Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Goal Programming. Konsep-konsep Dasar dan Unsur-unsur LGP LGP pengembangan dari LP LP fungsi tujuannnya hanya mengandung 1 tujuan. LGP satu atau lebih.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Goal Programming. Konsep-konsep Dasar dan Unsur-unsur LGP LGP pengembangan dari LP LP fungsi tujuannnya hanya mengandung 1 tujuan. LGP satu atau lebih."— Transcript presentasi:

1 Goal Programming

2 Konsep-konsep Dasar dan Unsur-unsur LGP LGP pengembangan dari LP LP fungsi tujuannnya hanya mengandung 1 tujuan. LGP satu atau lebih tujuan digabungkan dalam 1 fungsi tujuan. Tujuan diekspresikan dalam kendala tujuan (goal constrain) dan variabel simpangan (deviation variable) Pada LP tujuannya adalah maksimasi atau minimasi. Sedangkan LGP tujuannya adalah meminimumkan simpangan.

3 a.Terminologi LGP Berikut adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam LGP Decision Variabel : variabel keputusan Right Hand Side Values (RHS/NK); nilai-nilai yang menunjukkan ketersediaan sumberdaya (dilambangkan dengan bi) yang akan ditentukan kelebihan dan kekurtangan penggunaannya. Goal : keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu (Tujuan). Goal Constraint : sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematik dengan memasukkan variabel simpangan.

4 Preemtive priority factor : suatu sistem urutan (yg dilambangkan dg Pk, dimana k= 1,2,…, k dan k menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yg memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model LGP. P1 > P2 >>> Pk P1 merupakan tujuan yg paling penting P2 merupakan tujuan yg kurang penting dan seterusnya. Deviational variables: variabel-variabel yg menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dr suatu nilai RHS kendala tujuan (dalam LGP dilambangkan dengan d i -, dimana I = 1,2,3….,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan d i +. Variabel-variabel ini sama dengan slack variabel dlm LP.

5 Differential weight (bobot): timbangan matematik yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan w ki dimana k = 1,2,3….k; I = 1,2…m) dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan I di dalam suatu tingkat prioritas k. Technological coefficient (koefisien teknologi): nilai-nilai numerik (dilambangkan dengan aij) yg menunjukkan penggunaan nilai bi per unit untuk menciptakan xj.

6 b. Unsur-unsur LGP Model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen : fungsi Tujuan, kendala-kendala tujuan, kendala non negatif. Fungsi Tujuan Ada tiga jenis fungsi tujuan dlm LGP. (I) Minimumkan Z = ∑ d i - + d i - Fungsi tujuan (I) ini digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. m i=1

7 (II) Minimumkan Z = ∑ P k (d i - + d i + ) untuk k = 1,2,3….k Fungsi (II) tujuan kedua diguanakn dalam suatu masalah dimana urutan tujuan-tujuan diperlukan, tetapi variabel simpangan didalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama. (III) Minimumkan Z = ∑ w ki (d i - + d i + ) untuk k = 1,2,3….k Pada fungsi tujuan (III), tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan w ki. m i=1

8 Kendala Tujuan (Goal Constraint) Kendala TujuanVariabel Simpangan dlm fungsi Tujuan Kemungkinan Simpangan Penggunaan Nilai RHS yg dihilangkan a ij x j + d i - = bidi-di- negatif= bi a ij x j – d i + = bidi+di+ positif= bi a ij x j + d i - - d i + =bidi-di- neg dan posbi atau lebih a ij x j + d i - - d i + =bidi-di- neg dan posbi atau kurang a ij x j + d i - - d i + =bid i - dan d i + neg dan pos= bi a ij x j - d i + =bid i + (artf)tidak adapas = bi Jenis-jenis Kendala Tujuan

9 Kendala Non Negatif Seperti dalam LP, variabel-variabel model LGP bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan dengan : x j, d i -, d i + ≥ 0 Kendala Struktural Diluar 3 komponen yang telah disebutkan. Kendala yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan. Krn itu variabel simpangan tidak termasuk pada kendala ini, sehingga kendala ini juga tidak dimasukkan ke dalam fungsi tujuan.

10 Asumsi Model LGP  Additivitas dan Linieritas;  Divisibilitas;  Terbatas;  Kepastian dan periode waktu statis;

11 Perumusan Masalah LGP a) Prosedur Perumusan - Tentukan variabel keputusan - Nyatakan sistem kendala - Tentukan prioritas utama - Menentukan bobot - Nyatakan fungsi tujuan - Nyatakan kendala non negatif

12 b). Model Tujuan Tunggal Sebuah perusahaan menghasilkan dua produk, yaitu produk 1 dan produk 2. Masing-masing produk memerlukan waktu untuk ditangani dalam dua bagian, yaitu bagian 1 dan bagian 2. Produk 1 membutuhkan 20 jam dibagian 1 dan 10 jam di bagian 2. Produk 2 membutuhkan 10 jam di bagian dan 10 jam di bagian. Bagian 1 memiliki keterbatasan waktu sampai 60 jam dan bagian 2 sampai 40 jam. Sumbangan keuntungan produk 1 sebesar 40 dan produk 2 sebanyak 80. Tujuan pemilik adalah memaksimumkan keuntungan. Solusi optimum masalah tersebut melalui metode simpleks adalah X1 = 0, X2 = 4 dan Z = 320.

13  Perumusan LGP masalah itu (karena tujuannya maksimasi keuntungan, kita tetapkan secara sembarang target keuntungan, misalnya 1000) : Minimumkan Z = d - dengan syarat 20x1 + 10X2 ≤ 60 10x1 + 10X2 ≤ 40 40X1 + 80X2 + d i - - d i + = 1000 x1, x2, d i -, d i + ≥ 0 dimana x menunjukkan variabel keputusan dan d merupakan variabel simpangan.

14 Model Banyak Tujuan  Tujuan Banyak Tanpa Prioritas (Prioritas Sama) Contoh soal sebelumnya (ttg dua produk). Misalnya tujuan tunggal tersebut dimodifikasi sedemikian rupa sehingga disamping tujuan keuntungan, paling sedikit dua unit dari setiap jenis produk diproduksi. Dalam keadaaan ini, pemilik menganggap bahwa penyimpangan satu rupiah dari target keuntungan sama pentingnya dengan penyimpangan satu unit dari target produksi. Perumusan LGP untuk masalah tsb adalah: Minimumkan Z = d d d x1 + 10X2 ≤ 60 10x1 + 10X2 ≤ 40 40X1 + 80X2 + d d 1 + = 1000 X1 + d d 2 + = 2 X2 + d d 3 + = 2 x1, x2, d 1 -, d 1 +, d 2 -, d 2 + d 3 -, d 3 + ≥ 0

15 Tujuan Banyak dengan Prioritas  Masih terkait dengan contoh sebelumnya, jika pemilik mempertimbangkan banyak tujuan, biasanya memiliki skala prioritas untuk tujuan-tujuan itu. LGP memberikan urutan preferensi tujuan melalui penggunaan keofisien prioritas (P).  Tujuan (variavel simpangan) yg memiliki prioritas pertama diberi nilai fungsi P1, prioritas kedua P2, dan seterusnya. Pada umumnya bukan berbentuk suatu nilai angka tetapi hanya menunjukkan tingkat prioritas.  Anggaplah pemilik menetapkan prioritas seperti berikut: P1 (prioritas 1) : capai tujuan produksi dua unit untuk setiap jenis produk P2 (prioritas2) : maksimumkan keuntungan

16 Minimumkan Z = P 1 d P 1 d P 2 d x1 + 10X2 ≤ 60 10x1 + 10X2 ≤ 40 40X1 + 80X2 + d d 1 + = 1000 X1 + d d 2 + = 2 X2 + d d 3 + = 2 x1, x2, d 1 -, d 1 +, d 2 -, d 2 + d 3 -, d 3 + ≥ 0

17 Tujuan Banyak dengan Prioritas dan Bobot  Kadang-kadang kita dihadapkan pada beberapa tujuan dengan urutan yang sama adalah lebih penting dibandingkan tujuan-tujuan lain. Jika demikian, perlu digunakan bobot yang berlainan untuk mencerminkan beda kepentingan dalam tingkat prioritas yang sama  Misal, keuntungan dan waktu lembur dari persoalan yang tadi memiliki urutan prioritas sama. Jika tidak ada bobot, pemilik menganggap bahwa penyimpangan keuntungan satu rupiah sama pentingnya dengan satu jam waktu lembur. Jika sebetulnya tidak demikian, kemudian dapat diberikan bobot yang mencerminkan hubungan yang lebih tepat.  Jika pemilik menetapkan bahwa 6 jam lembur setara dengan keuntungan 1 rupiah, maka akan digunakan bobot 6 banding 1.

18  Misal sedikit diubah tujuan pada masalah tadi. Tujuan menghasilkan 2 unit per jenis produk kita rubah, kita menetapkan tujuan untuk memproduksi produk 1 minimal 4 unit dan produk 2 minimal 6 unit. Karena produk 2 menyumbang dua kali profit produk 1, kita seharusnya menghasilkan produk 2 sebelum mulai memproduksi produk 1. Waktu lembur diperlukan dalam menghasilkan sejumlah produk-produk yang telah ditetapkan. Kita asumsikan tersedia 50 jam lembur. Misalkan kita menetapkan prioritas untuk mencapai tujuan:

19 P1 : membatasi jumlah jam lembur sampai dengan 50 jam dalam dua kegiatan produksi P2: memenuhi tujuan jumlah produksi yg ditetapkan untuk tiap produk. Dan berikan bobot 2 untuk produk 1 dan 1 untuk produk 2 karena kentribusi keuntungan Xi = 40 dan X2 = 80 P3 : maksimumkan keuntungan Minimumkan Z = P 1 d P 2 d P 2 d P 3 d x1 + 10X2 + d d 4 + = 60 10x1 + 10X2 + d d 5 + = 40 40X1 + 80X2 + d d 1 + = 1000 X1 + d d 2 + = 4 X2 + d d 3 + = 6 d d d d 6 + = 50 x1, x2, d 1 -, d 1 +, d 2 -, d 2 + d 3 -, d 3 + ≥ 0 Variabel simpangan d 4 + dan d 5 + menunjukkan waktu lembur yang diperlukan pada kegiatan 1 dan 2. Variabel d 6 + dimasukkan dalam kendala tujuan untuk mencerminkan kemungkinan melebihi 50 jam lembur.

20 Formulasi Goal Programming Step 1: Tetapkan tingkat prioritas tiap goal. Step 2: Tetapkan bobot tiap goal. Jika suatu tingkat prioritas mempunyai lebih dari satu goal, untuk tiap goal i ditetapkan bobot, w i, diletakkan pada deviasi, d i + dan/atau d i -, dari goal.

21 Formulasi Goal Programming Step 3: Bentuk programa linier awal. Min w 1 d w 2 d 2 - s.t. Batasan Fungsional, dan s.t. Batasan Fungsional, dan and Batasan Goal and Batasan Goal Step 4: Selesaikan programa linier saat ini. Jika ada suatu tingkat prioritas terendah ke step Jika ada suatu tingkat prioritas terendah ke step 5, Kalau tidak solusi akhir telah dicapai. 5, Kalau tidak solusi akhir telah dicapai.

22 Formulasi Goal Programming Step 5: Bentuk Programa Linier Baru Step 5: Bentuk Programa Linier Baru Pertimbangkan tingkat prioritas goal terendah berikutnya dan formulasikan fungsi obyektif yang didasarkan pada goal tersebut. Tambahkan pembatas yang diperlukan untuk mencapai tingkat prioritas tertinggi berikutnya. Programa Linier yang baru adalah : Min w 3 d w 4 d 4 - s.t. Batasan-batasan fungsional, Batasan-batasan Goal, dan w 1 d w 2 d 2 - = k ke step 4. (Ulangi steps 4 dan 5 sampai semua tingkat prioritas telah diuji.)

23 Contoh: Conceptual Products Conceptual Products is a computer company that produces the CP400 and CP500 computers. The computers use different mother boards produced in abundant supply by the company, but use the same cases and disk drives. The CP400 models use two floppy disk drives and no zip disk drives whereas the CP500 models use one floppy disk drive and one zip disk drive.

24 Contoh: Conceptual Products The disk drives and cases are bought from vendors. There are 1000 floppy disk drives, 500 zip disk drives, and 600 cases available to Conceptual Products on a weekly basis. It takes one hour to manufacture a CP400 and its profit is $200 and it takes one and one-half hours to manufacture a CP500 and its profit is $500.

25 Contoh: Conceptual Products Ada Empat Goal dari Perusahaan : Priority 1: Memenuhi kontrak min 200 mesin CP400 tiap minggu. (Goal 1) Priority 2: Membuat paling sedikit total 500, CP400 dan CP500 tiap minggu. (Goal 2) Priority 3: Mendapatkan keuntungan paling sedikit $2500 per-minggu. (Goal 3) Priority 4: Menggunakan tidak lebih 400 man- hours per-minggu. (Goal 4)

26  Variables x 1 = Jumlah CP400 computers dihasilkan per minggu x 2 = Jumlah CP500 computers dihasilkan per minggu d i - = besaran sisi kanan goal i yang deficient d i + = besaran sisi kanan goal i yang exceeded  Functional Constraints Ketersediaan floppy disk drives: 2x 1 + x 2 < 1000 Ketersediaan zip disk drives: x 2 < 500 Ketersediaan cases: x 1 + x 2 < 600 Goal Programming: Formulasi

27  Constrain Goals (1) 200 CP400 computers per minggu: x 1 + d d 1 + = 200 (2) 500 total computers per-minggu: x 1 + x 2 + d d 2 + = 500 (3) $250(ribu),keuntungan : 2x 1 + 5x 2 + d d 3 + = 2500 (4) 400 total man-hours per-minggu: x x 2 + d d 4 + = 400 Non-negativity: x 1, x 2, d i -, d i + > 0 for all i Goal Programming: Formulation

28  Objective Functions Priority 1: Minimal besaran kontrak : Min d 1 - Priority 2: Minimasi jumlah komputer dibawah 500 : Min d 2 - Priority 3: Minimal revenue $2500 yang diperoleh per-minggu: Min d 3 - Priority 4: Maximal man-hours 400 yang digunakan per-minggu: Min d 4 + Goal Programming: Formulation

29  Formulation Summary Min P 1 (d 1 - ) + P 2 (d 2 - ) + P 3 (d 3 - ) + P 4 (d 4 + ) s.t. 2x 1 +x 2 < x 2 < 500 x 1 +x 2 < 600 x 1 +d 1 - -d 1 + = 200 x 1 +x 2 +d 2 - -d 2 + = 500.2x 1 +.5x 2 +d 3 - -d 3 + = 2500 x x 2 +d 4 - -d 4 + = 400 x 1, x 2, d 1 -, d 1 +, d 2 -, d 2 +, d 3 -, d 3 +, d 4 -, d 4 + > 0 Goal Programming: Formulation

30  Iteration 1 Menyelesaikan secara grafis, grafik I dari batasan fungsional. Grafik goal I : x 1 = 200. Catatan pada slide berikut bahwa ada satu set yang melebihi x 1 = 200 (dimana d 1 - = 0). Goal Programming : Solusi Grafik

31  Batasan Fungsional dan grafik Goal I 2 x 1 + x 2 < 1000 Goal 1: x 1 > 200 x 1 + x 2 < 600 x 2 < 500 Points Satisfying Goal 1 x1x1x1x1 x2x2x2x2 Goal Programming: Graphical Solution

32  Iteration 2 Tambahkan Goal 1 sebagai x 1 > 200 dan grafik Goal 2:x 1 + x 2 = 500. Catatan pada slide berikut bahwa masih ada suatu set of points memenuhi goal I yang juga memenuhi goal II (dimana d 2 - = 0). Goal Programming : Solusi Grafik

33  Goal 1 (Constraint) and Goal 2 Graphed 2 x 1 + x 2 < 1000 Goal 1: x 1 > 200 x 1 + x 2 < 600 x 2 < 500 Points Satisfying Both Goals 1 and 2 x1x1x1x1 x2x2x2x2 Goal 2: x 1 + x 2 > 500 Goal Programming : Solusi Grafik

34  Iteration 3 Tambahkan Goal 2 sebagai x 1 + x 2 > 500 dan Goal 3:.2x 1 +.5x 2 = 2500 Pada slide berikut tidak ada points memenuhi batasan fungsional sebelumnya dan goals memenuhi batasan ini. Maka, untuk Min d 3 -, nilai minimum adalah dicapai ketika Max.2x 1 +.5x 2. Catatan ini terjadi pada x 1 = 200 dan x 2 = 400, maka.2x 1 +.5x 2 = 2400 atau d 3 - = 100. Goal Programming : Solusi Grafik

35  Goal 2 (Constraint) and Goal 3 Graphed x 1 + x 2 < 1000 Goal 1: x 1 > 200 x 1 + x 2 < 600 x 2 < 500 Points Satisfying Both Goals 1 and 2 Goals 1 and 2 x1x1x1x1 x2x2x2x2 Goal 2: x 1 + x 2 > 500 Goal 3: 2 x x 2 = 2500 (200,400) Goal Programming : Solusi Grafik

36 Kasus Bawika 1.Kapasitas yg tersedia pada fasilitas dimanfaatkan pemrosesan secara optimum 2.Kapasitas yg tersedia pada fasilitas dimanfaatkan pengalengan secara optimum 3.Produksi X1 paling sedikit 10 4.Produksi X2 paling sedikit 6 unit Maka model GLP kasus ini menjadi: d 1 - -d 1 + Min P1 (d d 1 - ) + P2 (d d 2 - ) + P3 ( d 3 - ) + P4 ( d 4 - ) Kendala I 5 X1 + 6 X2 + d 1 - -d 1 + = 60 II X1 + 2 X2 + d 2 - -d 2 + = 16 III X1 + d 3 - = 10 IV X2 + d 4 - = 6 Dan X1, X2, d 1 +,d 1 - d 2 + d 2 - d 3 - d 4 - > 0 Goal Programming : Algoritma Simpleks

37 Cj CiVBX1X2d1+d1+ d1-d1- d2+d2+ d2-d2- d3-d3- d4-d4- bi d1-d2-d3-d4-d1-d2-d3-d Zj Cj-Zj Tabel awal simpleks kasus bawika tanpa prioritas

38 Cj PkCiVBX1X2d1+d1+ d1-d1- d2+d2+ d2-d2- d3-d3- d4-d4- bi P1 P2 P3 P d1-d2-d3-d4-d1-d2-d3-d ZjP1 P2 P3 P Cj-ZjP1 P2 P3 P Simpleks awal goal programming dengan prioritas

39 Cj PkCiVBX1X2d1+d1+ d1-d1- d2+d2+ d1-d1- d3-d3- d4-d4- bi P1 P2 P d 1 - d 2 - d 3 - X ZjP1 P2 P Cj-ZjP1 P2 P

40 Cj PkCiVBX1X2d1+d1+ d1-d1- d2+d2+ d1-d1- d3-d3- d4-d4- bi P1 P2 P d 1 - X 1 d 3 - X ZjP1 P Cj-ZjP1 P Iterasi kedua Lakukan iterasi berikutnya

41 Cj PkCiVBX1X2d1+d1+ d1-d1- d2+d2+ d2-d2- d3-d3- d4-d4- bi P4 P d 2 + X 1 d 3 - X /4 -1/2 1/2 1/4 1/2 -1/2 -1/4 -5/4 3/2 -3/2 -5/ ZjP4 P /4 1/2 1/4 -1/2 -5/4 -3/ Cj-ZjP4 P /4 1/2 3/4 3/2 9 /4 5/ H asil akhir ( H asil iterasi keempat)


Download ppt "Goal Programming. Konsep-konsep Dasar dan Unsur-unsur LGP LGP pengembangan dari LP LP fungsi tujuannnya hanya mengandung 1 tujuan. LGP satu atau lebih."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google