Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y

Operator Diferensial D(x 2 +1) = 2x D 2 (x 2 +1) = 2 D 3 (x 2 +1) = 0 D(e 3x ) = 3e 3x D 2 (e 3x ) = 9e 3x D(sin 2x) = 2 cos 2x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Operator D Dy = y’ D 2 y = y” y” + py’ +qy = f(x) D 2 y + pDy + qy = f(x) (D 2 +pD+q)y = f(x) F(D)y = f(x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 1 Operator D F(D)e ax = (D 2 +pD+q)e ax = (a 2 + pa + q) e ax = F(a) e ax Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 y” – 5y’ + 6y = e x (D 2 – 5D + 6)y = e x y c = c 1 e 2x + c 2 e 3x PUPD: y = y c + y p y = y c + y p = c 1 e 2x + c 2 e 3x + ½ e x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 2 Operator D F(D)(e ax V)= (D 2 +pD+q)(e ax V) D(e ax V) = ae ax V + e ax DV = e ax (D+a)V D 2 (e ax V) = D(ae ax V + e ax DV) = a 2 e ax V + ae ax DV + ae ax DV + e ax D 2 V = e ax (D 2 + 2aD + a 2 )V = e ax (D+a) 2 V Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

F(D)(e ax V)= (D 2 +pD+q)(e ax V) = e ax (D+a) 2 V + p e ax (D+a)V + q e ax V = e ax [(D+a) 2 + (D+a)p + q ] V = e ax F(D+a) V Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 2 y” – 2y’ + y = xe x (D 2 - 2D + 1)y = xe x PR : (D 2 - 2D + 1)y = 0  subs: y=e kx PK : (k 2 – 2k + 1) = 0 k 1 = k 2 = m =1 y c = e x (c 1 + c 2 x) PUPD: y = e x (c 1 + c 2 x + 1/6 x 3 ) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 3 Operator D D(cos ax)= -a sin ax D 2 (cos ax) = -a 2 cos ax F (D 2 )cos ax= F (-a 2 )cos ax Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 3 y” – 9 y = cos 2x (D 2 - 9)y = cos 2x PR : (D 2 - 9)y = 0  subs: y=e kx PK : (k 2 – 9) = 0 (k+3)(k-3) = 0 k 1 = 3 dan k 2 = -3 y c = c 1 e 3x + c 2 e -3x PUPD: y = c 1 e 3x + c 2 e -3x – 1/13 cos 2x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 4 Operator D D(sin ax)= a cos ax D 2 (sin ax) = -a 2 sin ax F (D 2 )sin ax= F (-a 2 )sin ax Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 4 y” + 9 y = sin 2x (D 2 + 9)y = sin 2x PR : (D 2 +9)y = 0  subs: y=e kx PK : (k 2 + 9) = 0 (k+3)(k-3) = 0 k 1,2 = ± 3i y c = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x PUPD: y = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x + 1/5 sin 2x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Summary Sifat-sifat Operator D Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 5 y” -2y’ + y = e x (D 2 -2D + 1)y = e x PR : (D 2 -2D + 1)y = 0  subs: y=e kx PK : (k 2 – 2k + 1) = 0 (k-1)(k-1) = 0 k 1,2 = m = 1 y c = e x (c 1 + c 2 x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1 Gagal!!!

Example 5 (Lanjutan) PUPD: y = e x (c 1 + c 2 x + 1/2 x 2 ) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 6 y” -5y’ + 6y = sin 4x (D 2 -5D + 6)y = sin 4x PR : (D 2 -5D + 6)y = 0  subs: y=e kx PK : (k 2 – 5k + 6) = 0 (k-2)(k-3) = 0 k 1 = 2 dan k 2 = 3 y c = c 1 e 2x + c 2 e 3x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 6 (Lanjutan) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1 PUPD: y = y c + yp = c 1 e 2x + c 2 e 3x – 1/50 sin 4x + 1/25 cos 4x

Example 7 y” -2y’ - 3y = x 2 (D 2 -2D - 3)y = x 2 PR : (D 2 -2D - 3)y = 0  subs: y=e kx PK : (k 2 – 2k - 3) = 0 (k-3)(k+1) = 0 k 1 = 3 dan k 2 = -1 y c = c 1 e 3x + c 2 e -x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1 How??? PUPD: y = y c + yp = c 1 e 3x + c 2 e -x – 1/3x 2 + 4/9x – 14/27

Example 7 (Lanjutan) 1 Cukup, karena Dx2 = 2x D 2 x2 = 2 D 3 x2 = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

PD Linier Tingkat n Bentuk umum (y n + p n-1 y n-1 + … + p 1 y’ + p 0 y = f(x) P. Reduksi: F(D)y = 0, subs y = e kx  PK: F(k) = 0 Akar-akar karakteristik: k 1, k 2, k 3,…, k n-1, k n Jika k 1 ≠ k 2 ≠ k 3 … ≠ k n-1 ≠ k n, maka y c = c 1 e k1x + c 2 e k2x + c 3 e k3x + … + c n-1 e kn-1x + c n e knx Jika k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = m dan k 5 ≠ k 6 ≠ k 7 ≠… ≠ k n, maka y c = e mx (c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 )+ c 5 e k5x +…+ c n e knx Jika k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = a+bi dan k 5 = k 6 = k 7 = k 8 = a-bi, serta k 9 ≠ k 10 ≠… ≠ k n maka y c = e ax [(c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 )cos bx +(c 5 + c 6 x + c 7 x 2 + c 8 x 3 )sin bx] + c 9 e k9x +…+ c n e knx Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 y iv – y = e 2x PD: (D 4 – 1)y = e 2x PR: (D 4 – 1)y = 0  subs y = e kx PK: k 4 – 1 = 0 (k 2 -1)(k 2 +1)=0 (k+1)(k-1)(k 2 +1)=0 k 1 = -1, k 2 = 1, k 3,4 = ±i y c = c 1 e -x + c 2 e x + c 3 cosx + c 4 sinx Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 (Lanjutan) PUPD: y = y c + y p y = c 1 e -x + c 2 e x + c 3 cosx + c 4 sinx + 1/15e 2x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Exercise y”’-2y”-y’+2y=2x 2 -6x+4; y(0)=5, y’(0) = -5, y”(0) = 1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1