Fungsi Pembangkit (Generating Functions)

Fungsi pembangkit Fungsi pembangkit digunakan untuk merepresentasikan barisan secara efisien dengan mengkodekan unsur barisan sebagai koefisien dalam deret pangkat suatu variabel x . Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk: memecahkan berbagai masalah counting, memecahkan relasi recurrence, dan membuktikan identitas kombinatorik.

Definisi dan contoh Definisi. Fungsi pembangkit (generating function) untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga: Contoh 1. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5 adalah Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3 adalah Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k adalah

Contoh 2 Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1   Solusi. Fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1,1,1 adalah: 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5

Contoh Contoh 3. Fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, … adalah 1 + x + x2 + x3 + … Contoh 4. 1, a, a2, a3, … 1 + ax + a2x2 + a3x3 + …

Teorema 1 Contoh 5. Misal f(x) = 1/(1-x)2. Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi f(x) =  akxk. Solusi. Jadi, ak = k+1.

Koefisien Binomial Diperluas Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak negatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan sebagai:  Contoh 6. Tentukan nilai dari: b.

Teorema Binomial Diperluas Misal x bilangan real dengan |x| < 1 dan u bilangan real. Maka, Catatan. Jika u bilangan bulat positif maka Teorema Binomial Diperluas menjadi Teorema Binomial.

Contoh 7 Tentukan fungsi pembangkit untuk (1+x)-n dan (1-x)-n, dengan n bilangan bulat positif. Solusi.

Soal 1 Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini: 1/(1+x)2 1/(1-2x) x4/(1-3x)3  

Masalah Counting dan Fungsi Pembangkit Contoh 8. Tentukan banyaknya solusi dari n1 + n2 + n3 = 17, bila n1, n2 dan n3 bilangan bulat taknegatif dengan 2  n1  5, 3  n2  6 dan 4  n3  7. Solusi. Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17 dalam ekspansi: (x2+x3+x4+x5) (x3+x4+x5+x6) (x4+x5+x6+x7). Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan xn1 pada faktor pertama dengan xn2 pd faktor kedua dan xn3 pada faktor ketiga yang memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17. Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3. Jadi, ada tepat 3 solusi.

Contoh 9 Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue? Solusi. Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue. Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor yang berbentuk: (x2 + x3 + x4) dalam fungsi pembangkit barisan {cn}. Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah: (x2 + x3 + x4)3. Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi.

Soal 2 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.

Contoh 10 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang bernilai Rp. r, apabila: urutan pemilihan diperhatikan atau tidak diperhatikan. Contoh. Untuk membayar Rp. 600, ada 2 cara bila urutan tidak diperhatikan, yaitu (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100) atau (Rp. 100, Rp. 500) dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100), (Rp. 100, Rp. 500), atau (Rp. 500, Rp. 100)

(1 + x + x2 + x3 + …) (1 + x5 + x10 + …) ( 1 + x10 + x20 + …) Contoh 10… Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan. Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan berkali-kali, maka faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100 adalah 1 + x + x2 + x3 + …, faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500 adalah 1 + x5 + x10 + …, faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000 adalah 1 + x10 + x20 + … Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr/100 dalam fungsi pembangkit (1 + x + x2 + x3 + …) (1 + x5 + x10 + …) ( 1 + x10 + x20 + …)

Contoh 10… Jika urutan pemilihan diperhatikan. Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n pecahan untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien xr/100 dalam (x + x5 + x10)n Karena kita dapat menggunakan berapa pun jumlah pecahan, maka banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr/100 dalam 1 + (x + x5 + x10) + (x + x5 + x10)2 + …

Soal 3 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara untuk menukar uang $100 dengan menggunakan pecahan: a) $10, $20 dan $50 b) $5, $10, $20 dan $50 c) $5, $10, $20 dan $50; bila setiap pecahan digunakan sedikitnya sekali. d) $5, $10 dan $20; bila setiap pecahan digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih dari 4 kali. 

Contoh 11 Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda berbeda jika kita harus memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenisnya. Solusi. Misalkan ar: banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda bila dari setiap jenis terpilih sedikitnya satu objek. Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenis, maka setiap jenis menyumbangkan faktor (x + x2 + x3 + …) pada fungsi pembangkit. Akibatnya, fungsi pembangkit G(x) dari barisan {ar} adalah G(x) = (x+x2 + x3 + …)n = xn(1+x+x2 + x3 + …)n = xn / (1-x)n .

Contoh 11… Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas: Jadi, ada C(r-1,r-n) cara memilih.

Fungsi Pembangkit dan Solusi Relasi Recurrence Contoh 12. Cari solusi relasi recurrence ak = 3ak-1 untuk k = 1, 2, 3, … dengan kondisi awal a0 = 2. Solusi. Misal G(x): fungsi pembangkit untuk barisan {ak}, Maka,

Fungsi Pembangkit dan Pembuktian Identitas Contoh 13. Gunakan fungsi pembangkit untuk membuktikan: Solusi. C(2n,n) adalah koefisien xn dlm ekspansi (1+x)2n. Akan tetapi, (1+x)2n = [(1+x)n]2. = [C(n,0)+C(n,1)x+ … + C(n,n)xn]2. Koefisien dari xn dlm ekspansi ini: C(n,0)C(n,n) + C(n,1)C(n,n-1) + … + C(n,n)C(n,0). Ini sama dgn  C(n,k)2, krn C(n,n-k) = C(n,k). Karena C(2n,n) dan  C(n,k)2 menyatakan koefisien xn dlm (1+x)2n maka haruslah