MATRIKS Pengertian Matriks Jenis Matriks Operasi Matriks Determinan Matriks Invers Matriks Contoh Soal PROFIL

MATRIKS Pengertian Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan (unsure) yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen martiks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital, banyak matriks (x), banyak kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks (ukuran matriks).

MATRIKS Perhatikan contoh berikut: 𝐴= 1 2 1 3 2 0 4 5 6 −2 2 3 Matriks A terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Matriks A berordo 3×4, matriks A dapat ditulis dengan 𝐴= 3×4 . Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut: 𝐴= 𝑎 11 𝑎 12 ⋯ 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 ⋯ 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 Dalam hal ini 𝑎𝑚𝑛 disebut elemen matriks pada baris ke-m dan kolom ke-n kolom 1 kolom 2 kolom 3 kolom 4

MATRIKS J E N I S M A T R K 1. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh: 𝑃= 2 5 2. Matriks Kolom Martiks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. 3. Martiks Nol (0) Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Contoh: 𝑂= 0 0 0 0 4. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan kolom. Contoh: 𝐴= 1 3 2 4 𝐵= 1 2 6 4 3 −2 3 −1 5

MATRIKS 5. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar semua elemen diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: 𝐶= 4 0 0 5 𝐷= 1 0 0 0 2 0 0 0 3   6. Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama. 𝐸= 3 0 0 3 F = 4 0 0 0 4 0 0 0 4 7. Matriks Identitas(I) Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. 𝐼= 1 0 0 1 J = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

MATRIKS 8. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: 𝐺= 2 3 0 1 𝐻= 3 2 4 0 1 2 0 0 5 9. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. 𝐽= 2 0 1 3 𝐾= 4 0 0 2 3 0 5 1 4 10. Transpos Matriks A Transpos matriks A atau 𝐴 𝑡 adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j. 𝐿= −8 3 0 2 0 4 4 −4 0 𝐿 𝑡 = −8 2 4 3 0 −4 0 4 0

MATRIKS Beberapa sifat matriks transpos adalah sebagai berikut: 1. (𝐴+𝐵) 𝑡 = 𝐴 𝑡 + 𝐵 𝑡 2. 𝐴 𝑡 𝑡 =𝐴 3. 𝑐𝐴 𝑡 = 𝑐𝐴 𝑡 , c adalah konstanta 4. 𝐴𝐵 𝑡 = 𝐵 𝑡 𝐴 𝑡

Operasi Matriks MATRIKS 1. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis 𝐴=𝐵, jika syarat berikut ini dipenuhi: Matriks A dan B mempunyai ordo yang sama. Setiap elemen yang seletak pada matriks A dan B adalah sama. 2. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan, jika kedua matriks tersebut berordo sama. Hasil penjumlahan atau pengurangannya adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

MATRIKS 3. Perkalian Matriks dengan Skalar Jika skalar dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh yang elemen-elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. Jika 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 maka 𝑘.𝐴=𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛= 𝑘𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛. Jika matriks A dan B berordo m×n dan k ∈ bilangan real, maka: kA = Ak k(A + B) = kA + kB k(A - B) = kA - kB

MATRIKS 4. Perkalian Dua Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika banyak kolom A sama dengan banyak baris B. Jika 𝐴 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 dan 𝐵= 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑘, Maka 𝐴×𝐵= 𝑐𝑖𝑗 𝑚×𝑘 Contoh : Diketahui 𝐴= 1 2 3 4 dan 𝐵= 5 6 9 7 8 0 . Tentukan 𝐴×𝐵! 𝐴×𝐵= 1 2 3 4 5 6 9 7 8 0 = 1×5+2×7 1×6+2×8 1×9+2×0 3×5+4×7 3×6+4×8 3×9+4×0 = 19 22 9 43 50 27

MATRIKS Jika perkalian matriks terdefinisi, maka: Tidak komutatif : 𝐴≠𝐵 Asosiatif : 𝐴𝐵 𝐶 =𝐴(𝐵𝐶) Jika A dan B adalah matriks persegi berordo n, maka: 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 −𝐴𝐵+𝐵𝐴− 𝐵 2 (𝐴+𝐵) 2 = 𝐴+𝐵 𝐴+𝐵 = 𝐴 2 +𝐴𝐵+𝐵𝐴+ 𝐵 2 (𝐴−𝐵) 2 = 𝐴−𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 −𝐴𝐵−𝐵𝐴+ 𝐵 2 𝐴𝐵≠𝐵𝐴

det⁡ A=|A|= 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = ad-bc MATRIKS Determinan Matriks Determinan Matriks Persegi Berordo 2 Misalkan matriks 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 , maka determinan matriks A, ditulis det 𝐴 atau 𝐴 didefinisikan sebagai: det⁡ A=|A|= 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = ad-bc

MATRIKS 2. Determinan Matriks Persegi Berordo 3 Jika matriks 𝐴= 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 , maka determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah sarrus, seperti berikut: 𝐴 = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 31 𝑎 32 = 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33 + 𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31 + 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32 − 𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31 − 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32 − 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 33

Invers Matriks MATRIKS 1. Dua Matriks Saling Invers Jika A dan B matriks persegi berordo sama sedemikian sehingga: 𝐴𝐵=𝐵𝐴=1, maka dapat dikatakan: B adalah invers A, ditulis 𝐵= 𝐴 −1 A adalah invers B, ditulis 𝐴= 𝐵 −1 Contoh : Diketahui matriks 𝐴= 3 7 2 5 dan 𝐵= 5 −7 −2 3 . Tunjukkan bahwa matriks A dan matriks B merupakan dua matriks yang saling invers! Jawab: Harus ditunjukkan bahwa 𝐴𝐵=𝐵𝐴=1 𝐴𝐵= 3 7 2 5 5 −7 −2 3 = 1 0 0 1 =1 𝐵𝐴= 5 −7 −2 3 3 7 2 5 = 1 0 0 1 =1   Karena 𝐴𝐵=1 =𝐵𝐴, maka matriks A dan matriks B adalah dua matriks yang saling invers.

MATRIKS 2. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2 Jika 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 dengan det 𝐴= 𝐴 =𝑎𝑑−𝑏𝑐≠0 , maka invers matriks A ditulis 𝐴 −1 ditentukan oleh: 3. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 3 Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 × 3, kita harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint. a. Matriks Minor Matriks minor Mij diperoleh dengan cara menghilangkan elemenelemen pada baris ke-i dan kolom ke-j matriks A berordo 3 × 3, sehingga didapat matriks baru dengan ordo 2 × 2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A, ditulis dengan 𝑀 𝑖𝑗 . 𝐴= 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 ∙𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎

MATRIKS Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut: b. Kofaktor Kofaktor dari baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dituliskan dengan Aij. Untuk menentukannya ditentukan dengan rumus: Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut. 𝐴 11 = (−1) 1+1 𝑀 11 𝐴 22 = (−1) 2+2 𝑀 22 𝐴 12 = (−1) 1+2 𝑀 12 𝐴 23 = (−1) 2+3 𝑀 23 𝐴 13 = (−1) 1+3 𝑀 13 𝐴 31 = (−1) 3+1 𝑀 31 𝐴 21 = (−1) 2+1 𝑀 21 𝐴 32 = (−1) 3+2 𝑀 32

MATRIKS Adj A = c. Adjoint Misalkan suatu matriks A berordo n x n dengan Anm kofaktor dari matriks A , maka : Adjoin A = Adj (A) = Untuk matriks A berordo 3 x 3, maka : Adj A =

Contoh Soal MATRIKS Penyelesaian : Diketahui matriks-matriks : A = B dan Tentukan nilai a, b, c dan d, jika A = B a = 3 c = 8 b + 2 = 7 d – 4 = 1 b = 5 d = 5 Jadi, nilai a = 3, b = 5, c = 8, d = 5

MATRIKS Diketahui matriks A = dan B = . Tentukan A + B ! Penyelesaian :

MATRIKS Diketahui dan . Tentukan A × B ! 𝐴= 1 2 3 4 Penyelesaian :

MATRIKS Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks : dan Penyelesaian : det A = det B =

MATRIKS Penyelesaian : Tentukan invers dari matriks

MATRIKS maka :

Latihan MATRIKS 1. Invers matriks 𝐴= 2 3 5 7 adalah… 2. Diketahui 𝐴= 3 7 1 2 , 𝐵= 4 2 , dan 𝐶= 𝑥 𝑦 . Jika 𝐴 −1 ∙ 𝐵 𝑡 =𝐶, maka 𝑥+𝑦 adalah… 3. Diketahui persamaan matriks 1 3 2 5 4 −3 −1 2 = 1 𝑎 2𝑏 3 + 2 𝑏 1 1 . Tentukan nilai a dan b! 4. Diketahui 𝐴= 𝑎 1−𝑎 0 1 dan 𝐴 −1 = 2 𝑏 0 1 . Nilai b adalah… 5. Diketahui matriks 𝐴= 4 −1 3 2 dan 𝐵= 2 1 −3 0 Tentukan: a. 𝐴+𝐵 b. 𝐴−𝐵

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Swadaya Gunung Djati MATRIKS MATRIKS Desy Annur Widyawati 112070026 (2.J) Dwi Nurjanah 112070035 (2.I) Dara Lugianawati 112070050 (2.J) Aditya Rahman Ramli 112070109 (2.J) Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Matematika Universitas Swadaya Gunung Djati

Nama: Dara Lugianawati MATRIKS Nama: Dara Lugianawati Kelas: 2.j NPM: 112070050 Pengisi Suara: Nama: Dwi Nurjanah Kelas: 2.i NPM: 112070035 Pengisi Suara:

MATRIKS Nama: Desy Annur Widyawati Kelas: 2.j NPM: 112070026 Pengisi Suara: Nama: Aditya Rahman Ramli Kelas: 2.j NPM: 112070109 Pengisi Suara:

MATRIKS