Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

6s-1LP Metode Simpleks METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "6s-1LP Metode Simpleks METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR."— Transcript presentasi:

1 6s-1LP Metode Simpleks METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR

2 6s-2LP Metode Simpleks METODE SIMPLEKS  Metode Simpleks adalah suatu metode yg secara matematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yg feasibel (basic feasible solution) ke pemecahan dasar feasibel lainnya dan dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh suatu pemecahan dasar yang optimal.

3 6s-3LP Metode Simpleks Metode ini digunakan karena metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua.

4 6s-4LP Metode Simpleks Bentuk Standar Fungsi Objektif Maksimalkan: Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + … + C n X n Bentuk Standar Fungsi Batasan: a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + … + a 1n X n  b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + … + a 2n X n  b a m1 X 1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + … + a mn X n  b m  X 1  0 /ZA4

5 6s-5LP Metode Simpleks Bentuk Matematis  Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X 2  Batasan (constrain) (1) 2X 1  8 (2) 3X 2  15 (3) 6X 1 + 5X 2  30

6 6s-6LP Metode Simpleks  m = macam batasan-batasan fasilitas yang tersedia  n = macam kegiatan yang menggunakan fasilitas  i = nomor fasilitas yang tersedia ( i=1,2,3,…,n )  j = nomor kegiatan yang menggunakan fasilitas tersedia ( j=1,2,3,…,m )  X i = tingkat kegiatan i, (i=1,2,3,…,n)  a ij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit kegiatan j,  ( i=1,2,3,…,n ) ( j=1,2,3,…,m )  b i = banyaknya fasilitas i yang tersedia untuk dialokasikan  ke setiap unit kegiatan i, ( i=1,2,3,…,n )  Z = nilai yang dioptimalkan (maksimumkan)  Cj = kenaikan nilai Z bila ada pertambahan satu satuan kegiatan (x j ) 6

7 6s-7LP Metode Simpleks Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif). Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

8 6s-8LP Metode Simpleks Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas. Kolom kunci (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris kunci(baris kerja).

9 6s-9LP Metode Simpleks Baris kunci (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. Elemen kunci (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris kunci. Elemen kunci akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

10 6s-10LP Metode Simpleks  Model Umum Metode Simpleks. 1. Kasus Maksimisasi. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X –C n X n -0S 1 -0S S n = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11 +a 12 X a 1n X n + S 1 +0S S n = b 1 a 21 X 21 +a 22 X a 2n X n + 0S 1 +1S S n = b 2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … a m1 X m1 +a m2 X m a mn X n + S 1 +0S S n = b m Var. Kegiatan Slack Var

11 6s-11LP Metode Simpleks Tabel Simpleks : Var. Dasar X1X1 X2X2.. XnXn S1S1 S2S2 SnSn NK Z-C 1 -C 2.. -C n S1S1 a 11 a 12...a 1n 1000b1b1 S2S2 a 21 a 22...a 2n 0100b2b2... SnSn a m1 a m2...a mn 0001bmbm

12 6s-12LP Metode Simpleks 2. Kasus Minimisasi Fungsi Tujuan : Minimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X –C n X n -0S 1 -0S S n = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11 +a 12 X a 1n X n - S 1 -0S S n = b 1 a 21 X 21 +a 22 X a 2n X n - 0S 1 -1S S n = b 2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … a m1 X m1 +a m2 X m a mn X n - S 1 - 0S S n = b m var.kegiatan Surplus var.

13 6s-13LP Metode Simpleks Tabel Simpleks : Var. Dasar X1X1 X2X2.. XnXn S1S1 S2S2 SnSn NK Z-C 1 -C 2.. -C n S1S1 a 11 a 12...a 1n 000b1b1 S2S2 a 21 a 22...a 2n 000b2b2... SnSn a m1 a m2...a mn 000bmbm

14 6s-14LP Metode Simpleks LINEAR PROGRAMMING METODE SIMPLEKS  Langkah-langkah metode simpleks Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan  Fungsi tujuan Z = 3X 1 + 5X 2 diubah menjadi Z - 3X 1 - 5X 2 = 0.  Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variabel) (1) 2X 1  8 menjadi 2X 1 + X 3 = 8 (2) 3X 2  15 menjadi 3X 2 + X 4 = 15 (3) 6X 1 + 5X 2  30 menjadi 6X 1 + 5X 2 + X 5 = 30 Slack variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan

15 6s-15LP Metode Simpleks LINEAR PROGRAMMING METODE SIMPLEKS  Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3X 1 - 5X 2 = 0  Fungsi batasan (1) 2X 1 + X 3 = 8 (2) 3X 2 + X 4 = 15 (3) 6X 1 + 5X 2 + X 5 = 30

16 6s-16LP Metode Simpleks Langkah 2: Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel Beberapa Istilah dlm Metode Simplek  NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan 3 sebesar 30.  Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada persamaan 2X 1 + X 3 = 8, kalau belum ada kegiatan apa-apa, berarti nilai X 1 = 0, dan semua kapasitas masih menganggur, maka pengangguran ada 8 satuan, atau nilai X 3 = 8. Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X 3, X 4, X 5 ) pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif

17 6s-17LP Metode Simpleks 1. Tabel simpleks yang pertama Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 NK Z X3X X4X X5X Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2 = 0. (1) 2X1  8 menjadi 2X1 + X3 = 8 (2) 3X2  15 menjadi 3X2 + X4 = 15 (3) 6X1 + 5X2  30 menjadi 6X1 + 5X2 + X5= 30

18 6s-18LP Metode Simpleks Langkah 3: Memilih kolom kunci  Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini kolom X 2 dengan nilai pada baris persamaan tujuan –5. Berilah tanda segi empat pada kolom X 2, seperti tabel berikut

19 6s-19LP Metode Simpleks Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 NK Keterangan (Indeks) Z X3X X4X X5X Tabel simpleks: pemilihan kolom kunci pada tabel pertama Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan, berarti tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).

20 6s-20LP Metode Simpleks Langkah 4: Memilih baris kunci  Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.  Indeks = (Nilai Kolom NK) / (Nilai kolom kunci) Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 8/0 = , baris batasan 2 = 15/3 = 5, dan baris batasan 3 = 30/5 = 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, seperti tabel 3. bagian bawah (0/3 = 0; 3/3 = 1; 0/3 = 0; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0; 15/3 = 5). Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat di bagian atas kolom kunci (X2).

21 6s-21LP Metode Simpleks 3 Tabel simpleks: Cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 NK Keteranga n (Indeks) Z X3X X4X X5X Z X3X3 X2X2 X5X5 0/3 3/30/31/30/3 15/3 8/0 = ∞ 15/3 = 5 30/5 = /315/3

22 6s-22LP Metode Simpleks Langkah6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci [ ,0 ] (-5)[ 0101/30,5 ]( - ) Nilai baru=[-3005/30,25] Baris pertama (Z) Baris ke-2 (batasan 1) [20100,8 ] (0)[ 0101/30,5 ]( - ) Nilai baru=[20100,8]

23 6s-23LP Metode Simpleks Baris ke-4 (batasan 3) [ 65001,30 ] (5)[ 0101/30,5 ]( - ) Nilai baru=[ 600-5/31,5 ] Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 NK Z X3X X4X X5X Z1-3005/3025 X3X X2X /305 X5X /315 Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru

24 6s-24LP Metode Simpleks Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 NK Keterangan (Indeks) Z1-3005/3025 X3X X4X /305 X5X /315 Z1 X3X3 0 X2X2 0 X1X1 06/600-5/181/65/6 Langkah 7: Melanjutkan perbaikan Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif 6/60/6 (-5/3)/6 1/6 5/6 = 8/2 = 4 = 5/6 (minimum)

25 6s-25LP Metode Simpleks Nilai baru Baris ke-1 [-3005/30,25 ] (-3)[ 100-5/181/6,5/6]( - ) Nilai baru=[ 0005/6½,27 1 / 2 ] [ 20100,8 ] (2)[ 100-5/181/6,5/6]( - ) Nilai baru=0015/9-1/3,61/3]61/3] Baris ke-2 (batasan 1) Baris ke-3 tidak berubah karena nilai pada kolom kunci = 0 [ 0101/30,5 ] (0)[ 100-5/181/6,5/6]( - ) Nilai baru=0101/30,5]

26 6s-26LP Metode Simpleks Tabel simpleks final hasil perubahan Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 NK Z10005/6½27 1 / 2 X3X /9-1/361/361/3 X2X /305 X1X /181/65/6 Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal Dari tabel final didapat X 1 = 5/6 X 2 = 5 Z maksimum = 27 1 / 2


Download ppt "6s-1LP Metode Simpleks METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google