BAB I MATEMATIKA EKONOMI OLEH MARATUL KHOLISOH, ST, MT Email : mkholisoh@yahoo.com 081314481860

ACUAN LITERATUR Modul Pengantar Matematika Ekonomi , oleh Anis Lutfiati, SP, MM Matematika Ekonomi 1, oleh Drs. Suprian Atmaja Saputra Matematika Ekonomi, oleh Sakti Silaen Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, oleh Dumairy Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis, oleh J Supranto

Alokasi Waktu No Pembahasan Pertemuan 1 Hitung Diferensial 2 Diferensial pada Ilmu Ekonomi 2,3 3 Diferensial Lanjutan 4 UTS 5 (Penerapan pada Ilmu Ekonomi) Integral 6,7 UAS

BOBOT PENILAIAN No Item Bobot 1. Absen 10 % 2. Tugas 20 % 3. UTS 30% 4. UAS 40 % Catatan : Diperbolehkan mempergunakan kalkulator

I. PENDAHULUAN Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial, dapat disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari, seperti titik maksimum, titik minimum dan titik beloknya.

I. PENDAHULUAN – cont’d Berdasarkan manfaatnya, inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan minimum. Konsep tersebut berkaitan dengan limit, derivatif macam-macam fungsi, turunan parsial dan aplikasi turunan.

II. LIMIT Limit adalah suatu batas tertentu, dengan demikian limit dari suatu fungsi f(x), adalah nilai fungsi f(x), untuk x mendekati harga tertentu. Untuk x mendekati h, dinotasikan xh lim f(x) = L Xh

II. LIMIT –cont’d Limit artinya, jika x bertambah secara terus menerus, hingga x mendekati h, maka nilai fungsi f(x) pun akan bertambah pula hingga mendekati L

II. LIMIT –cont’d Langkah-langkah dalam pemecahan limit : Limit fungsi lebih dahulu diuji, jika xh disubstitusikan pada limit fungsi, dan hasilnya memberi bentuk tak tentu, (0/0), maka perlu dijejaki proses lebih lanjut : Faktor yang menyebabkan bentuk tak tentu harus dilenyapkan, Setelah lenyap, barulah disubstitusikan nilai x h ke dalam hasil pada point ke dua.

II. LIMIT –cont’d Contoh : 1. Lim = 1 = 0 X~ x Ini merupakan bentuk-bentuk limit tak tentu. Untuk itu pembilang harus diuraikan dahulu. lim X2 + 8X + 15 = lim ( X + 3) (X+5) = lim ( x + 5 ) = 2 x  -3 (x + 3) x-3 (x +3) x-3

II. LIMIT –cont’d 3. Lim √ (3x + 5 ) = √ ( 3. -3 + 5 ) = √ (-4)  bilangan khayal x-3 Oleh karena itu harga limit fungsi itu tidak ada Lim (x2 + y) = lim x2 + lim y = 16 + y x4 x4 x4 ( y dianggap konstanta)

II. LIMIT –cont’d Limit pada harga yang tak terbatas (infinite) Tanda ~ menunjukkan tidak terbatas x~ artinya x medekati nilai tak terbatas. ~ bukan suatu bilangan dan ~/~ atau ~-~ tidak mempunyai arti, hasilnya tidak tepat nol atau satu.

II. LIMIT –cont’d Contoh : 1. lim 1 = 0 x ~ xn 2. lim (8x – 6) = lim (8x – 6)/x = 8-0 = 4 x~ (2x + 5) x~ (2x+5)/x 2+0 3. lim 4x2 + 3x = lim 4x2 + 3x ∙ 1/x3 x~ 8x3-9x2+4x+1 x~ 8x3-9x2+4x+1 1/x3 lim 4/x + 3/x2 = 0 + 0 = 0 x~ 8 - 9/x+4/x2+1/x3 8-0+0+0

II. LIMIT –cont’d Jadi penyelesaian pintas fungsi pembagian untuk x~ , dilakukan dengan cara membandingkan suku-suku berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut.

III. DIFERENSIASI Pada pendahuluan di muka, telah disinggung tentang manfaat diferensial dalam masalah bisnis dan ekonomi. Diantaranya untuk mengetahui perubahan, dan untuk mengetahui titik maksimum, minimum dan titik belok dalam suatu fungsi.

III. DIFERENSIASI –cont’d III.1. KUOSIEN DIFERENSI DAN DERIVATIVE Jika y = f(x), dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆x (delta x), maka bentuk persamannya menjadi : y = f(x) y+∆y = f(x + ∆X) ∆y = f(x + ∆X) – y ∆y = f(x + ∆X) – f(x) ∆X ∆X

III. DIFERENSIASI –cont’d Untuk menjelaskan perubahan dalam suatu fungsi ada beberapa langkah sbb : Tinjaulah arah kurva y = f(x), antara titik P dan Q seperti pada gambar. Arah kurva diukur dengan kemiringan garis singgungnya.

III. DIFERENSIASI –cont’d Y y = f(x) s Q ∆ө P = ө + ∆ө ө1 ө2 x Kemiringan kurva di P = tan ө1 = dy dx Kemiringan di kurva Q= tan ө2 = dy

III. DIFERENSIASI –cont’d Keduanya dapat dihitung bila persamaan garis singgung diketahui. Jika ingin mengetahui berapa cepat perubahan kelengkungan kurva itu, juga harus diperhatikan, selain perubahan arah dari P ke Q, juga panjang s (busur PQ) Tetapi perubahan itu sangat kecil  mendekati nol

III. DIFERENSIASI –cont’d Jadi Perubahan rata-rata variabel y terhadap x dy = ∆y dx ∆ x Jika titk (x,y) pada Q makin mendekati titik P, maka kemiringan ( curam akan mendekati titik limitnya), yaitu meyinggung kurva di P. lim ∆y X0 ∆ x

III. DIFERENSIASI –cont’d Bentuk ∆y / ∆x = disebut kuosien diferensi (difference quotient), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terkait y terhadap variabel bebas x. Contoh : Tentukan kuosien diferensi dari y = f(x)= 3x2 – x y = 3x2 – x y + ∆y = 3(x+∆x)2 – (x + ∆x)  diuraikan hasilnya : ∆y = 6x(∆x) + 3(∆x)2 - ∆x

III. DIFERENSIASI –cont’d ∆y = 6x(∆X) – 3(∆x)2 - ∆x ∆X ∆X = 6x - 3 ∆x – 1 Proses penurunan suatu fungsi, disebut proses diferensiasi, pada dasarnya merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal penambahan variabel bebasnya sangat kecil, atau mendekati nol. Hasil dari proses ini dinamakan turunan atau derivatif.

III. DIFERENSIASI –cont’d Dari persamaan : y = 3x2 – x diperoleh ∆y = 6x - 3 ∆x – 1 ∆X Lim ∆y = 6x - 3 ∆x – 1 = 6x - 3 (0) – 1 = 6x - 1 ∆x0 ∆X Jadi turunan y = 3x2 – x adalah 6x -1 y’ = 6x – 1

III. DIFERENSIASI –cont’d III. 2. RUMUS – RUMUS DIFERENSIAL Y = f(x) = k  y’ = 0 ( k = kostanta) Y = f(x) = k.x  y’ = k y = f(x) = k.xn  y’ = k.n.x (n-1) Jika f(x) = U dan g(x) = V , merupakan 2 fungsi yang mempunyai turunan, maka : h(x) = U + V  h’(x) = U’ + V’ 5. Y = U . V  Y’ = U’.V + U.V’

III. DIFERENSIASI –cont’d 6. Y = U dimana U dan V adalah fungsi x,  y’ = U’.V – V’.U V V2 7. Y = Un  Y’ = n U n-1 . U’

III. DIFERENSIASI –cont’d III.3. PANGKAT TINGGI Jika suatu fungsi f(x) mempunyai pangkat yang tinggi, maka fungsi f(x) tersebut dapat diturunkan lagi. - turunan kedua : derivatif dari derivatif pertama - turunan ketiga : derivatif dari derivatif kedua - turunan ke n : derivatif dari derivatif (n-1)

III. DIFERENSIASI –cont’d Contoh : y = 2x4 – 5x3 + 3x2 y’ = 8x3 – 15x2 + 6x y’’ = 24x2 – 30x + 6 y’’’ = 48x – 30 y4 = 48 y5 = 0

III. DIFERENSIASI –cont’d III.4. DIFERENSIAL DAN GRAFIK Diferensial dapat digunakan untuk mencari nilai-nilai teoritis suatu fungsi f(x). Disamping itu juga untuk menerangkan grafik fungsi. Ada beberapa aturan dari diferensial yang dapat digunakan pedoman : Jika f(a)’ > 0, maka harga fungsi f(x) bertambah, jika harga x berubah, maka harga fungsi f(x) menaik dari kiri bawah ke kanan atas, dari titik x=a, spt gambar 1.

III. DIFERENSIASI –cont’d Jika f(a)’ < 0, maka harga fungsi f(x) berkurang, jika harga x berubah, maka harga fungsi f(x) menurun dari kiri atas ke kanan bawah, sampai titik x=a, spt gambar 2. Jika f’(a)=0, maka titik (x,y) adalah titik ekstrim (balik/stationer), Jika f’(a) = 0, dan f’’(a) > 0, maka titik (xa, ya) adalah titik ekstrim minimum, spt gb. 3,

III. DIFERENSIASI –cont’d Jika f’(a) = 0, dan f’’(a) < 0, maka titik (xa, ya) adalah titik ekstrim maximum, spt gb. 4, Jika f’’(a) = 0, maka titik (xa,ya) adalah titik belok dari fungsi f(x).

III. DIFERENSIASI –cont’d Y y f’(x)>0 f’(x)<0 Ya ya xa xa Gambar 1 Gambar 2

III. DIFERENSIASI –cont’d y y f’(x) = 0 ya f”(x) > 0 f’(x) = 0 ya f”(x) < 0 xa xa Gambar 3 Gambar 4

III. DIFERENSIASI –cont’d Contoh : Y = f(x) = x2 – 6x + 5 Y’ = 2x – 6 Y” = 2 > 0 Mencari interval grafik naik dan turun a. Grafik naik jika, y’ > 0 atau 2x – 6 >0  x > 3 b. Grafik menurun jika y’ < 0, atau 2x – 6 < 0  x < 3 c. Titik stationer pada (batasan grafik turun atau naik) pada y’= 0, atau 2x – 6 = 0  x = 3 32 – 6.3 + 5 = -4,  titik stationer (3, -4)

III. DIFERENSIASI –cont’d y 5 y = x2 – 6x + 5 3 x -4 A (3, -4) Dengan tracing curve Gambar 5 x 1 2 3 4 5 6 y -3 -4

III. DIFERENSIASI –cont’d d. Karena y” = 2 > 0, maka grafik mempuyai titik minimum, spt pd gambar 5. Pada grafik jelas bahwa jika x > 3, grafik fungsi menaik, dan grafik akan menurun pada x = -... Sampai pada batas x 3.

PR Gambarlah grafik y = 4x – x2 Carilah turunan dari fungsi : Jika U dan V adalah fungsi x, carilah turunan dari fungsi : y = (4x2 + 5x)(x-1)