Modul Matematika Diskrit BAB 2 Integers and Division Matrices Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

INTEGERS AND DIVISION Bab 2 Sub-bab 2.4

Tujuan Instruksional Khusus Memahami konsep integer dan division Memahami definisi matrik nol satu

Division Notasi : Contoh: 3 | 7 salah tetapi 3 | 12 benar a | b a habis membagi b (b habis dibagi a) a divides b a | b a tidak habis membagi b (b tidak habis dibagi a, ada sisa) Contoh: 3 | 7 salah tetapi 3 | 12 benar Teorema: a, b, c adalah integer Jika a | b dan a | c, maka a | (b+c) Jika a | b, maka a | bc untuk sembarang integer c Jika a | b dan b | c, maka a | c

Teorema a | b dan a | c a | b dan c sembarang integer a | b dan b | c b = ma dan c = na b + c = ma + na = (m + n)a jadi a | (b + c) a | b dan c sembarang integer b = ma, bc = (ma)c = (mc)a jadi a | bc a | b dan b | c b = ma, c = pb = p(ma) = (pm)a jadi a | c

Theorema  Algoritma division a = dq + r syarat  0 <= r < d Dimana: q = a div d r = a mod d a disebut dividend d disebut divisor q disebut quotient r disebut remainder a = integer d = positif integer q = integer r = positif integer

Contoh algoritma divisor Apa quotient dan remainder ketika 101 dibagi oleh 11 ? Jawab : Menurut algoritma division  a = dq + r  101 = 11.9 + 2 d dan r harus positif integer a = 101 d = 11 q = a div d  q = 101 div 11  q = 9 r = a mod d  r = 101 mod 11  r = 2  r positif

Contoh algoritma divisor Apa quotient dan remainder ketika 11 dibagi oleh 3 ? Jawab : Menurut algoritma division  a = dq + r  11 = 3. (3) + 2 D dan r harus positif integer a = 11 d = 3 q = a div d  q = 11 div 3  q = 3 r = a mod d  r = 11 mod 3  r = 2  r positif

Congruence Diketahui bahwa a dan b adalah integer, m adalah integer positif, maka dikatakan a congruent to b modulo m jika (a – b) habis dibagi m. Notasinya : a  b (mod m)

Contoh Apakah 17 congruent dengan 5 mod 6 ?  Jawab  a  b (mod m) 1.  17 mod 6 = 5 dan 5 mod 6 = 5 2.  (17-5) habis dibagi 6  12/6 = 2 dan tidak ada sisa Jadi  17  5 (mod 6)

Contoh Apakah 24 congruent dengan 14 mod 6 ?  Jawab  a  b (mod m) 1.  24 mod 6 = 0 dan 14 mod 6 = 2 2.  (24-14) habis dibagi 6  10/6 = 1 dan sisa 5 Jadi  24  14 (mod 6)

Bilangan (integer) Prima: Bilangan prima p memiliki dua faktor: 1 dan p Teorema: Tiap integer positif > 1 dapat ditulis sebagai bilangan prima atau hasil-kali dari dua / lebih bilangan prima Contoh: 100 = 2 . 2 . 5 . 5 999 = 3 . 3 . 3 . 37

Contoh Apa Greatest Common Divisor dari 24 dan 36 ? Jawab  24 = 1 x 24 atau 2 x 12 atau 3 x 8 atau 4 x 6 Jadi positif common divisor untuk 24 adalah  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36 = 1 x 36 atau 2 x 18 atau 3 x 12 atau 4 x 9 atau 6 x 6 Jadi positif common divisor untuk 36 adalah  1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36  positif common divisor untuk 24 dan 36 adalah  1, 2, 3, 4, 6, 12  gcd(24,36) = 12

Contoh Apa Greatest Common Divisor dari 17 dan 22 ? Jawab  17 = 1 x 17 Jadi positif common divisor untuk 17 adalah  1, 17 22= 1 x 22 atau 2 x 11 Jadi positif common divisor untuk 22 adalah  1, 11, 22  positif common divisor untuk 17 dan 22 adalah  1  gcd(17,22) = 1

MATRIKS Sub-bab 2.7.

Matriks nol-satu Definisi : merupakan matriks dengan entri-entri nol (0) atau satu (1) Operasi pada matriks nol-satu: Join A  B (berdasarkan operasi “OR”) Meet A  B (berdasarkan operasi “AND”) Perkalian Boolean A  B

Operasi pada matriks nol-satu A = [ a ij ] dan B = [ b ij ] keduanya matriks m x n Join A  B : [ A  B] i, j = a ij  b ij Meet A  B : [A  B] i, j = a ij  b ij Perkalian Boolean A  B A = [ a ij ] matriks m x n B = [ b ij ] matriks n x k C = [ c ij ] matriks m x k = A  B c ij = (a i1  b 1j)  ( a i2  b 2j)  (ai3  b3j)  …  (a ik  b kj)

Contoh A  B =

C = A  B Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 1  1 0  0 0  1 1  0 (Baris 1)T 1  1 0  0 0  1 1  0 (Baris 1)T (Baris 2)T (Baris 3)T