Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Integral Oleh: Sudaryatno Sudirham. Cakupan Bahasan Integral Tak-Tentu Luas Sebagai Suatu Integral Integral Tentu Luas Bidang Volume Sebagai Suatu Integral.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Integral Oleh: Sudaryatno Sudirham. Cakupan Bahasan Integral Tak-Tentu Luas Sebagai Suatu Integral Integral Tentu Luas Bidang Volume Sebagai Suatu Integral."— Transcript presentasi:

1 Integral Oleh: Sudaryatno Sudirham

2 Cakupan Bahasan Integral Tak-Tentu Luas Sebagai Suatu Integral Integral Tentu Luas Bidang Volume Sebagai Suatu Integral

3 Integral Tak Tentu

4 Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial. Contoh persamaan diferensial Pengertian-Pengertian

5 Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi Tinjau persamaan diferensial Karena maka fungsi juga merupakan solusi Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

6 Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari dapat dituliskan Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

7 Cari solusi persamaan diferensial ubah ke dalam bentuk diferensial Kita tahu bahwa Contoh-1: oleh karena itu Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

8 Carilah solusi persamaan Contoh-2: kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda Jika kedua ruas diintegrasi Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

9 Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K. 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan 3. Jika bilangan n   1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1). Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

10 Penggunaan Integral Tak Tentu Integral Tak Tentu, Penggunaan Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. kurva adalah kurva bernilai tunggal x y = 10x 2 y K1K1 K2K2 K3K3 y i = 10x 2 +K i y x kurva adalah kurva bernilai banyak

11 Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai Posisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4. Contoh-3: kecepatan percepatan waktu Kecepatan adalah laju perubahan jarak, Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,. sehingga pada t = 4 posisi benda adalah Kondisi awal: pada t = 0, s 0 = 3 Integral Tak Tentu, Penggunaan

12 Luas Sebagai Suatu Integral

13 Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Contoh-4: p x x+  x q y x y = f(x) =2 0 2  A px A px atau Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p atau

14 Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p x x+  x q y x y = f(x) 0  A px f(x)f(x) f(x+x )f(x+x ) A px  A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan  A px = f(x)  x atau  A px = f(x+  x)  x x 0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+  x Jika  x  0: Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral

15 Integral Tentu

16 Integral Tentu, Pengertian Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Bidang dibagi dalam segmen-segmen Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k )  x k Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k +  x)  x k Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

17 Jika  x k  0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k )  x k Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k +  x)  x k Jika x 0k adalah nilai x di antara x k dan x k+1 maka Nilai limit itu merupakan integral tentu Integral Tentu, Pengertian

18 p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Luas bidang menjadi Integral Tentu, Pengertian

19 Luas Bidang

20 A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Definisi Integral Tentu, Luas Bidang Luas antara dan sumbu-x dari x =  3 sampai x = +3. Contoh-5: x

21 Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai A px, formulasi tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x p q y x A4A4 A1A1 A2A2 A3A3 y = f(x) Integral Tentu, Luas Bidang

22 Luas Bidang Di Antara Dua Kurva berada di atas p q y x 0 y1y1 y2y2 x x+xx+x  A px Rentang dibagi dalam n segmen jumlah semua segmen: Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga  x menuju nol kita sampai pada suatu limit Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva

23 Jika dan berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2 dari x 1 = p =  2 sampai x 2 = q = +3. Contoh-6: Jika dan berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2. Contoh-7: Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y 1 dan y y2y2 y1y1 y 2 di atas y 1 y x Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva

24 Jika dan berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2. Contoh-8: Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva y 1 di atas y 2 y 1 y 2 y x Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva

25 Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka yang memberikan Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah Penerapan Integral Integral Tentu, Penerapan Contoh-9:

26 Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? sehingga Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah Contoh-10: Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. Integral Tentu, Penerapan

27 Volume Sebagai Suatu Integral

28 Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok xx Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+  x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan  V adalah Volume balok V adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+  x). Apabila  x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: Jika  x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :

29 Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral y x xx O Q P A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP. m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q. Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong

30 Rotasi Bidang Sembarang Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral y x xx 0 a b f(x)f(x) Rotasi Gabungan Fungsi Linier Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian. y x xx 0 a b f2(x)f2(x) f1(x)f1(x) f3(x)f3(x)

31 Courseware Integral Sudaryatno Sudirham


Download ppt "Integral Oleh: Sudaryatno Sudirham. Cakupan Bahasan Integral Tak-Tentu Luas Sebagai Suatu Integral Integral Tentu Luas Bidang Volume Sebagai Suatu Integral."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google