Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

AKAR PERSAMAAN N ON L INIER METODE NEWTON RAPHSON Pertemuan Minggu ke 4.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "AKAR PERSAMAAN N ON L INIER METODE NEWTON RAPHSON Pertemuan Minggu ke 4."— Transcript presentasi:

1 AKAR PERSAMAAN N ON L INIER METODE NEWTON RAPHSON Pertemuan Minggu ke 4

2 M ETODE T ERBUKA Metode Newton-Raphson Metode Secant.

3 P ENGERTIAN Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu x 0

4 M ETODE N EWTON R APHSON metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan : adalah turunan pertama di x n

5 G RAFIK P ENDEKATAN M ETODE N EWTON -R APHSON 0 x Kemiringan

6 M ETODE N EWTON R APHSON

7 L ANGKAH - LANGKAH PENYELESAIAN M ETODE N EWTON -R APHSON Langkah 3 Lakukan iterasi dengan persamaan : Langkah 1 Cari f’(x) dan f”(x) dari f(x) Langkah 2 Tentukan titk x 0 dan Uji sesuai : Apakah memenuhi syarat persamaan? Jika tidak, cari nilai x o baru.

8 A LGORITMA M ETODE N EWTON R APHSON 1. Definisikan fungsi f(x) dan f 1 (x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x 0 4. Hitung f(x 0 ) dan f ’ (x 0 ) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(x i )|> e Hitung f(x i ) dan f 1 (x i ) 6. Akar persamaan adalah nilai x i yang terakhir diperoleh.

9 CONTOH Hitung salah satu akar dari f(x) = e x – 2 – x 2 pada titik awal 1,5;  s = 1 %

10 M ETODE N EWTON -R APHSON (E X.) Langkah 1 1.x i = 1.5 ; f(x i ) = 0,23169 f’(x i ) = e x – 2x  f’(1.5) =

11 M ETODE N EWTON -R APHSON (E X.) Langkah 2 1.x i = ; f(x i ) = 0, f’(x i ) = e x – 2x  f’(1.3436) =

12 M ETODE N EWTON -R APHSON (E X.) Langkah 3 1.x i = ; f(x i ) = f’(x i ) = e x – 2x  f’( ) =

13 M ETODE N EWTON -R APHSON (E X.) Iterasix i+1  a % , ,036 Jadi akar dari f(x) = e x – 2 – x 2 adalah x = 1,319074

14 C ONTOH S OAL : Pernyataan Masalah: Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : f(x) = e -x -x menggunakan sebuah tebakan awal x 0 = 0.

15 S OLUSI : Langkah 1: Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e -x -x dapat dievaluasikan sebagai :

16 Langkah 2: Lakukan uji syarat persamaan memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-akarnya dapat dicari dengan metode Newton-Raphson

17 Langkah 3: Lakukan Iterasi dengan : Iterasi, ixixi f(x i )=e -x -x f’(x i )=-e -x , , , , , , x ,96536x ,43x , , , , Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin mendekati 0 akar x 4 f(x 4 ) dekat dengan harga 0

18 Contoh f(x) = x 3 - 3x - 20, maka f1(x) = 3x Dengan demikian x k+1 = x k - (x 3 k - 3x k - 20) / (3x 2 k - 3). Perkiraan awal xo = 5 Maka: f(5)=53-3.(5)-20 =90 f'(5)=3(5)2-3 =72 xbaru=5-(90/72)=3.75 iterasiXkXk X k+1 f(x k )f'(x k ) F(x k+1 ) E-10

19 C ONTOH S OAL Selesaikan persamaan x - e -x = 0 dengan titik pendekatan awal x 0 =0 f(x) = x - e -x  f’(x)=1+e -x f(x 0 ) = 0 - e -0 = -1 f’(x 0 ) = 1 + e -0 = 2

20 C ONTOH S OAL f(x 1 ) = -0, dan f 1 (x 1 ) = 1,60653 x 2 = f(x 2 ) = -0, dan f 1 (x 2 ) = 1,56762 x 3 = f(x 3 ) = -1, Suatu bilangan yang sangat kecil. Sehingga akar persamaan x = 0,

21 C ONTOH x - e -x = 0  x 0 =0, e =

22 C ONTOH : x + e -x cos x -2 = 0  x 0 =1 f(x) = x + e -x cos x - 2 f’(x) = 1 – e -x cos x – e -x sin x

23

24 Kelemahan Metode Newton-Raphson 1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun ada akar penyelesaiannya. 4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan menjadi sulit.

25 P ERMASALAHAN PADA PEMAKAIAN METODE NEWTON RAPHSON Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F 1 (x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.

26 P ERMASALAHAN PADA PEMAKAIAN METODE NEWTON RAPHSON Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian ( divergensi ). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.

27 H ASIL T IDAK K ONVERGEN


Download ppt "AKAR PERSAMAAN N ON L INIER METODE NEWTON RAPHSON Pertemuan Minggu ke 4."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google