Teorema Markov dan Chebychev TEOREMA MARKOV DAN CHEBYSHEV Variansi dari variabel random mengendalikan penyebaran distribusinya disekitar rataan. Variansi kecil menunjukkan pengamatan mengelompok di dekat rataan. Akibatnya, peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam suatu selang tertentu di sekitar nilai rataan akan lebih besar dari peubah acak serupa yang lebih besar simpangan bakunya Variansi yang tepat mengenai ungkapan diatas, disebut pertaksamaan MARKOV dan pertaksamaan CHEBYSHEV. Pertaksamaan ini, sangat baik sekali manfaatnya; karena tidak memerlukan bantuan distribusi peluang. Yang diperlukan hanya  dan 2 Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev MARKOV INEQUALITY Jika X pa/rv yang hanya mengambil nilai-nilai non negatif, maka untuk a > 0 , a  R BUKTI : Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev MARKOV INEQUALITY JADI : Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev CHEBYSHEV’ S INEQUALITY Jika X pa/rv dengan mean (rataan)  dan variance (variansi/ragam) 2, maka untuk suatu nilai k > 0 ; k  R berlaku : Bukti : Karena (X -  )2 adalah pa/vr yang non negatif maka pertidaksamaan MARKOV dapat dipakai yaitu dengan mengambil nilai a = k2 Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev CHEBYSHEV’ S INEQUALITY INGAT : Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev TEOREMA CHEBYSHEV JADI : Selanjutnya apabila k diganti dengan k, maka : Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

KETIGA BENTUK DIATAS EKUIVALEN Teorema Markov dan Chebychev TEOREMA CHEBYSHEV VR X mempunyai mean : X variansi : Untuk suatu konstanta c dan k berlaku : . atau . atau . KETIGA BENTUK DIATAS EKUIVALEN Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev SOAL - SOAL 1. Dengan menggunakan CHEBYSHEV-INEQ Carilah Lower Bound pada : dimana vr X mempunyai : Mean  = 8 dan Var X= 9 Solusi : 2. Diberikan VRD X dengan pmf : x -1 1 p(x) 1/8 6/8 Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev SOAL - SOAL Dengan menggunakan CHEBYSHEV-INEQ Carilah Upper Bound, untuk k = 2. Selanjutnya hitung melalui probabilitas biasa, bandingkan hasil perhitungan ini dengan CHEBYSHEV-INEQ Solusi : Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

SOAL untuk dikerjakan sendiri Diberikan VR X dengan pdf sebagai berikut : Pertanyaan : Bandingkan perhitungan diatas (Exact Prob) dengan Upper Bound yang diperoleh dengan CHE-INEQ SOLUSI Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

SOAL untuk dikerjakan sendiri Andaikan VR X hanya mengambil harga x = 1 dan x = -1 masing-masing dengan peluang = 0.5. Tentukan Lower Bound pada : Melalui CHE-INEQ Bandingkan dengan EXACT/ACTUAL PROBABILITY Solusi : Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Soal-soal 1. Diberikan pmf dari variabel random X sebagai berikut : Tentukan k sehingga memenuhi sifat dari pmf ! 2. Andaikan W suatu variabel random dengan pmf Pertanyaan : a. Tentukan nilai k b. Tentukan pmf dari X = 2W + 1 x 1 2 3 p(x) k 3k2 w -1 1 P(W=w) = p(w) 3k 6k Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Soal-soal 1. Andaikan X suatu variabl random dengan fungsi distribusi, sebagai berikut : 0 untuk x < 4 0,1 untuk 4 ≤ x < 5 0,4 untuk 5 ≤ x < 6 0,7 untuk 6 ≤ x < 8 0,9 untuk 8 ≤ x < 9 1 untuk x ≥ 9 Pertanyaan : a. Skets grafik F(x) b. Tentukan pmf dari X berikut grafiknya { F(x) = c. Dengan menggunakan fungsi distribusi; tentukan : P ( X ≤ 6,5 ), P( X > 8,1) P ( 5 < X 8 ), P (5 ≤ X < 8) Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Soal-soal 4. VR X berdistribusi Binomial dengan E(X) = 6 dan Var X = 2,4 Tentukan : a. P ( X > 4 ) b. P ( 1 < X < 7 ) 5. PDF dari suatu VR X diketahui sebagai berikut : Jika E (X) = 0,6, tentukan nilai a dan b Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Soal-soal 6. Box berisi 24 Diaode, 6 diantaranya rusak/cacat. Jika X VR yang menyatakan banyaknya Diode yang cacat dalam sampel sebanyak 5. Pertanyaan : a. Tentukan pmf dari X b. Tentukan peluang paling sedikit dua diode yang cacat c. Tentukan mean dan standard deviasinya Contoh : Bagian pengendalian kualitas produksi, ingin mengetahui kualitasnya dengan mengambil sampel sebanyak enam items. Jika diketahui bahwa proporsi peluang items yang cacat adalah 0,20 Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Contoh : Beberapa peluang dari sampel yang diambil tersebut berisi/memuat : a. Tidak ada yang cacat b. Satu item yang cacat c. Dua item yang cacat d. Empat items yang cacat f. Lebih dari tiga items yang cacat x = 0, 1, 2, . . . n  = 1 – p n = 6 Selanjutyna : a. p (0) p = 0,20 b. p (1) c. p (2) Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Contoh : Box berisi 24 diode memuat 6 diode yang cacat. Jika X menyatakan banyaknya diode yang cacat dalam sampel yang berjumlah 5. a. Tentukan pmf dari dari X b. Tentukan paling sedikit dua yang cacat; serta Apabila : (i). WR (ii) WOR Pembahasan : (i) WR  X ~ BIN (n, p) Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev A telephone exchange receives calls at random with an avarage of 2 incoming calls perminute. What is the probability that : a. No calls arrive in a 1 minute interval ? b. More than 2 calls arrive interval c. Less than 3 calls arrive in a 5 minute interval d. More than 8 calls arrive in a 5 minute interval? e. Betweenn 3 and 8 calls inclusive arrive in a 5 minute interval Solution :  = 2 calls/minute Sisanya dibahas dikelas No calls  x = 0 Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Contoh : finite population correction Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev

Teorema Markov dan Chebychev Minggu, 16 April 2017Minggu, 16 April 2017 Teorema Markov dan Chebychev