Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PROGRAMA LINIER Konsep dasar Matematis: mencari kondisi optimal dari sebuah fungsi (tujuan) linier berdasarkan satu sistem fungsi pembatas linier. Praktis:

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PROGRAMA LINIER Konsep dasar Matematis: mencari kondisi optimal dari sebuah fungsi (tujuan) linier berdasarkan satu sistem fungsi pembatas linier. Praktis:"— Transcript presentasi:

1 PROGRAMA LINIER Konsep dasar Matematis: mencari kondisi optimal dari sebuah fungsi (tujuan) linier berdasarkan satu sistem fungsi pembatas linier. Praktis: alokasi sumber daya terbatas untuk mencapai sebuah tujuan optimal.

2 Sumber Daya P r o d u k Tersedia 1…j…n 1a 11 …a 1j …a 1n b1b1 : ::::: : ia i1 …a ij …a in bibi : ::::: : ma m1 …a mj …a mn bmbm Laba/CostC1C1 …CjCj …CnCn : Masalah dan Formulasi Tujuan Pembatas

3 Metoda Grafis 1.Buat sistem koordinat salib sumbu (Kuadran I) 2.Gambarkan fungsi pembatas untuk memperoleh daerah fisibel dan titik-titik fisibelnya 3.Subtitusikan koordinat masing-masing titik fisibel ke dalam fungsi tujuan, dan pilih nilai yang terbesar (maksimasi) atau terkecil (minimasi), atau 4.Gunakan garis selidik dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Jika garis selidik digambar di luar daerah fisibel, maka titik optimalya adalah titik yang pertama kali tersentuh garis tersebut (maksimasi) atau yang terakhir tersentuh (minimasi), kecuai titik nol (0,0)

4 Contoh Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?

5 Solusi Dept. Waktu proses (jam per unit) Waktu Produk A Produk B Laba$1$ 1,5

6 Daerah Feasible: O-A-B-C-D Titik Feasible: A(0,60)Z=90 B(40.40)Z=100 C(60,20)Z=90 D(70,0)Z=70 O

7 Metoda Simplex 1.Ubah bentuk umum ke bentuk standar (fungsi pembatas bertanda =) dengan cara menambah slack variabel (S) pada ruas kiri fungsi pembatas bertanda  dan mengurangi ruas kiri fungsi pembatasa bertanda  dengan surplus variabel (U) sehingga 2.Buat tabel solusi awal (TSA) spb

8 Tabel Solusi Awal (TSA) Basis Non Basic Variabel (nbv)Basic Variabel (bv) Ruas Kanan X1X1 XjXj XnXn W1W1 …WjWj …WmWm ZC1C1 CjCj CnCn W1W1 a 11 …a 1j …a 1n 1…0…0b1b1 : :::::::::: WjWj a i1 …a ij …a in 0…1…0bibi : :::::::::: WmWm a m1 …a mj …a mn 0…0…1bmbm 3.Melakukan iterasi Simplex Pilih entering variabel, yaitu nbv dengan Cj paling negatif (mak) atau Cj paling positif (min). Jika ada lebih dari satu, pilih salah satu. Dan perhatikan nilai-nilai a ij > 0 di kolom var ini, sebut a ij. Jika semua a is  0, stop (unbounded solution)  kondisi/isyarat optimal

9 Pilih leaving variabel, yaitu bv pada baris dengan Min. {b i /a is ; a is > 0 }. Jika ada lebih dari satu, pillih salah satunya  kondisi/syarat fisibel Persamaan pivot baru baru (ppb), yaitu baris pivot dibagi dengan elemen pivot (elemen pada sel irisan antara baris leaving variabel dan klom entering variable) Buat tabel solusi baru dengan elemen awal ppb Misal, ppb berasal dari baris r dan entering variabel ada pada kolom s. Maka, baris lain pada tabel baru dihitung, dengan formula Z baru = (Z lama) – (C s) x ppb bv baru = (bv lama) – (a is ) x ppb ; untuk i  s Jika Cj pada kolom nbv semuanya positif (mak) atau semua negatif (minimasi), stop (solusi sudah optimal). Jika masih ada yang negatif (maksimasi) atau masih ada yang positif (minimasi), kembali ke langkah 1!

10 Contoh Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?

11 Solusi Simplex Tujuan: Max. Z = X 1 + 1,5 X 2 atau Z - X 1 - 1,5 X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 = 0 Pembatas: (1) 2X X 2 + S 1 = 160  Departemen 1 (2) X X 2 + S 2 = 120  Departemen 2 (3) 4X X 2 + S 3 = 280  Departemen 3 S 1, S 2, S 3, X 1, X 2  0

12 Nbvbv Ruas Kanan BasisX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 Z-3/20000 S1S S2S S3S Tabel Solusi Awal (TSA) Maka, ppb = baris X 2 = ( 1/ / ) Z 1 = Z 0 - C 2 x ppb = ( 1/ / ) S 1 1 = S a 12 x ppb = ( ) S 3 1 = S a 32 x ppb = ( ) BasisX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 RK Z -¼00¾090 S1S X2X2 ½10½060 S3S

13 BasisX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 RK Z 00¼ ¾ 0100 X1X X2X2 01-1/21040 S3S Semua C j untuk nbv positif, solusi optimal telah didapat, yaitu: Laba maksimum: $ 100 per minggu, jika Produk 1 dan Produk 2 masing-masing sebanyak 40 unit, dengan sisa waktu di departemen C: 40 jam.

14 Min. Z = 4X 1 + X 2, dengan pembatas (1)3X 1 + X 2 = 3 (2)4X 1 + 3X 2  6 (3)X 1 + 2X 2  4 X 1, X 2  0 Tambah S pada (3) dan (2) kurangkan dengan dengan U didapat Min. Z = 4X 1 + X 2, dengan pembatas : (1) 3X 1 + X 2 = 3 (2) 4X 1 + 3X 2 – U= 6 (3) X 1 + 2X 2 + S= 4 U,S, X 1, X 2  0 Teknik - M Tambahakan artificial variabel (R) ke fungsi pembatas bertanda “  ” dan “=” (pembatas (1) dan (2). Koefisien R dalam fungsi tujuan adalah M (minimasi) atau –M (maksiasi), dimana M merupakan bilangan positif yang sangat besar (M>>>0). Maka,

15 Min. Z = 4X 1 + X 2 + MR 1 + MR 2, dengan pembatas: (1)3X 1 + X 2 + R 1 = 3 (2) 4X 1 + 3X 2 – U + R 2 = 6 (3) X 1 + 2X 2 + S= 4 R 1, R 2, U, S, X 1, X 2  0 Dari pembatas (1) dan (2) didapat : R 1 = 3 – 3X 1 – X 2 R 2 = 6 – 4X 1 – 3X 2 + U Subtitusikan ke dalam fungsi tujuan, diperoleh: Min. Z = 4X 1 + X 2 + M (3 – 3X 1 – X 2 ) + M (6 – 4X 1 – 3X 2 + U) atau Min. Z = (4 – 7M)X 1 + (1 - 4M )X 2 + MU + 9M, dengan pembatas: (1)3X 1 + X 2 + R 1 = 3 (2)4X 1 + 3X 2 – U + R 2 = 6 (3)X 1 + 2X 2 + S = 4 R 1, R 2, U, S, X 1, X 2  0

16 Basis nbvbv RK X1X1 X2X2 UR1R1 R2R2 S Z7M – 44M – 1–M0009M R1R R2R2 43–1–10106 S Tabel Solusi Awal (TSA) Dengan algoritma simpex diperoleh Tabel Solusi Optimal (TSO) Basis nbvbv RK X1X1 X2X2 UR1R1 R2R2 S Z000(7/5) – M–M–1/517/5 X1X1 1002/50–1/52/5 X2X2 010–1/503/59/5 U0011–111

17 Metoda Dual Simplex 1.Pilih leaving variable (baris pivot), yaitu baris dengan Min. {b j ; b j < 0}, misal ada pada baris r. Jika tidak ada, stop (solusi sudah fisibel). 2.Pilih entering variable(kolom pivot), yaitu klom nbv dengan Min. { C j /a rj ; a rj < 0} untuk meminimasi, atau Min. {  C j /a rj  ; a rj < 0 } untuk maksimasi. 3.Buat ppb sperti pada primal simplex, dan buat Tabel Iterasi 1. 4.Jika ruas kanan tidak ada lagi yang negatif dan C j untuk nbv tidak ada lagi yang negatif (minimasi) atau tidak ada lagi yang positif (minimasi), stop (solusi sudah optimal dan fisibel). Jika tidak, kembali ke langkah 1.

18 Min. Z = 3X 1 + 2X 2 dengan pembatas (1)3X 1 + 2X 2  3 (2)4X 1 + 3X 2  6 (3) X 1 + X 2  4 X 1, X 2  0 Jika pembatas (1) & (2) dikalikan dengan -1, didapat Min. Z = 3X 1 + 2X 2, dengan pembatas (1)-3X 1 - X 2  -3 (2)-4X 1 - 3X 2  -6 (3) X 1 + X 2  4 S 1, S 2, S 3  0 X 1, X 2  0

19 Bentuk standar : Min. Z = 3X 1 + 2X 2, dengan pembatas (1)-3X 1 – X 2 + S 1 = -3 (2)-4X 1 – 3X 2 + S 2 = -6 (3) X 1 + X 2 + S 3 = 4 S 1, S 2, S 3, X 1, X 2  0 Basis nbvbv RK X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 Z S1S S2S S3S Tabel 2.11 Solusi Awal

20


Download ppt "PROGRAMA LINIER Konsep dasar Matematis: mencari kondisi optimal dari sebuah fungsi (tujuan) linier berdasarkan satu sistem fungsi pembatas linier. Praktis:"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google