Mencari akar-akar persamaan f(x)=0  mencari perpotongan kurva y=f(x) dengan sumbu x(y=0)

x’2 xo x’1 y=f(x) f(x) x xo = solusi eksak x’1, x’2 = solusi pendekatan Solusi pendekatan yang baik: Cukup dekat dengan xo, yaitu | x’-xo|0 Nilai mutlak fungsinya mendekati nol:| f(x)| 0 Kedua kriterian diatas sulit dipenuhi bersamaan.

Pers. : xsinx +(x2+4)ex = cosx akarnya Pers. : xsinx +(x2+4)ex = cosx akarnya? xo adalah akarnya jika xo sin xo + (xo 2 + 4) e = cos xo Bentuk umum pers. F(x) = 0 memiliki akar xo jika untuk harga x diganti xo pers. menjadi BENAR. Kemungkinan akarnya: - satu - beberapa. Kadang perlu mencari harga “Akar pendekatan=aproksimasi” yaitu harga x yang paling ”dekat” dengan suatu akar. Apa artinya akar xo dari pers. F(x) = 0 ?  grafik F(x) memotong sumbu x pada x = xo Jadi akar pendekatan: 1. Merupakan suatu bilangan x’ shg.| x’- xo | berharga kecil 2. Suatu bilangan x’ shg. |F(x’)| memp. harga kecil.

Pada umumnya diperlukan : 1. | x’- xo | hrs Pada umumnya diperlukan : 1.| x’- xo | hrs. kecil dimana F(x)=0 dan juga 2. F(x’) hrs. kecil. , krn. x’2 xo F(x’) y=F(x) F(x) x xo F(x’) y=F(x) F(x) x x’

Algoritma yang akan dikembangkan biasanya ditujukan untuk satu kriteria: harus memiliki algoritma yg memenuhi kriteria sesuai dgn tujuan masalah. Penyelesaian akar persamaan F(x) = 0 secara metode numerik: a. tertutup: -Bisection - Regulasi falsi b. terbuka: - iterasi - Newton Raphson - Secant

Metode Bisection (Bagi dua Interval) fungsi y = f(x) akan memotong sumbu x didalam interval a<x<b, jika f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Atau f(x)=0 akan memp. Akar dlm interval a<x<b jika f(a) dan f(b) berlawanan tanda. membutuhkan 2 titik awal (disebut xL dan xR), dgn syarat f(xL) dan f(xR) berlawanan tanda. membutuhkan kondisi berhenti, umumnya saat |f(x)|, ( =errror yang ditentukan) pasti konvergen (meskipun lambat).

Algoritma: 1. Mencari titik tengah interval [xL, xR], sebut xT 2 Algoritma: 1. Mencari titik tengah interval [xL, xR], sebut xT 2. Bila f(xT) sama tanda dengan f(xL) maka xT menggantikan xL. Sebaliknya xT menggantikan xR. 3. Periksa nilai f(xT). Bila |f(x)|, perulangan(iterasi) berhenti, akar pendekatan = xT, bila tidak kembali ke no.1. y=f(x) f(x) xL xR 3 2 1 x

Contoh: Carilah akar dari x2 – 6x + 8 = 0, dengan metode Bisection Contoh: Carilah akar dari x2 – 6x + 8 = 0, dengan metode Bisection. Iterasi dihentikan jika |f(x)|, (=0,01 dan ketelitian 4 desimal).

Metode Regulasi Falsi (Posisi Salah) Mirip metode Bisection, relatif lebih cepat Membutuhkan 2 titik awal (xL dan xR) dengan syarat f(xL) dan f(xR) berlawanan tanda. Membutuhkan kondisi berhenti |f(x)|  ( diberikan), dan pasti konvergen. |

Algoritma: Tetapkan interval (xL, xR) sedemikian sehingga f(x) dan f(xR) berbeda tanda. Cari perpotongan garis yang menghubungkan (xL, f(xL)) dan (xR, f(xR)) dengan sumbu x sebutlah untuk perpotongan itu xT. Formula mencari xT adalah: xT = xR – (f(xR).(xL-xR ))/(f(xL)- f(xR)). Bila f(xT) sama tandanya dengan f(xL), maka xT menggantikan xL. Bila f(xT) sama tandanya dengan f(xR), maka xT menggantikan xR.

3. Periksa nilai f(xT). Bila |f(xT)|  pengulangan dihentikan, akar pendekatan =xT. Bila tidak demikian kembali ke langkah nomor 1. Catatan: Dalam perhitungan, xT akan menggantikan xL terus-menerus, atau xT akan menggantikan xR terus menerusn xL xR 1 2

Contoh Soal: Carilah akar dari x2 – 6x + 8 = 0, dengan metode Resulasi Falsi. Iterasi dihentikan jika |f(x)|, (=0,01 dan ketelitian 4 desimal).