Teknik Optimasi Semester Ganjil 2013/2014 Pengganda Lagrange Teknik Optimasi Semester Ganjil 2013/2014

METODE LAGRANGE PADA NLP DENGAN SATU KENDALA Digunakan untuk memaksimumkan fungsi obyektif f(x, y, z) subject to suatu kendala dalam bentuk g(x, y, z) = k.

PENGGANDA LAGRANGE Untuk mempermudah pemahaman metode ini secara geometris, diterapkan terlebih dahulu pada fungsi-fungsi dengan dua variabel. Ingin dicari nilai maksimum dari f(x, y) subject to suatu kendala dalam bentuk g(x, y) = k.

PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL Nilai maksimum bagi f(x, y) harus berada pada level kurva g(x, y) = k. Gambar berikut menunjukkan level kurva g(x, y) = k bersama beberapa level kurva f(x, y) = c, c = 11, 10, 9, 8, 7

PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL Untuk memaksimumkan f(x, y) subject to g(x, y) = k adalah mencari Nilai c terbesar sedemikian sehingga level kurva f(x, y) = c bertemu dengan g(x, y) = k  mempunyai gradien yang sama

PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL Gradien/garis normal pada titik singgung (x0 , y0) adalah sama untuk kedua fungsi. Vektor gradien paralel Untuk skalar tertentu λ:

PENGGANDA LAGRANGE – TIGA VARIABEL Serupa dengan argumen pada fungsi dengan dua variabel, pada kasus maksimum dari f(x, y, z) subject to kendala g(x, y, z) = k. Solusi (x, y, z) harus berada pada level g(x, y, z) = k. Jika nilai maksimum dari f ada pada titik x0, y0, z0 di mana f(x0, y0, z0) = c, maka pada titik tersebut gradien dari f akan sama dengan gradien dari g(x, y, z) = k. Untuk skalar tertentu λ:

PENGGANDA LAGRANGE—METODE Tentukan semua nilai x, y, z, dan λ sedemikian dan Evaluasi f pada semua titik (x, y, z) yang dihasilkan di langkah a. Nilai terbesar  maksimum bagi f. Nilai terkecil  minimum bagi f.

Pada penurunan dengan metode Lagrange, diasumsikan bahwa Pada semua titik di mana g(x, y, z) = k 

fx = λgx fy = λgy fz = λgz g(x, y, z) = k METODE LAGRANGE Pada langkah a di mana Persamaan vektor gradien tersebut harus dinyatakan per komponen (turunan parsial) sedemikian: fx = λgx fy = λgy fz = λgz g(x, y, z) = k Merupakan sistem dari 4 persamaan dengan 4 variabel yang tidak diketahui x, y, z, and λ. Tidak harus memperoleh nilai eksplisit bagi λ.

Prinsip tersebut ekuivalen dengan permasalahan: METODE LAGRANGE Prinsip tersebut ekuivalen dengan permasalahan: Max atau Min bagi: L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) – λ(k - g(x, y, z)) f.o.c bagi permasalah tsb: Lx = fx – λ gx =0 ↔ fx = λgx Ly = fy – λ gy =0 ↔ fx = λgx Lz = fz –λgz =0 ↔ fz = λgz Lλ = k – g(x, y, z) =0 ↔g(x, y, z) = k

Ingin diperoleh x, y, dan λ sedemikian: METODE LAGRANGE Untuk fungsi dengan dua variabel, cara yang sama dapat dilakukan max atau min f(x, y) s.t. g(x, y) = k, Ingin diperoleh x, y, dan λ sedemikian: (2 turunan parsial saja) fx = λgx fy = λgy g(x, y) = k Tiga persamaan untuk menyelesaikan tiga variabel x, y, and λ.

L(x, y, λ) = f(x, y) – λ(k - g(x, y)) METODE LAGRANGE Prinsip tersebut ekuivalen dengan permasalahan: Max atau Min bagi: L(x, y, λ) = f(x, y) – λ(k - g(x, y)) f.o.c bagi permasalah tsb: Lx = fx – λ gx =0 ↔ fx = λgx Ly = fy – λ gy =0 ↔ fx = λgx Lλ = k – g(x, y) =0 ↔g(x, y) = k

Interpretasi λ Untuk Analisis Sensitifitas Dari hubungan: fx = λgx fy = λgy g(x, y) = k λ= fx / gx= fy / gy Adalah laju perubahan nilai fungsi akibat perubahan nilai pada kendala Efek perubahan ketersediaan bahan baku (ruas kanan kendala) terhadap nilai optimal fungsi

Contoh: Untuk permasalahan berikut, yang penjelasannya akan saya berikan di kelas

Digunakan λi sejumlah kendala (m) yang digunakan i = 1, …, m METODE LAGRANGE PADA NLP DENGAN BEBERAPA KENDALA Digunakan λi sejumlah kendala (m) yang digunakan i = 1, …, m Misal untuk dua variabel max atau min f(x, y) s.t. gi(x, y) = ki, i = 1, …, m Ingin diperoleh x, y, dan λi , i = 1, …, m sedemikian: fx = λ1 g1x + … + λm gmx fy = λ1 g1y + … + λm gmy gi(x, y) = ki, i = 1, …, m

Ekuivalen dengan: Max atau Min bagi: L(x, y, λ1, …, λm)= f(x, y) – λ1(k1 – g1(x, y)) – … – λm(km – gm(x, y)) f.o.c bagi permasalah tsb: Lx = fx – λ1 g1x – … – λm gmx =0 Ly = fy – λ1 g1y – … – λm gmy =0 Lλi = ki – gi(x, y) =0 untuk i = 1, …, m

SOAL -SOAL 1. Minimize f(x) = 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 + 𝑥 3 2 S.t. 𝑔 1 𝒙 =𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 −2=0 𝑔 2 𝒙 =5𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑥 3 −5=0 2. Minimize 𝑓 𝒙 = 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 + 𝑥 3 2 s.t 4 𝑥 1 + 𝑥 2 2 +2 𝑥 3 −14=0 3. Minimize 𝑓 𝒙 = 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +10 𝑥 3 2 s.t. 𝑔 1 𝒙 = 𝑥 1 + 𝑥 2 2 + 𝑥 3 −5=0 𝑔 2 𝒙 = 𝑥 1 +5 𝑥 2 + 𝑥 3 −7=0