Integral (2).

Presentasi berjudul: "Integral (2)."— Transcript presentasi:

1 Integral (2)

2 Cakupan Bahasan Integral Tentu Luas Bidang
Volume Sebagai Suatu Integral

3 Integral Tentu

4 Integral Tentu, Pengertian
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. p x xk xk xn q y x y = f(x) Bidang dibagi dalam segmen-segmen Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen p x xk xk xn q y x y = f(x) p x xk xk xn q y x y = f(x) Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk

5 Integral Tentu, Pengertian
p x xk xk xn q y x y = f(x) Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka Jika xk  0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama Nilai limit itu merupakan integral tentu

6 Integral Tentu, Pengertian
p x xk xk xn q y x y = f(x) Luas bidang menjadi

7 Luas Bidang

8 Luas antara dan sumbu-x
Integral Tentu, Luas Bidang Definisi Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Contoh: Luas antara dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = +3. - 20 10 4 3 2 1 x

9 Integral Tentu, Luas Bidang
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x p q y x A4 A1 A2 A3 y = f(x)

10 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva berada di atas p q y x y1 y2 x+x Rentang dibagi dalam n segmen Apx jumlah semua segmen: Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit

11 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
Contoh: Jika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = +3. Jika dan Contoh: berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2. 2 4 -2 -1 1 y2 y1 di atas y x

12 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
Jika dan berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Contoh: Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva -4 -2 2 4 -1 1 y1 di atas y2 y1 y2 y x

13 Integral Tentu, Penerapan
Penerapan Integral Contoh: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka yang memberikan Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

14 Integral Tentu, Penerapan
Contoh: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. sehingga Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

15 Volume Sebagai Suatu Integral

16 luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x).
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah x Volume balok V adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x). Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :

17 Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x y x x O Q P A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP. m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q. Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong

18 Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral
Rotasi Bidang Sembarang y x x 0 a b f(x) Rotasi Gabungan Fungsi Linier y x x 0 a b f2(x) f1(x) f3(x) Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

19 Courseware Integral (2) Sudaryatno Sudirham