6s-1LP Metode Simpleks William J. Stevenson Operations Management 8 th edition OPERATIONS RESEARCH Enos

6s-2LP Metode Simpleks ELIMINASI GAUSS Kamis, 20 April 2006

6s-3LP Metode Simpleks Solusi Numerik untuk persamaan- persamaan linier: a. Metode Langsung 1. Eliminasi Gauss 2. Eliminasi Gauss-Jordan 3. Dekomposisi 4. Sistim Tridiagonal Solusi Numerik untuk persamaan- persamaan linier: a. Metode Langsung 1. Eliminasi Gauss 2. Eliminasi Gauss-Jordan 3. Dekomposisi 4. Sistim Tridiagonal

6s-4LP Metode Simpleks b. Metode Tak Langsung (Iterasi) 1. Metode Jacobi 2. Metode Gauss-Seidel 3. Metode Newton-Raphson 4. Successive over Relaxation Metode tak langsung biasanya memerlukan waktu yang sangat lama. b. Metode Tak Langsung (Iterasi) 1. Metode Jacobi 2. Metode Gauss-Seidel 3. Metode Newton-Raphson 4. Successive over Relaxation Metode tak langsung biasanya memerlukan waktu yang sangat lama.

6s-5LP Metode Simpleks A.x = b Matriks Vektor

6s-6LP Metode Simpleks Solusi sistem persamaan aljabar linier dapat ditentukan jika memenuhi syarat- syarat:  A.x = b mempunyai jawab unik x  V untuk setiap b  V  A.x =b hanya mempunyai satu solusi x  V untuk setiap b  V  Jika A.x = 0, berarti x = 0  A -1 atau inversi matriks A ada,  Determinan A  0  Rank (A) = n, (matriks A berorde n) Solusi sistem persamaan aljabar linier dapat ditentukan jika memenuhi syarat- syarat:  A.x = b mempunyai jawab unik x  V untuk setiap b  V  A.x =b hanya mempunyai satu solusi x  V untuk setiap b  V  Jika A.x = 0, berarti x = 0  A -1 atau inversi matriks A ada,  Determinan A  0  Rank (A) = n, (matriks A berorde n)

6s-7LP Metode Simpleks Algoritma Eliminasi Gauss  Menyatakan persamaan linier sebagai n buah persamaan simultan  Tentukan faktor pengali Algoritma Eliminasi Gauss  Menyatakan persamaan linier sebagai n buah persamaan simultan  Tentukan faktor pengali (1) (2) (3)

6s-8LP Metode Simpleks  Persamaan (1) dikali m 2: m 2 a 11 x 1 + m 2 a 12 x 2 + m 2 a 13 x 3 =m 2 b 1  Hasil perkalian diperkurangkan dari persamaan (2)  Persamaan (1) dikali m 2: m 2 a 11 x 1 + m 2 a 12 x 2 + m 2 a 13 x 3 =m 2 b 1  Hasil perkalian diperkurangkan dari persamaan (2) (4)

6s-9LP Metode Simpleks  a ’ 22 = a 22 – m 2 a 12 a ’ 23 = a 23 – m 2 a 13 b’ 2 = b 2 – m 2 b 1 maka: a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 ……………(5) Persamaan (2) disubtitusi dgn persamaan (5).  a ’ 22 = a 22 – m 2 a 12 a ’ 23 = a 23 – m 2 a 13 b’ 2 = b 2 – m 2 b 1 maka: a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 ……………(5) Persamaan (2) disubtitusi dgn persamaan (5).

6s-10LP Metode Simpleks  Tentukan faktor pengali untuk persamaan ketiga: Persamaan pertama dikali dengan m 3, persamaan ketiga dikurangi persamaan pertama. a’ 32 x 2 + a’ 33 x 3 = b’ 3 …………………………(6) dimana a’ 32 = a 32 – m 3 a 12 a’ 33 = a 33 – m 3 a 13 b’ 3 = b 3 – m 3 b 1  Tentukan faktor pengali untuk persamaan ketiga: Persamaan pertama dikali dengan m 3, persamaan ketiga dikurangi persamaan pertama. a’ 32 x 2 + a’ 33 x 3 = b’ 3 …………………………(6) dimana a’ 32 = a 32 – m 3 a 12 a’ 33 = a 33 – m 3 a 13 b’ 3 = b 3 – m 3 b 1

6s-11LP Metode Simpleks Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6): a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ……….(1) a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 ………(5) a’ 32 x 2 + a’ 33 x 3 = b’ 3 ……….(6) Faktor pengali m’ 3 = a’ 32 /a’ 22 a’ 32 – m’ 3 a’ 22 = 0 a’’ 33 = a’ 33 – m’ 3 a’ 23 b’’ 3 = b’ 3 – m’ 3 b’ 2 Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6): a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ……….(1) a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 ………(5) a’ 32 x 2 + a’ 33 x 3 = b’ 3 ……….(6) Faktor pengali m’ 3 = a’ 32 /a’ 22 a’ 32 – m’ 3 a’ 22 = 0 a’’ 33 = a’ 33 – m’ 3 a’ 23 b’’ 3 = b’ 3 – m’ 3 b’ 2

6s-12LP Metode Simpleks  a’ 33 x 3 = b’ 3 ………….. (7) Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6), a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ……..(1) a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 ……..(5) a’’ 33 x 3 = b’ 3 …….(7)  a’ 33 x 3 = b’ 3 ………….. (7) Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6), a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ……..(1) a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 ……..(5) a’’ 33 x 3 = b’ 3 …….(7)

6s-13LP Metode Simpleks

6s-14LP Metode Simpleks Contoh 1: Diberikan sistim persamaan linier: 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 11………….(1) 4x 1 + 3x x 3 = 28………….(2) 2x 1 + 4x x 3 = 31………….(3) Tentukan nilai-nilai x 1, x 2, dan x 3 : Penyelesaian:  Faktor pengali m 2 = 4/2 = 2  Eliminasi x 1 dari persamaan kedua dan ketiga. Contoh 1: Diberikan sistim persamaan linier: 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 11………….(1) 4x 1 + 3x x 3 = 28………….(2) 2x 1 + 4x x 3 = 31………….(3) Tentukan nilai-nilai x 1, x 2, dan x 3 : Penyelesaian:  Faktor pengali m 2 = 4/2 = 2  Eliminasi x 1 dari persamaan kedua dan ketiga.

6s-15LP Metode Simpleks  Persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x 1 pada persamaan kedua, persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x 1 pada persamaan ketiga 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 x 2 + 4x 3 = 6 3x x 3 = 20  Eliminasi x 2 dari persamaan ketiga (persamaan kedua menjadi persamaan pivot sedangkan koefisien x 2 menjadi elemen pivot.  Persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x 1 pada persamaan kedua, persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x 1 pada persamaan ketiga 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 x 2 + 4x 3 = 6 3x x 3 = 20  Eliminasi x 2 dari persamaan ketiga (persamaan kedua menjadi persamaan pivot sedangkan koefisien x 2 menjadi elemen pivot.

6s-16LP Metode Simpleks  Persamaan kedua dikali 3 untuk mengeliminasi x 2 pada persamaan kedua: 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 x 2 + 4x 3 = 6 2x 3 = 2  Langkah II: subtitusi balik. x 3 = 2/2 = 1 x = 6  x 2 = 2 2x = 11  x 1 = 3  Persamaan kedua dikali 3 untuk mengeliminasi x 2 pada persamaan kedua: 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 x 2 + 4x 3 = 6 2x 3 = 2  Langkah II: subtitusi balik. x 3 = 2/2 = 1 x = 6  x 2 = 2 2x = 11  x 1 = 3

6s-17LP Metode Simpleks Contoh 2: w + x + y + z = 10 2w + 3x + y + 5z = 31 -w + x - 5y + 3z = -2 3w + x + 7y - 2z = 18 Contoh 2: w + x + y + z = 10 2w + 3x + y + 5z = 31 -w + x - 5y + 3z = -2 3w + x + 7y - 2z = 18 Matriks augmented

6s-18LP Metode Simpleks II – 2(I) III + 1(I) IV -3(I) II – 2(I) III + 1(I) IV -3(I)

6s-19LP Metode Simpleks III-2(II) IV+2(II) III-2(II) IV+2(II) x - ½

6s-20LP Metode Simpleks IV – 2(III)

6s-21LP Metode Simpleks x 4 = 4 x 3 + x 4 = 7; x = 7; x 3 = 3 x 2 – x 3 + 3x 4 = 11; x 2 – = 11; x 2 = 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10; x = 10; x 1 = 1 x 4 = 4 x 3 + x 4 = 7; x = 7; x 3 = 3 x 2 – x 3 + 3x 4 = 11; x 2 – = 11; x 2 = 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10; x = 10; x 1 = 1