6.4 Panjang Kurva Bidang

6.4. Panjang Kurva Bidang Bagaimana menghitung panjang kurva bidang? Pandang : a

6.4. Panjang Kurva Bidang Beberapa contoh 1. Grafik y=sin x, 0≤x≤ adalah sebuah kurva bidang 2. Grafik x = y2, -2≤y≤2 adalah sebuah kurva bidang 3. Lingkaran x2 + y2 = a2, dalam kasus dapat dipikirkan sebagai dan Persamaan lingkaran ini dapat ditulis dalam bentuk parametrik x = a cost , y = a sint, 0≤t≤2

6.4. Panjang Kurva Bidang Persamaan y=sin x, 0≤x≤ dan x = y2, -2≤y≤2 dapat ditulis dalam bentuk parametrik sebagai berikut: y = sint x = t 0≤t≤ y = t x = t2 -2≤t≤2 Sebuahn kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parametrik x=f(t), y=g(t), a≤t≤b, dengan fungsi f dan g diandaikan kontinu. t dapat dianggap sebagai waktu yang bertambah dari a ke b, titik (x,y) menyelusuri suatu kurva di bidang.

6.4. Panjang Kurva Bidang Contoh 1. Gambarlah kurva yang ditentukan oleh persamaan parametrik x=2t+1, y = t2, 0≤t≤3. Definisi Suatu kurva bidang disebut mulus, jika kurva itu ditentukan oleh sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), a≤t≤b, dengan f’ dan g’ ada dan kontinu pada [a,b], dan f’(t) dan g’(t) tidak bersama-sama nol pada selang (a,b).

6.4. Panjang Kurva Bidang Panjang Busur Bagaimana menghitung panjang kurva mulus yang diberikan secara parametrik oleh x=f(t), y = g(t), a≤t≤b? Buatlah partisi selang [a,b] menjadi n selang bagian menggunakan titik-titik ti : a=t0<t1 <t2 < …<tn =b Ini memotong kurva menjadi n potongan dengan titik ujung-titik ujung yang berpadanan adalah Q0, Q1, Q2, …, Qn-1, Qn

6.4. Panjang Kurva Bidang y x Gambar 6 Qi wi si yi Qi-1 xi

6.4. Panjang Kurva Bidang Gagasan. Menghampiri kurva itu dengan ruas garis poligon yang ditunjukan, menghitung panjangnya, dan kemudian mengambil limitnya apabila norma partisi mendekati nol. Khususnya, kita mengahmpiri panjang si dari ruas ke-i dengan wi

6.4. Panjang Kurva Bidang Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat titik-titik dalam (ti-1 , ti) sedemikain sheingga Dengan ti = ti - ti-1. Karena Jadi, Dan panjang total dari ruas garis poligon adalah *

6.4. Panjang Kurva Bidang Panjang Busur (arc length) kurva L sebagai limit dari *. Jika kurva ini diberikan oleh y=f(x) dengan a≤x≤b, x sebagai parameter maka Jika kurva ini diberikan oleh x=g(y) dengan c≤y≤d, y sebagai parameter maka

6.4. Panjang Kurva Bidang Contoh 2. Carilah keliling lingkaran x2 + y2 = a2 Contoh 3. Carilah panjang ruas garis dari A(0,1) ke B(5,13) Contoh 4. Gambarlah grafik kurva yang diberikan secara parametris oleh x=2cost, y=4sint, 0≤t≤ Contoh 5. Carilah panjang busur kurva y=x3/2 dari titik (1,1) ke titik (4,8)

6.4. Panjang Kurva Bidang Diferensial Panjang Busur Andaikan f fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu pada [a,b]. Untuk masing-masing x dalam (a,b), definisikan s(x) dengan Maka s(x) merupakan panjang busur kurva y=f(u) dari titik (a,f(a)) ke (x,f(x)). ds, diferensial panjang busur ds, dapat dihitung melalui

6.4. Panjang Kurva Bidang Luas Permukaan Benda Putar Luas kerucut terpancung dengan jari-jari alas r1 dan r2 serta tinggi miring l adalah A yang diberikan oleh : A = 2((r1+r2)/2)l = 2(rata-rata jari-jari).(tinggi miring)

6.4. Panjang Kurva Bidang Luas Permukaan Benda Putar. Andaikan y=f(x), a≤x≤b. Buatlah partisi selang [a,b] menjadi n potong dengan menggunakan titik-titik a=x0<x1<…<xn=b dengan demikian kurva juga terbagi menjadi n potong. Andaikan si menyatakan panjang potongan ke-I dan andaikan yi adalah koordinat y sebuah titik pada potongan ini. Apabila kurva ini diputar mengelilingi sumbu x, akan membentuk suatu permukaan. Luas pita yang terbentuk dapat dihampiri dengan luas kerucut terpancung, yakni 2yi si

6.4. Panjang Kurva Bidang Luas Permukaan Benda Putar adalah