Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd."— Transcript presentasi:

1 MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd

2 Standar kompetensi  Memahami dan dapat membuktikan teorema/rumus dengan cara induksi matematika  Menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan(a+b) n

3 MATHEMATICS INDUCTION  Salah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika.  Banyak digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema-teorema yang berlaku untuk semua bilangan bulat atau lebih khusus untuk setiap bilangan asli.

4 Induksi Matematika • merupakan teknik pembuktian yang sangat penting • dipergunakan secara luas untuk membuktikan pernyataan yang berkaitan dengan obyek diskrit.(kompleksitas algoritma, teorema mengenai graf, identitas dan ketidaksamaan yang melibatkan bilangan bulat, dsb). • tidak dapat digunakan untuk menemukan rumus atau teorema, tetapi hanya untuk melakukan pembuktian.

5 Induksi Matematika Teknik untuk membuktikan proposisi dalam bentuk  n P(n), dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan bulat positif. Suatu bukti dengan menggunakan induksi matematika bahwa “P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif “ terdiri dari tiga langkah: 1.Langkah basis: Tunjukkan bahwa P(1) benar. 2.Langkah induktif: Diasumsikan bahwa P(k) benar, maka dapat ditunjukkan bahwa P(k + 1) benar untuk setiap k. P(k) untuk suatu k tertentu disebut hipotesa induksi. 3.Konklusi:  n maka P(n) bernilai benar.

6 Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah sebagai berikut:  Misalkan p(n) adalah suatu proporsi / pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli.  Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(1) benar.  Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

7  Apabila langkah (1) dan langkah (2) telah dilakukan dengan benar, maka dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.  Langkah (1) sering disebut basis (dasar) untuk induksi,  sedangkan langkah (2) disebut langkah induktif.

8 Contoh 1  Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa …+n= n(n+1) untuk setiap bilangan asli n Bukti : Misalkan p(n) menyatakan …+n= n(n+1)

9 (i) p(1) adalah 1 =. 1. (2) yaitu 1 = 1, (ii) jelas benar (iii) Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu … +k = k(k+1) benar Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(k+1) benar, yaitu : … +k + (k+1) = (k+1) (k+2)

10 Hal ini ditunjukkan sebagai berikut : … +k + (k+1) = (1+2+3+…+k) +(k+1) = k(k+1)+(k+1) = (k+1) ( k+1) = (k+1) (k+2) Jadi … +k + (k+1) = (k+1) (k+2) berarti p(k+1) benar. Sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan asli n

11 Contoh 2 : Tunjukkan bahwa n < 2 n untuk setiap bilangan bulat positif n. Solusi: Misalkan P(n): proposisi “n < 2 n.” 1.Langkah basis: P(1) benar, karena 1 < 2 1 = 2.

12 2.Langkah induktif: Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k bil bulat positif, yaitu k < 2 k. Kita perlu menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu k + 1 < 2 k+1 Kita mulai dari k < 2 k k + 1 < 2 k + 1  2 k + 2 k = 2 k+1 Jadi, jika k < 2 k maka k + 1 < 2 k+1 P(k+1) benar 3. Konklusi: Jadi, n < 2 n benar untuk setiap n bilangan bulat positif. Akhir dari bukti.

13  Basis induksi tidak mesti diambil n=1, tetapi diambil sesuai dengan permasalahan yang dihadapi atau pernyataan yang ingin dibuktikan.

14  Misalkan akan dibuktikan bahwa p(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ t. Maka langkah-langkah pembuktiannnya dengan induksi matematik sebagai berikut.  Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(t) benar  Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k ≥ t, dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

15 Teorema Binomial  Kombinasi r objek yang diambil dari n objek diimbalkan dengan C(n,r) atau dan dirumuskan sebagai:

16 Contoh Misalkan terdapat 5 objek, yaitu a,b,c,d, dan e. apabila dari 5 objek tersebut diambil 3 objek, maka banyaknya cara pengambilan 3 objek tersebut adalah

17 Sifat-sifat Koefisien Binomial

18

19 BUKTI SEBAGAI LATIHAN !!!

20


Download ppt "MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google