M ATHEMATICS III TS 4353 C LASS B Integral Rangkap Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University

I NTEGRAL R ANGKAP D UA Integral garis Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤ x ≤ b pada sumbu x. Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua (x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan tertutup pada suatu bidang xy. Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

I NTEGRAL R ANGKAP D UA a b c d A B P Q Z = F(X k, Y k ) ΔA k = ΔX k ΔY k ΔY k ΔX k D D dibagi n daerah bagian ΔD k dengan luas ΔA k (k=1, 2, 3, …, n). Diambil titik Z misalkan (x k, y k ). Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 X Y

D = daerah integrasi D dicakup oleh pertidaksamaan: a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB  f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x) c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP  g 1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Diintegralkan terhadap y dengan menganggap x konstan Diintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE 1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 E XAMPLE 2

Diketahui a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinya b/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 E XAMPLE 3 y=x x=y x=y 2/3 y = x 3/2 1 1 x y

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 E XAMPLE 3

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Diketahui: Y X x=0 x=y y=2 y =1 y=x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

A PLIKASI I NTEGRAL L IPAT D UA Perhitungan Luas dy dx D X Y Elemen luas dL = dx dy Luas: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x 2 dan y=1 Y X D y=1 1 y=2-x 2 Titik-titik potong y = 2-x 2 2-x 2 = 1 y = 1 1-x 2 = 0 x = -1 or x = 1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y 2 dan x+y = 2 X x + y =2 x = y Y Titik-titik potong x = y 2 y 2 =2-y x= 2-yy 2 +y-2 = 0 (y-1)(y+2)=0 y=1 or y=-2 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Massa dy dx ρ= ρ(x,y) XY Rapat massa (untuk pelat tipis  tidak punya ketebalan) Elemen massa dM= ρ dx dy Massa : Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi y=2√x, sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x. X Y y = 2√x x = 4 ρ = ky y k = konstanta kesebandingan Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ρ dx dy Momen terhadap sumbu x: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 dy dx ρ= ρ(x,y) X Y y x

Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ρ dx dy Momen terhadap sumbu y: Pusat Massa Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis (pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang dibatasi kurva y=x dan y=x 2 X Y y=x 2 y=x Dρ = c (konstan) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 Titik-titik potong y = x 2 x 2 =x y= xx 2 -x = 0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 01

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Pusat massa : (1/2, 2/5) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Momen Inersia dy dx ρ= ρ(x,y) XY D y x r Elemen momen inersia thd sumbu x: dIx= y 2 ρ dx dy Momen inersia thd sb x: Elemen momen inersia thd sumbu y: dIy= x 2 ρ dx dy Momen inersia thd sb y: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Momen Inersia thd titik pusat O Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Tentukan momen inersia terhadap: a/. Sumbu x b/. Sumbu y c/. Titik pusat O yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x 2 X Y y=x 2 y=x Dρ = c (konstan) Titik-titik potong: y=x 2 x 2 =x y=xx 2 -x=0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Volume Z X Y D Z= f(x,y) Elemen volume dV = z dx dy Volume: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

XYZOktan (ruang) +++I -++II --+III +-+IV ++-V -+-VI ---VII +--VIII Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di oktan pertama! z = 6 – 2x – 3y Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 X Y Z

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi z=y, y=x 2 dan x=y 2 Z X Y z = y y=x 2 x=y 2 y=x 1/2 x=0 y=x 2 x=1 y=x 2 x=y 2 z = y Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 x=y 2 y=x 2 X Y

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Luas Permukaan Kulit Z X Y Z= f(x,y) k = ? Elemen luas permukaan/ kulit: Luas permukaan/ kulit: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di oktan I Z X Y Y X 2 3 3x + 2y = 6 y = (6-3x)/2 z = 6 - 3x – 2y Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

S ISTEM K OORDINAT P OLAR / K UTUB Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar: x = r cos θ y = r sin θ Y X y x r θ P(x,y) = P(r,θ) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 O

N ILAI J ACOBIAN Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi x 2 + y 2 = 4 X Y 2 -2 Sistem Koordinat Polar Sistem Koordinat Kartesius r 2 b 2π2π Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina homogen x 2 + y 2 = a 2 di atas sumbu x Sistem koordinat kartesius: -aa x 2 +y 2 =a 2 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

I NTEGRAL R ANGKAP T IGA ∆x k ∆y k ∆z k f(x,y,z) Z Y X Diintegralkan thd z dengan menganggap x,y konstan Diintegralkan thd y dengan menganggap x konstan Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

A PLIKASI I NTEGRAL L IPAT T IGA Perhitungan Volume Elemen volume: dV = dx dy dz Volume: ∆x k ∆y k ∆z k Z Y X Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi tabung x 2 + z 2 = 4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di oktan I. Tabung x 2 + z 2 =4  z=√4-x 2 Bidang XOZ  y = 0 X Bid XOY  z =0 Bid Y=X Z Y Y X y = x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Massa dx dy dz Z Y X ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa Elemen massa: dM= ρ dx dy dz Massa: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Momen terhadap bidang:Titik Berat: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-x 2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan I! Z X Y z = 1-x 2 y = Bidang XOZ y = 0 Bidang XOY z = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Perhitungan Momen Inersia dx dy dz Z Y X ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa Momen inersia thd sb x: Momen inersia thd sb y: Momen inersia thd sb z: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen dgn panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2! Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

S ISTEM K OORDINAT T ABUNG Z Y X P(x,y,z)= P(r,θ,z) Transformasi Koordinat: x = r cos θ y = r sin θ z = z Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

N ILAI J ACOBIAN Dengan demikian Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

E XAMPLE Hitung momen inersia terhadap sb z dari tabung homogen x 2 + y 2 = 4 dan tingginya 3. Z Y X x 2 + y 2 = 4 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2

Sistem koordinat polar Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2