SEPARABLE PROGRAMMING Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Masalah separable programming adalah masalah nonlinear programming dengan bentuk seperti berikut : Max (atau min) z = s.t (i = 1, 2, …, m) Separable programming dapat diselesaikan dengan pendekatan piece wise linear function untuk setiap fj(xj )dan gij(xj) Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Berikutnya pilih titik grid pj,1 , pj,2, …pj,k dengan Sebelum melakukan pendekatan piece wise linear function untuk fj(xj ) dan gij(xj) perlu ditentukan aj dan bj (untuk j = 1, 2, …, n) sedemikian hingga nilai pada solusi optimal akan memenuhi aj ≤ xj ≤ bj Berikutnya pilih titik grid pj,1 , pj,2, …pj,k dengan aj = pj,1 ≤ pj,2 ≤ … ≤ pj,k = bj (untuk kesederhanaan, untuk setiap variabel dapat digunakan banyak grid yang sama ). Konsep dasar dari metode separable programming adalah mendekati setiap fungsi fj(xj ) dan gij(xj) dengan fungsi linear pada setiap interval [pj,r - 1 , pj,r ] Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Secara formal, misalkan maka untuk 0    1 Secara umum, untuk pendekatan masalah separable programming xj dapat dinyatakan sebagai (j = 1, 2, …, n) dengan (j = 1, 2, …, n) (j = 1, 2, …, n ; r = 1, 2, …, k) Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Sehingga fj(xj ) dapat didekati dengan Dan gij(xj) dapat didekati dengan Eni Sumarminingsih, SSi, MM

j,k dikatakan adjacent dengan j,k - 1 dan j,k+1 Untuk memastikan keakuratan pendekatan ini, maka harus dipastikan bahwa untuk setiap j (j = 1, 2, …, n), maksimum hanya ada dua j,r yang positif Untuk j tertentu misalkan j,k positif maka j,k - 1 atau j,k+1 harus positif dan bukan j,r yang lain j,k dikatakan adjacent dengan j,k - 1 dan j,k+1 Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Secara lengkap, pendekatan masalah separable programming dapat dinyatakan sebagai berikut: max (atau min) s.t (i= 1, 2, ..., m) (j = 1, 2, …, n) (j = 1, 2, …, n ; r = 1, 2, …, k) asumsi adjacency Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Dapat dilihat bahwa pendekatan separable programming adalah masalah linear programming sehingga dapat diselesaikan dengan metode simplek. Namun demikian, penyelesaian dengan metode simplek memungkinkan asumsi adjacency terlanggar atau tidak terpenuhi. Untuk menghindari hal tersebut, metode simplek perlu dimodifikasi, yaitu dengan menambah aturan sebagai berikut : Jika untuk j tertentu, semua j,k = 0, maka setiap j,k boleh masuk sebagai basis. Jika untuk j tertentu, j,k positif maka hanya j,k-1 atau j,k+1 yang boleh masuk sebagai basis Jika untuk j tertentu, terdapat dua j,k yang positif, maka tidak boleh ada j,k lain yang dapat masuk sebagai basis Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Terdapat dua kasus di mana metode simplek biasa dapat digunakan untuk menyelesaikan pendekatan terhadap separable programming dan menghasilkan solusi yang secara otomatis memenuhi asumsi adjacency, yaitu Jika separable programming adalah masalah maksimisasi, setiap fj(xj) concave dan setiap gij(xj) adalah convex Jika separable programming adalah masalah minimisasi, setiap adalah fj(xj) convex dan setiap gij(xj) adalah convex Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Contoh permasalahan Misalkan ingin dicari solusi optimal dari masalah berikut : Max S.t Permasalahan ini adalah masalah separable programming dengan Eni Sumarminingsih, SSi, MM

dan dapat ditetapkan a1 = a2 = 0 dan b1=b2=20 (karena x1, x2 ≥ 0 dan ada kendala ). Misalkan dipilih 5 grid ( semakin banyak grid akan semakin baik) untuk setiap variabel dengan grid p11= p21=0 ,p12=p22= 5, p13=p23=10 , p14=p24=15, p15=p25=20 . Sehingga didapat nilai dan nilai untuk grid tersebut adalah sebagai berikut: Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Tabel 1. Nilai dan untuk Grid 0, 5, 10, 15, 20 Fungsi Pj,r 5 10 15 20 100 -200 50 -150 -500 25 225 400 200 450 800 Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Dari Tabel 1. dapat dituliskan pendekatan masalah separable programming untuk contoh permasalahan adalah sebagai berikut: Max s.t Asumsi adjacency Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Permasalahan ini adalah permasalahan linear programming sehingga dapat diselesaikan dengan metode simpleks biasa karena untuk contoh permasalahan ini, setiap fj(xj) adalah concave dan setiap gij(xj) adalah convex. Solusi optimal dari permasalahn ini adalah Hal ini berarti dan sedang . Jika dibandingkan dengan solusi optimal sebenarnya yaitu dan dengan z = 214.5, solusi dengan pendekatan separable programming cukup dekat. Eni Sumarminingsih, SSi, MM