Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR."— Transcript presentasi:

1 METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR

2 Metode Simpleks Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier, baik yang melibatkan dua variabel keputusan maupun lebih dari dua variabel keputusan.

3 Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain. Metode penyelesaian dari metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang-ulang sebelum solusi optimal diperoleh

4 Penyelesaian Dengan Metode Simpleks Syarat : Model program linier (  Canonical form) harus dirubah dulu kedalam suatu bentuk umum yang dinamakan ”bentuk baku” (standard form).

5 Ciri-ciri dari bentuk baku model program linier Semua fungsi kendala/pembatas berupa persamaan dengan sisi kanan non- negatif. Semua variabel keputusan non-negatif. Fungsi tujuan dapat memaksimumkan maupun meminimumkan

6 Indrawani Sinoem/TRO/SI-5 Bentuk standar Metode Simpleks. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = C 1 X 1 +C 2 X C n X n Fungsi Pembatas : a 11 X 11 + a 12 X a 1n X n  b 1 a 21 X 21 + a 22 X a 2n X n  b 2 ……. …….. ……. ….. ….. a m1 X m1 + a m2 X m a mn X n  b m

7 Perlu diperhatikan : Bahwa metode simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga kalau tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dulu menjadi bentuk standar.

8 Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk standar, beberapa hal yang perlu diperhatikan : Fungsi Pembatas Suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda < diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variable. Banyaknya slack variabel bergantung pada fungsi pembatas.

9 Fungsi Tujuan Dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini. Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

10 Indrawani Sinoem/TRO/SI-5 Bentuk standar Metode Simpleks. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X –C n X n -0S 1 -0S S n = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11 +a 12 X a 1n X n + S 1 +0S S n = b 1 a 21 X 21 +a 22 X a 2n X n + 0S 1 +1S S n = b 2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … a m1 X m1 +a m2 X m a mn X n + S 1 +0S S n = b m Var. Kegiatan Slack Var

11 Setelah fungsi batasan dirubah ke dalam bentuk persamaan (bentuk standar), maka untuk menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks menggunakan suatu kerangka tabel yang disebut dengan tabel simpleks. Tabel ini mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan penghitungan matematis menjadi lebih mudah

12 Indrawani Sinoem/TRO/SI-5 Tabel Simpleks : Var. Dasar ZX1X1 X2X2.. XnXn S1S1 S2S2 SnSn NK Z1-C 1 -C 2.. -C n S1S1 0a 11 a 12...a 1n 1000b1b1 S2S2 0a 21 a 22...a 2n 0100b2b2... SnSn 0a m1 a m2...a mn 0001bmbm

13 Langkah-Langkah Metode Simpleks 1. Rumuskan persoalan PL ke dalam model umum PL (fungsi tujuan dan fungsi pembatas). 2. Merubah model umum PL menjadi model simpleks : a. Fungsi Pembatas : tambahkan slack variabel dan/atau surplus variabel, dan/atau variabel buatan (artifisial var).

14 b. Fungsi tujuan : - Rubahlah bentuk fungsi tujuan eks- plisit menjadi persamaan bentuk implisit - Tambahkan/kurangi dengan slack var, surplus var dan/atau variabel buatan yg bernilai nol. 3. Formulasikan ke dalam Tabel Simpleks. 4. Lakukan langkah-langkah penyelesaian.

15 Contoh 1 : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z=8X 1 + 6X 2 (Dlm Rp1000) 2. Fungsi Pembatas : Bahan A : 4X 1 + 2X 2 ≤ 60 Bahan B : 2X 1 + 4X 2 ≤ 48 X 1, X 2 ≥ 0

16 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 8X 1 –6 X 2 –0S 1 - 0S 2 = 0 2. Fungsi Pembatas : 4X 1 +2X 2 + S 1 + 0S 2 = 60 2X 1 +4X 2 +0S 1 + 1S 2 = 48 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

17 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK

18 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S1 S2S2

19 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S1 S2S2

20 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S2

21 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

22 Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

23 Kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

24 b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S S2S

25 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z X1X1 1½¼015 S2S2

26 Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci [ ] (-8)[ 11/21/4015 ]( - ) Nilai baru=[ ] Baris pertama (Z) Baris ke-3 (batasan 2) [ ] (2)[ 11/21/4015 ]( - ) Nilai baru=[03-1/2118 ]

27 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z X1X1 1½¼015 S2S2 03- ½118

28 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z X1X1 1½¼01530 S2S2 03- ½1186

29 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z X1X1 X2X /61/36-

30 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z005/32/3132- X1X1 101/3- 1/612- X2X /61/36-

31 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses peru- bahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb : X 1 = 12 dan X 2 = 6 dengan Z makasimum = Rp

32 Contoh 2 : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z=15X X 2 (Dlm Rp10.000) 2. Fungsi Pembatas : Bahan A : X 1 + X 2 ≤ 600 Bahan B : 2X 1 + X 2 ≤ 1000 X 1, X 2 ≥ 0

33 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 5X 1 –10 X 2 –0S 1 - 0S 2 = 0 2. Fungsi Pembatas : X 1 +X 2 + S 1 + 0S 2 = 600 2X 1 +X 2 +0S 1 + 1S 2 = 1000 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

34 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK

35 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S1 S2S2

36 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S1 S2S2

37 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S2

38 Tabel Simpleks : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

39 Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

40 Kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

41 b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S S2S

42 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S1 X1X1 1½0½500

43 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S1 0½1- ½100 X1X1 1½0½500

44 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z0-2½07½7500 S1S1 0½1- ½100 X1X1 1½0½500

45 3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif. Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z0-2½07½7500- S1S1 0½1- ½ X1X1 1½0½

46 - Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z X2X X1X1

47 - Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z X2X X1X

48 - Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z X2X X1X

49 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses peru- bahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb : X 1 = 400 dan X 2 = 200 dengan Z makasimum = Rp

50 Contoh-3 : Model Program Linear Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3X 1 +2X 2 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 ≤ 15 2X 1 + X 2 ≤ 28 X 1 + 2X 2 ≤ 20 X 1, X 2 ≥ 0

51 Model Simpleks Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– X 1 –2X 1 –0S 1 –0S 2 –0S 3 = 0 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 + S 1 = 15 2X 1 + X 2 + S 2 = 28 X 1 + 2X 2 + S 3 = 20 X 1, X 2 ≥ 0

52 Tabel Simpleks Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK

53 Tabel Simpleks Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK Z S1S1 S2S2 S3S3

54 Tabel Simpleks Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK Z S1S1 S2S2 S3S3

55 Tabel Simpleks Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK Z S1S S2S2 S3S3

56 Tabel Simpleks Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK Z S1S S2S S3S3

57 Tabel Simpleks Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK Z S1S S2S S3S

58 (a). Iterasi Awal (Iterasi-0) : Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z S1S S2S S3S

59 (a). Iterasi Awal (Iterasi-0) : Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z S1S S2S S3S

60 (b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z S1S1 X1X1 1½0½014- S3S3

61 (b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z S1S1 X1X1 1½0½014- S3S3 03/20-½16-

62 (b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z S1S1 0½1-½01- X1X1 1½0½014- S3S3 03/20-½16-

63 (b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z0-½03/2042- S1S1 0½1-½01- X1X1 1½0½014- S3S3 03/20-½16-

64 (c). Iterasi-2 Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z0-½03/2042- S1S1 0½1-½012 X1X1 1½0½01428 S3S3 03/20-½164

65 Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z X2X X1X1 S3S3

66 Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z X2X X1X1 1½0½014- S3S3

67 Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z X2X X1X1 1½0½014- S3S

68 Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z X2X X1X1 1½0½014- S3S

69 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses peru- bahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan rincian sbb : X 1 =13; X 2 =2, Z maksimum = 43

70 Latihan : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 60X1+30X2+20X3 Pembatas : 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 4X1 + 2X X3 ≤ 20 2X X X3 ≤ 8 X2 ≤ 5 X1,X2,x3 ≥ 0

71 2. Fungsi Tujuan : Maksimum z = 8 x x 2 + 4x 3 Pembatas : x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 2 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ≤ 3 7x 1 + 6x 2 + 2x 3 ≤ 8 x 1,x 2,x 3 ≥ 0

72 3. Fungsi Tujuan : Memaksimumkan z = 8 x x 2 + 3x 3 Pembatas : x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 4 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ≤ 7 3x 1 + 6x 2 + 2x 3 ≤ 8 x 1,x 2,x 3 ≥ 0

73 Penyimpangan Bentuk Standar Simplex Penyimpangan bentuk standar dapat terjadi karena : 1. Fungsi tujuan (Z) bukan Maximalisasi, tetapi Minimalisasi 2. Fungsi batasan bertanda (=) atau (≥) 3. Dan syarat X1 atau X2 tidak terpenuhi, misalkan X1 ≥ - 10 (negatif)

74 contoh : Fungsi Tujuan : Minimalkan Z = 3X1 + 5X2 Dengan batasan : Mesin A2X1= 8 Mesin B3X2≤ 15 Mesin C6X1 + 5X2≥ 30, dimana X1 dan X2 ≥ 0

75 Langkah Penyelesaian : Untuk fungsi tujuan agar menjadi maksimal dikalikan dengan (-1) Jika kendala bertanda “=“, tambahkan ruas kiri satu variabel tambahan berupa variabel artifisial. Jika kendala bertanda “>”, kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel artifisial. Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan artifisial ke dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus = 0 dan koefisien var. artifiasial = M ( M adalah konstanta yang nilainya sangat besar sekali, tapi berhingga, misalnya ribuan, puluhan ribu,dst)

76 Minimalkan Z = 3X1 + 5X2  menjadi Maksimalkan (-Z) = -3X1 – 5X2 Mesin A 2X1= 8, akan menjadi : 2X1 + X3= 8 Mesin B 3X2≤ 15  3X2 + X4 = 15 Mesin C 6X1 + 5X2 ≥ 30,  akan menjadi 6X1 + 5X2 -X5 + X6 = 30 Sehingga fungsi tujuan menjadi : Maksimal : –Z + 3X1 + 5 X2 + MX3 + MX6= 0 Indrawani Sinoem/TRO/SI-5

77 Masalah berikutnya yang muncul adalah setiap variabel dasar (slack atau artificial variabel), harus bernilai nol, sehingga MX3 dan MX6 di atas harus di-nol-kan terlebih dahulu, sebelum dipindah ke tabel simplex. Cara yang digunakan adalah dengan mengurangi bilangan M tersebut dengan bilangan M itu sendiri, yang sebelumnya dikalikan dengan setiap nilai batasan yang menyebabkan munculnya bilangan M tersebut.

78 Nilai fungsi tujuan terakhir adalah : 3 5 M00M0 Kita coba hilangkan M yang pertama terlebih dahulu. X1 X2 X3X4X5X6NK 3 5 M00M0 ( ) M _____________________________________ - 3-2M 5 000M-8M

79 Selanjutnya kita hilangkan M yang kedua. 3-2M5000M-8M ( ) x M _________________________________________- 3-8M 5-5M 00M0-38M, Atau -8M+3 -5M+5 00M0-38M Yang merupakan nilai dari fungsi tujuan yang baru selanjutnya akan dimasukkan ke tabel simplex, sehingga tabel simlex awalnya adalah sebagai berikut :

80 X1X2X3X4X5X6NK Z-8M+3-5M+500M0-38M X X X Tabel Awal simplex, untuk kasus penyimpangan :


Download ppt "METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM PROGRAM LINEAR."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google