Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

DUALITAS DALAM LINEAR PROGRAMING Riset Operasi. Latar Belakang Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "DUALITAS DALAM LINEAR PROGRAMING Riset Operasi. Latar Belakang Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya."— Transcript presentasi:

1 DUALITAS DALAM LINEAR PROGRAMING Riset Operasi

2 Latar Belakang Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya. Satu problem disebut sebagai ‘primal’ dan yang lainnya disebut ‘dual’. Kedua problem sangat dekat berhubungan, sehingga solusi optimal disatu problem menghasilkan informasi yang lengkap untuk solusi optimal yang lainnya.

3 Hubungan primal-dual PrimalDual Batasan iVariabel i Fungsi TujuanNilai Kanan

4 Definisi Dari Dual Problem Dual Problem Bila Dalam Bentuk Kanonik Pertimbangkan bentuk kanonik dari LP : Maksimasi : i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n Pembatas :

5 Dual Problem Dalam Bentuk Kanonik Jika permasalahan mengacu sebagai ‘Primal’, hubungan dalam dualnya adalah sebagai berikut : Minimasi : i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n Pembatas : y 1, y 2, …, y m : merupakan variabel dual

6 Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Pembatas i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n Maksimasi Pembatas y i tidak dibatasi tanda untuk semua i j = 1, 2, …, n Primal Problem Dual Problem

7 Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Pembatas i = 1, 2, …, m Maksimasi Pembatas j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m Primal Problem Dual Problem x i tidak dibatasi tanda untuk semua i

8 Membentuk Dual Problem dari Primal Problem atau Sebaliknya Langkahnya sebagai berikut : 1. Tiap batasan di suatu problem berhubungan dengan variabel pada variabel lainnya. 2. Elemen pada RHS pembatas pada suatu problem sama dengan koefisien fungsi obyektif yang sesuai pada problem lainnya. 3. Satu problem empunyai tujuan maksimasi lainnya minimasi. 4. Problem maksimasi mempunyai pembatas (  ) dan minimasi mempunyai pembatas (  ). 5. Variabel untuk kedua problem adalah non-negatif.

9 Contoh : Merek Mesin I1I1 I2I2 Kapasitas Maksimum Sumbangan laba 35 Merek Mesin X1X1 X2X2 Y1Y1 20≤ 8 Y2Y2 03≤ 15 Y3Y3 65≤ 30 ≥ 3≥ 5 Tabel primal-dual (masalah primal)

10 Fungsi primal-dual Tujuan : Maks Z = 3X 1 + 5X 2 Batasan : 2X 1  8 3X 2  15 6X 1 + 5X 2  30 dan X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0 Merek Mesin X1X1 X2X2 Y1Y1 20≤ 8 Y2Y2 03≤ 15 Y3Y3 65≤ 30 ≥ 3≥ 5 Tujuan : Min Y = 8Y Y Y 3 Batasan : 2Y Y 3 ≥ 3 3Y 2 + 5Y 3 ≥ 5 dan Y 1 ≥ 0, Y 2 ≥ 0, Y 3 ≥ 0 Tabel primal-dual Batasan i Variabel i Fungsi Tujuan Nilai Kanan Kunci 1 Kunci 2

11 Interpretasi Ekonomis Fungsi primal Dengan menggantikan Z j, metode simpleks dapat diartikan mencari nilai Y m Fungsi dual X j = Tingkat aktivitas ke j C j = Laba persatuan aktivitas j Z= Laba total dari seluruh aktivitas b i = Jumlah sumber i yang tersedia a ij = jumlah sumber i yang “dipakai” oleh setiap satuan aktivitas j Y i = kontribusi persatuan sumber i terhadap laba

12 Hasil masalah dual Tujuan : Min Y = 8Y Y Y 3 Batasan : 2Y Y 3 ≥ 3 3Y 2 + 5Y 3 ≥ 5 dan Y 1 ≥ 0, Y 2 ≥ 0, Y 3 ≥ 0 Y 1 = 0, Y 2 = 5/6, Y 3 = 1/2 Y = 8(0) + 15( 5 / 6 ) + 30( 1 / 2 ) Y = 27 1 / 2 Analisis Simplex

13 Contoh : Maksimasi : X 0 = 5 X X 2 Pembatas : X X 2  60  y 1 2X X 2  45  y 2 5X X 2  20  y 3 X 2  30  y 4 X 1, X 2  0 Minimasi : y 0 = 60y y y y 4 Pembatas : y y 2 + 5y 3  60 9y y 2 – 2y3 + y 4  45 y 1,y 2,y 3,y 4  0 Primal Problem Dual Problem

14 Penyelesaian Dual Simplex Maksimasi : X 0 = 2 X 1 + X 2 Pembatas : 3 X 1 + X 2  3 4 X X 2  6 X 1 +2 X 2  3 X 1, X 2  0 Dengan mengubah fungsi obyektif Maksimasi menjadi Minimasi dan fungsi pembatasnya menjadi bertanda , kemudian dibentuk tabel simpleksnya adalah sbb : Minimasi : X 0 = 2 X 1 + X 2 Pembatas : -3 X 1 - X 2  X X 2  6 X 1 +2 X 2  3 X 1, X 2  0

15 Penyelesaian Dual Simplex Metoda Simpleks yang biasa, memberikan hasil didasarkan pada kondisi optimalitas dan layak (feasibility), sebagai berikut : Kondisi Layak : ‘Leaving Variabel’ adalah variabel basis yang mempunyai nilai paling negatif. Kondisi Optimalitas : ‘Entering Variabel’ dipilih diantara non-variabel basis dengan cara Rasio dari koefisien fungsi obyektif dengan koefisien pembatas yang terpilih sebagai ‘leaving var’. ‘Entering Var. adalah salah satu yang mempunyai rasio terkecil untuk problem minimasi, atau nilai terkecil absolut untuk problem maksimasi.

16 Penyelesaian Dual Simplex Minimasi : X 0 = 2 X 1 + X 2 Pembatas : -3 X 1 - X 2 + S1 = X X 2 + S2 = - 6 X 1 +2 X 2 + S3 = 3 X 1, X 2  0 Merubah fungsi pembatas dari Ketidaksamaan kedalam bentuk Persamaan

17 Penyelesaian Dual Simplex Var Basis Koefisien dari X 1 X 2 S 1 S 2 S X0X0 RHS Ratio bjbj S1S2S3S1S2S Leaving Variabel Menentukan Rasio

18 Untuk Mendapatkan Entering Variabel Dengan Memilih Nilai Rasio Variabel X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 X 0 – equation S 2 – equation (leaving var) Rasio 1/2 1/3 X2 terpilih sebagai entering variabel karena merupakan nilai terkecil (minimasi problem) Kembali

19 Penyelesaian Dual Simplex -5/ /3 0 4/ /3 0 -5/ /3 1 Var Basis Koefisien dari X 1 X 2 S 1 S 2 S X0X0 RHS Ratio bjbj S1X2S3S1X2S3 2 -2/ /3 0 Hasil optimal tapi belum feasibel maka dengan cara yang sama seperti iterasi sebelumnya dilakukan perhitungan untuk mendapatkan hasil yang optimal dan feasibel. Leaving Variabel

20 Penyelesaian Dual Simplex /5 1/ /5 -3/ Var Basis Koefisien dari X 1 X 2 S 1 S 2 S X0X0 RHS Ratio bjbj 3/5 6/ X1X2S3X1X2S3 12/ /5 -1/5 0 Nilai Optimal dan Feasible untuk permasalahan ini adalah : Maks X 0 = Min X 0 = 12/5, X 2 = 3/5, X 2 = 6/5

21 Peran Teori Dualitas Pada Analisa Sensitivitas Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada parameter model. Perubahan nilai parameter pada problem primal juga berhubungan dengan nilai pada problem dual nya. Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa problen dual secara langsung untuk menentukan pengaruh komplemennya pada problem primal.

22 Referensi Aplikasi Riset Operasi, Penerbit Salemba Empat Supranto, J. Bahan Ajar D0104 Riset Operasi I Kuliah XI – XIII ttp://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan ttp://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan Bahan Ajar Rosihan Asmara: ttp://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan ttp://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan


Download ppt "DUALITAS DALAM LINEAR PROGRAMING Riset Operasi. Latar Belakang Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google