Eliptik Jika B2-4AC < 0 Hiperbolik Jika B2-4AC > 0 Parabolik PDP orde dua dikelompokkan menjadi tiga, yaitu : Eliptik Jika B2-4AC < 0 Hiperbolik Jika B2-4AC > 0 Parabolik Jika B2-4AC = 0

Langkah-langkah penyelesaian PDP orde dua homogen, yaitu : 1. Dengan pemisalan u= e ax+by 2. Substitusaikan ke PDP orde dua itu setelah ditentukan turunan-turunan dari u. 3. Sederhanakan /selesaikan PDP tersebut. 4. Tentukan penyelesaiannya yang merupakan hasil jumlah penyelesaian- penyelesaian yang ada.

C. PERSAMAAN DIFFRENSIAL ORDE DUA HETEROGEN Bentuk Umum PDP Orde Dua Heterogen dimana G ≠ 0

PENYELESAIAN PDP ORDE DUA HETEROGEN Jika G = n eax+by Langkah – langkah penyelesaiannya : Homogenkan PDP tersebut dengan menjadikan G = 0 Tentukan penyelesaian PDP homogen Misalkan u = α eax+by Tentukan turunan – turunan dari u sesuai dengan PDP tersebut Substitusikan ke PDP hasil nomor 4 Tentukan nilai α Buatlah penyelesaian dengan menjumlahkan penyelesaian – penyelesaian yang ada

Langkah-langkah penyelesaiannya : Jika PDP berbentuk Langkah-langkah penyelesaiannya : Keluarkan ∂/ ∂x atau ∂/ ∂y Jika dikeluarkan ∂/ ∂x, integralkan terhadap x Jika dikeluarkan ∂/ ∂y, integralkan terhadap y Jika diintegralkan terhadap x tambahkan F(y) pada hasil pegintegralan Jika diintegralkan terhadap y tambahkan F(x) pada hasil pegintegralan Lakukan kembali langkah-langkah diatas.

D. PEMBUKTIAN PENYELESAIAN DARI SUATU PDP CONTOH SOAL Buktikan u = F(y-3x) adalah penyelesaian dari PDP Solusi : Misalkan v = y - 3x maka u = F(v)

E. PENYELESAIAN PDP DENGAN PEMISAHAN VARIABEL Langkah-langkah penyelesaiannya adalah : Misalkan suatu persamaan dengan ruas kiri adalah var. terikat dan ruas kanan perkalian var. bebas. Turunkan persamaan diatas sesuai dengan PDP. Substitusikan hasil diatas ke PDP. Kalikan persaman diatas dengan koefisien 1/XY. Selesaikan ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan diatas. Substitusi hasil tersebut ke persamaan awal. Selesaikan masalah nilai batas sehingga diperoleh suatu penyelesaian.