Orang-orang yang beriman dan berhijrah serta berjihad di jalan Alloh dengan harta dan jiwa mereka, lebih besar derajadnya di sisi Alloh, dan mereka itulah orang-orang yang mendapat kemenangan. [TQS. AT TAUBAH(9):20]

GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL OLEH NURUL SAILA PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA MARGA 26 DAN 27 DESEMBER 2011

“Gradien” Definisi: Operator Diferensial Vektor Del () = /x i+ /y j+ /z k atau = i /x + j /y + k /z Operator  disebut juga ‘nabla’

Gradien Misal (x, y, z) terdefinisi dan diferensiabel pd setiap titik (x, y, z) dlm suatu daerah tertentu dari ruang ( medan skalar). Gradien  ditulis:  atau grad , didefinisikan: = (/x i+ /y j+ /z k) = /x i+ /y j+ /z k .dr=0, shg  adalah sebuah vektor yg tegaklurus pd permukaan (x, y, z)= c, dimana c sebuah konstanta. Komponen  dlm arah vektor satuan a adalah .a yaitu laju perubahan  pd (x, y, z) dlm arah a.

Contoh: Jika (x, y, z) = 3x2y – y3z2, carilah grad  () pada titik (1, -2, -1). Carilah normal satuan terhadap permukaan x2y + 2xz = 4 pada titik (2, -2, 3). Carilah persamaan untuk bidang singgung terhadap permukaan 2xz2-3xy-4x = 7 pada titik (1, -1, 2). Carilah turunan berarah dari =x2yz+4xz2 pada (1, -2, -1) dalam arah 2i-j-2k. Carilah sudut antara permukaan-permukaan x2+y2+z2=9 dan z=x2+y2 -3 pd titik (2, - 1, 2)

“Divergensi” Definisi: Misalkan V(x, y, z)= V1 i+ V2 j+ V3 k terdefinisi dan diferensiabel dlm suatu daerah tertentu dari ruang (V medan vektor). Divergensi dari V, ditulis: .V atau div V, didefinisikan: . V = (/x i+ /y j+ /z k) . (V1 i+ V2 j+ V3 k) = (V1/x+ V2/y+ V3/z)

Contoh: Jika A=x2z i – 2y3z2 j +xy2z k , maka carilah div A (.A) pada titik (1, -1, 1). Diketahui = 2x3y2z4. Carilah: . (div grad ) 2 2 = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 disebut operator Laplacian. Tentukan konstanta a sehingga vektor V=(x+3y)i+(y-2z)j+(x+az)k adalah solenoidal [sebuah vektor V adalah solenoidal jika divergensinya 0].

“Curl” Definisi: Jika V(x, y, z) adalah suatu medan vektor yg diferensiabel maka curl atau rotasi V, ditulis: curl V atau rot V, didefinisikan:  x V = (/x i+ /y j+ /z k) x (V1 i+ V2 j+ V3 k) =

Contoh: Jika A=x2z i – 2y3z2 j +xy2z k , maka carilah curl A ( x A) pada titik (1, -1, 1). Jika A=x2y i-2xz j+2yz k, carilah curl curl A. Jika  adalah suatu medan skalar dan A suatu medan vektor, buktikan: Curl grad  = 0 Div curl A = 0

Rumus-rumus yang Mengandung  Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor yg diferensiabel dan  dan  fungsi-fungsi skalar dari kedudukan (x, y, z) yg diferensiabel maka: ( + ) =  +  atau grad(+)= grad  + grad  .(A + B) = .A + .B atau div (A+B)= div A + div B x(A + B) = x A + x B atau curl (A+B) = curl A + curl B

.(A) = (). A + (.A) x(A) = ()x A + (xA) .(AxB) = B.(x A) – A.(xB) x(AxB) = (B.)A – B(.A)-(A.)B+A(.B) (A.B) = (B.)A + (A.)B+B x(xA)+A x(xB) .() = 2= 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 dimana 2= 2/x2+ 2/y2+ 2/z2 disebut operator laplace x() = 0 curl dari gradien  adalah 0 .( x A)= 0 divergensi dari curl A adalah 0. x( x A)=(.A)-2A

TERIMAKASIH TELAH MENGIKUTI PERKULIAHAN INI DENGAN BAIK SELAMAT BELAJAR SEMOGA SUKSES NURUL SAILA