LOGO Bentuk Kuadrat Selasa, 26 Maret

LOGO 1. Bentuk Umum 2

LOGO Teori Matriks Teori Statistik Bentuk Kuadratik (non statistik) Sebaran/ Distribusi Random Vector (statistik) Concepts of statistical inference …? 3

LOGO Bentuk-Bentuk Kuadratik Suatu bentuk kuadratik (Quadratic Form) adalah suatu fungsi dari k variabel y 1,…,y k : q = y’Ay dimana A adalah matriks simetris k x k dan disebut matriks dari Quadratic Form 4

LOGO Karena quadratic forms hanya mengandung bentuk kuadrat dan crossproducts, maka dapat ditulis: maka Misalkan kita mempunyai: Bentuk-Bentuk Kuadratik 5

LOGO CONTOH Misalkan Maka: Sehingga untuk contoh diatas: 6

LOGO LATIHAN a)Tulis dalam bentuk kuadratik x’Ax, dimana A adalah simetris. 1. 2x 2 – 8xy – 5y 2 – 6yz –7z x 2 – xz + 9y 2 + 3yz 3. 2xy + 4xz + 6yz b)Misalkan y’ = (y1, y2, y3, y4) dan Tanpa melakukan perkalian matriks dalam bentuk kuadratik y’ A y, tentukan koefisien dari 7

LOGO Bentuk kuadratik y’Ay disebut:  definit positif apabila y’Ay > 0 untuk setiap y ≠ 0;  semidefinit positif apabila y’Ay  0 untuk setiap y dan y’Ay = 0 untuk y ≠ 0  Matriks A definit positif jika bentuk kuadratiknya definit positif Misalkan, maka Tunjukkan bahwa A definit positif! 8

LOGO  Menentukan apakah sebuah matriks definit positif atau semidefinit positif relatif sulit, apalagi jika ukuran matriks-nya lebih dari 2 x 2.  Untuk itu, diberikan suatu pendekatan/metode yang lebih mudah yaitu menggunakan eigen value. Theorem: (1) Suatu matriks simetris A adalah definit positif jika dan hanya jika semua eigen value-nya positif (2) Suatu matriks simetris A adalah semidefinit positif jika dan hanya jika semua eigenvalue-nya nonnegatif dan minimal satu eigen value-nya adalah nol. 9

LOGO Kembali ke contoh, maka Tentukan eigen value: Diperoleh = 3 dan = 1, karena semua bernilai positif, maka matriks A definit positif. 10

LOGO Misalkan A adalah matriks simetris definit positif yang dituliskan ke dalam bentuk partisi sbb: dimana A 11 dan A 22 adalah matriks persegi. Misalkan B = A -1, dan: dengan ukuran B 11 dan B 22 sama dengan A 11 dan A 22 berturut-turut, sehingga: Inverse dari Matriks Definit Positif 11

LOGO 2. Turunan Bentuk Umum 12

LOGO Jika z adalah fungsi k variabel y 1, y 2, …, y k. maka z dapat dituliskan: Dengan menggunakan turunan parsial, diperoleh: Turunan Bentuk Kuadratik 13

LOGO Contoh: Misalkan z adalah bentuk kuadratik z = y’Ay, tentukan turunan dari z Turunan Bentuk Kuadratik 14

LOGO 1. Misalkan z = a’y dimana a adalah vektor dari skalar, maka 2. Misalkan z = y’y, maka 3. Misalkan z = y’Ay dimana A adalah matriks k x k, maka Contoh: Buktikan bahwa turunan z pada rule (3) sama dengan nilai turunan berdasarkan definisinya Rules for Differentiation 15

LOGO 3. Nilai Harapan 16

LOGO Definisi: Misalkan adalah vektor dari variabel random, dan misalkan, sehingga vektor  diberikan oleh: Nilai Harapan dari Vektor Random 17

LOGO 1. Jika a adalah vektor bilangan real, maka E [a] = a. 2. Jika a adalah vektor dari skalar k x 1 dan Y adalah vektor random k x 1 dengan nilai harapan , maka 3. Jika A adalah matriks n x k, dan Y adalah vektor random dengan nilai harapan , maka Contoh: Misalkan Asumsikan E[Y 1 ]=10 dan E[Y 2 ]=20, tentukan E[AY], bandingkan dengan definisi ekspektasi Rules for Expectation 18

LOGO 4. Varians 19

LOGO Definisi: Misalkan adalah vektor random dengan dengan E[Y] = . Varians dari Y dinotasikan sebagai var Y atau V adalah matriks k x k yaitu: Varians dari Vektor Random 20

LOGO 1. Jika Y adalah vektor random dengan var Y = V, dan Z = a’Y dimana a adalah vektor bilangan real, maka 2. Jika Y adalah vektor random dengan var Y = V, dan A adalah matriks k x k. Jika z = AY, maka Rules for Variance 21

LOGO LATIHAN SOAL 22

LOGO 1. Misalkan Tentukan y’Ay. 2. Tunjukkan apakah matriks-matriks berikut definit positif, semidefinit positif, atau lainnya LATIHAN SOAL 23

LOGO 3. Misalkan a. Tuliskan z = a’y, dan tentukan b. Buktikan bahwa dz/dy = a 4. Misalkan z = y’Ay, Tentukan a. b. c. LATIHAN SOAL 24

LOGO 5. Misalkan Tentukan E[a’Y] dan E[Ya’] 6. Misalkan asumsikan  ij = 0, i≠j, dan  i 2 = 4, i = 1,2,3, tentukan var y dan tentukan E [y’Ay] LATIHAN SOAL 25

LOGO 26