Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

GRAFGRAF Matematika Diskrit. 1 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut Representasi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "GRAFGRAF Matematika Diskrit. 1 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut Representasi."— Transcript presentasi:

1 GRAFGRAF Matematika Diskrit

2 1 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut Representasi : Objek : noktah, bulatan atau titik Hubungan antar objek : garis D C B A

3 Matematika Diskrit2 Definisi Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) Ditulis dengan notasi : G = (V, E) V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul Graf trivial adalah :  Graf hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi Simpul pada graf dinomori dengan :  Huruf (a,b, …,z) atau  Bilangan (1, 2, … ) atau  Huruf dan bilangan (a1, a2, …. ) Sisi yang menghubungkan simpul u dan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan e 1, e 2, …. Sehingga dapat ditulis : e = (u,v)

4 Matematika Diskrit3 Contoh 1 G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)} Graf sederhana

5 Matematika Diskrit4 Contoh 2 G2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4)} = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } e2e2 e5e5 e1e1 e4e4 e7e7 e3e3 e6e6 Graf ganda Pada G2 : sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi ganda (multiple edges atau paralel edges) Himp. Ganda

6 Matematika Diskrit5 Contoh 3 G3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3,3)} = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } e2e2 e5e5 e1e1 e4e4 e7e7 e3e3 e6e6 e8e8 Graf semu Pada G3 : e8 = (3,3) dinamakan gelang atau kalang (loop) Himp. Ganda

7 Matematika Diskrit6 Jenis-jenis Graf Berdasarkan ada atau tidaknya gelang : Graf sederhana (simple graph)  Graf tidak mengandung gelang maupun sisi ganda  Sisi adalah pasangan tak terurut (unordered pairs) Graf tak-sederhana (unsimple graph)  Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang Ada 2 macam graf tak-sederhana :  Graf ganda (multigraph)  Graf yang mengandung sisi ganda, sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah  Graf semu (pseudograph)  Graf yang mengandung gelang (loop), sisi graf semu terhubung ke dirinya sendiri

8 Matematika Diskrit7 Jenis-jenis Graf (Cont.) Berdasarkan orientasi arah pada sisi : Graf tak-berarah (undirected graph)  Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah  Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan Graf berarah (directed graph atau digraph)  Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah  Biasanya disebut dengan busur (arc) Busur (u,v) :  Simpul u = simpul asal (initial vertex)  Simpul v = simpul terminal (terminal vertex)

9 Matematika Diskrit8 Jenis-jenis Graf (Cont.) JenisSisiSisi gandaSisi gelang Graf sederhana Tak berarahTidak Graf gandaTak berarahYaTidak Graf semuTak berarahYa Graf berarahBerarahTidakYa Graf ganda- berarah BerarahYa

10 Matematika Diskrit9 Kardinalitas Graf Kardinalitas graf adalah :  Jumlah simpul pada graf Dinyatakan dengan : n = |V| Jumlah sisi dinyatakan dengan : m = |E|

11 Matematika Diskrit10 Terminologi (Istilah) Dasar Adjacent (bertetangga) Incident (bersisian) Isolated vertex (simpul terpencil) Null graph atau empty graph (graf kosong) Degree (derajat) Path (lintasan) Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) Connected (terhubung) Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf Spanning subgraph (upagraf merentang) Cut – set Weigted graph (graf berbobot)

12 Matematika Diskrit11 Adjacent (bertetangga) Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Contoh : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3 tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul

13 Matematika Diskrit12 Incident (bersisian) Untuk sembarang sisi e = (u,v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v Contoh : sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4 tetapi sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul

14 Matematika Diskrit13 Isolated vertex (simpul terpencil) Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya Contoh : Simpul 5 adalah simpul terpencil

15 Matematika Diskrit14 Null graph atau empty graph (graf kosong) Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai graf kosong Ditulis sebagai : N n, n = jumlah simpul Contoh : graf di atas adalah graf kosong N

16 Matematika Diskrit15 Degree (derajat) Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut Notasi : d(v)  menyatakan derajat simpul v Contoh : d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 Sisi terpencil adalah simpul dengan d(v) = 0 karena tidak satupun sisi yang bersisian dengan simpul tersebut Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua Jika terdapat g buah gelang dan e buah sisi bukan gelang yang bersisian dengan simpul v maka derajat simpul v adalah : d(v) = 2g + e

17 Matematika Diskrit16 Degree (derajat) Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting (pendant vertex) Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan d in (v) dan d out (v), dalam hal ini : d in (v) = derajat masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul v d out (v) = derajat keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v Dan d(v) = d in (v) + d out (v)

18 Matematika Diskrit17 Contoh Derajat setiap simpul : d in (a) = 2 ; d out (a) = 1 d in (b) = 2 ; d out (b) = 3 d in (c) = 1 ; d out (c) = 2 d in (d) = 2 ; d out (d) = 1 Pada graf berarah G = (V,E) selalu berlaku hubungan : Sehingga : b d a c

19 Matematika Diskrit18 Path (lintasan) Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v o ke simpul tujuan v n di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v o, e 1, v 1, e 2, v 2, …, v n-1, e n, v n sedemikian sehingga e 1 = (v o, v 1 ), e 2 = (v 1, v 2 ), …, e n = (v n-1, v n ) adalah sisi-sisi dari graf G Lintasan sederhana (simple path) :  Jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya sekali) Lintasan tertutup (closed path) :  Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama Lintasan terbuka (opened path) :  Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama Panjang lintasan :  Jumlah sisi dalam lintasan tersebut

20 Matematika Diskrit19 Contoh Lintasan 1,2,4,3 adalah lintasan sederhana dan terbuka Lintasan 1,2,4,3,1 adalah lintasan sederhana dan tertutup Lintasan 1,2,4,3,2 bukan lintasan sederhana tetapi lintasan terbuka Lintasan 1,2,4,3 memiliki panjang lintasan =

21 Matematika Diskrit20 Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus Sirkuit sederhana (simple circuit) :  jika setiap sisi yang dilalui berbeda Contoh : Lintasan 1,2,3,1  sirkuit sederhana Lintasan 1,2,4,3,2,1  bukan sirkuit sederhana karena sisi (1,2) dilalui 2 kali

22 Matematika Diskrit21 Connected (terhubung) Graf tak-berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v (yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke v) Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya) Graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang simpul sembarang v i dan v j di G terhubung kuat

23 Matematika Diskrit22 Contoh Graf di samping merupakan graf terhubung kuat karena untuk sembarang sepasang simpul di dalam graf terdapat lintasan Graf di samping merupakan graf terhubung lemah karena tidak semua pasangan simpul mempunyai lintasan dari dua arah

24 Matematika Diskrit23 Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf. G 1 = (V 1, E 1 ) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V 1  V dan E 1  E Komplemen dari upagraf G 1 terhadap G adalah graf G 2 = (V 2, E 2 ) sedemikian sehingga E 2 = E - E 1 dan V 2 adalah himpunan simpul yang anggota- anggota E 2 bersisian dengannya Upagraf dari G1 Graf G1 Komplemen dari upagraf yang bersesuaian

25 Matematika Diskrit24 Contoh Tentukan komponen terhubung dari G = (V,E) dimana V = {a,b,c,d,e,f} dan E = {(a,d),(c,d)} Penyelesaian : simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c, ini berarti a juga terhubung dengan c. Simpul b,e dan f merupakan simpul terpencil. Sehingga ada :  G 1 = (V 1, E 1 ) dengan V 1 = {a,c,d} dan E 1 = {(a,d),(c,d)}  G 2 = (V 2, E 2 ) dengan V 2 = {b} dan E 2 = { }  G 3 = (V 3, E 3 ) dengan V 3 = {e} dan E 3 = { }  G 4 = (V 4, E 4 ) dengan V 4 = {f} dan E 4 = { } Dan  V 1  V 2  V 3  V 4 = V  E 1  E 2  E 3  E 4 = E  G 1  V 2  V 3  V 4 =  d c e b a f

26 Matematika Diskrit25 Spanning subgraph (upagraf merentang) Upagraf G 1 = (V 1, E 1 ) dan G = (V,E) dikatakan upagraf merentang jika = V 1 = V (yaitu G 1 mengandung semua simpul dari G) Upagraf merentang dari G Graf G 23 1 Bukan upagraf merentang dari G

27 Matematika Diskrit26 Cut – set Cut set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung Cut set selalu menghasilkan 2 buah komponen terhubung Nama lain : jembatan (bridge) adalah  himpunan sisi apabila dibuang dari graf menyebabkan graf tersebut tidak terhubung (menjadi 2 buah komponen terhubung)

28 Matematika Diskrit27 Contoh Sisi (1,2) dibuang, graf tetap terhubung Jika sisi (1,2) dan (1,5) dibuang, graf tetap terhubung Jika sisi dari himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} dibuang, graf tidak terhubung  cut-set Cut-set terjadi pada himpunan :  {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)}  {(1,2),(2,5)}  {(1,3),(1,5),(1,2)}  {(2,6)} Himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} adalah cut-set

29 Matematika Diskrit28 Weigted graph (graf berbobot) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot) Bobot pada tiap sisi berbeda-beda tergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf Bobot dapat menyatakan :  Jarak antara 2 kota  Biaya perjalanan antara 2 kota  Waktu tempuh pesan (message) dari sebuah simpul komunikasi ke simpul komunikasi lain  Ongkos produksi  dll Istilah lain : graf berlabel eb cd a

30 Matematika Diskrit29 Graf Sederhana Khusus Complete graph (Graf lengkap) Graf lingkaran Regular graph (Graf teratur) Bipartite graph (Graf bipartit)

31 Matematika Diskrit30 Complete Graph (Graf Lengkap) Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n Setiap simpul pada K n berderajat n-1 Jumlah sisi : K1K1 K2K2 K3K3 K4K4 K5K5 K6K6 Graf lengkap K n, 1  n  6

32 Matematika Diskrit31 Graf Lingkaran Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat 2 Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan : C n Jika simpul-simpul pada C n adalah v 1, v 2, …, v n, maka sisi-sisinya adalah : (v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), …, (v n-1, v n ) dan (v n, v 1 ) Ada sisi simpul dari simpul terakhir, v n, ke simpul pertama, v 1 Graf lingkaran C n, 3  n  6

33 Matematika Diskrit32 Regular graph (Graf teratur) Adalah : graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama Jika derajat setiap simpul adalah r maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r Jumlah sisi pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul adalah : Derajat 0Derajat 1 Derajat 2

34 Matematika Diskrit33 Contoh (1) i.Grafteratur berderajat 3 dengan 4 buah simpul ii.Graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul iii.Graf teratur berderajat 3 dengan 8 buah simpul (i) n = 4, r = 3 (ii) n = 6, r = 3(iii) n = 8, r = 3

35 Matematika Diskrit34 Contoh (2) Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang  3 ? Penyelesaian : Tiap simpul berderajat sama berarti graf teratur e = 12, r  3 Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2  n = 2e/r = 2 * 12/r = 24/r Sehingga :  r = 3  n = 24/3 = 8  maksimum  r = 4  n = 24/4 = 6  minimum  r = 6  n = 24/6 = 4  tidak mungkin membentuk graf sederhana  r = 8  n = 24/8 = 3  tidak mungkin membentuk graf sederhana  r = 12  n = 24/12 = 2  tidak mungkin membentuk graf sederhana  r = 24  n = 24/24 = 1  tidak mungkin membentuk graf sederhana Jadi jumlah simpul paling sedikit (minimum) = 6 buah dan paling banyak (maksimum) = 8 buah

36 Matematika Diskrit35 Bipartite graph (Graf bipartit) Adalah graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi 2 himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian hingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2 Dinyatakan sebagai G(V 1, V 2 ) Graf bipartit lengkap (complete bipartite graph) adalah :  Jika setiap simpul di V 1 bertetangga dengan semua simpul di V 2 Dilambangkan dengan K m,n Jumlah sisi : mn V1V1 V2V2 Graf bipartit G(V 1, V 2 )

37 Matematika Diskrit36 Contoh (1) V 1 = {a,b,d} dan V 2 = {c,e,f,g} Setiap sisi menghubungkan simpul di V 1 ke simpul V 2 Sehingga bentuk graf bipartit C 6 adalah : a b d c e f g

38 Matematika Diskrit37 Contoh (2) Graf bipartit lengkap K 2,3, K 3,3 dan K 2,4 adalah : K 2,3 K 3,3 K 2,4

39 Matematika Diskrit38 Representasi Graf Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) Incidency matrix (matriks bersisian) Adjacency list (senarai ketetanggaan)

40 Matematika Diskrit39 Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x n Jika A = [a ij ] maka a ij = 1  simpul i dan j bertetanggaan Jika a ij = 0  simpul i dan j tidak bertetanggaan Matriks ketetanggaan berisi 0 dan 1  matriks nol-satu (zero-one) Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tidak berarah selalu simetri Matriks ketetanggaan untuk graf berarah belum tentu simetri (akan simetri jika berupa graf berarah lengkap) Matriks ketetanggaan tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda (graf ganda) Untuk matriks semu, gelang pada simpul v i dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i,i) di matriks ketetanggaan

41 Matematika Diskrit40 Contoh e1 e2 e4 e5 e7 e6 e8 e3

42 Matematika Diskrit41 Adjacency matrix Jumlah elemen matriks ketetanggaan untuk graf dengan n simpul adalah : n 2 Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan seluruhnya adalah : p n 2 Matriks ketetanggaan untuk graf tak-berarah sederhana simetri membutuhkan ruang memori : p n 2 / 2 Derajat tiap simpul i dapat dihitung  Untuk graf tak-berarah :  Untuk graf berarah :

43 Matematika Diskrit42 Contoh Derajat matriks simpul 2 adalah : = 3 Derajat matriks simpul 4 adalah : = 2 Derajat matriks simpul 4 adalah : = 1 Derajat matriks simpul 5 adalah : = 0 Derajat masuk matriks simpul 2 adalah : = 2 Derajat keluar matriks simpul 2 adalah : =

44 Matematika Diskrit43 Incidency matrix (matriks bersisian) Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x m Baris menunjukkan label simpul Kolom menunjukkan label sisinya Jika A = [a ij ] maka a ij = 1  simpul i bersisian dengan sisi j Jika a ij = 0  simpul i tidak bersisian dengan sisi j Digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang (loop) Derajat setiap simpul i adalah : jumlah seluruh elemen pada baris i (kecuali pada graf yang mengandung gelang) Jumlah elemen matriks bersisian : nm Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan adalah : pnm

45 Matematika Diskrit44 Contoh Jumlah elemen matriks adalah 4 x 6 = e1 4 e2 e3 e4 e5 e6

46 Matematika Diskrit45 Adjacency list (senarai ketetanggaan) Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf Senarai ketetanggaan : 1 : 2,3 2 : 1,3,4 3 : 1,2,4 4 : 2,3 Senarai ketetanggaan : 1 : 2,3 2 : 1,3 3 : 1,2,4 4 : 3 5 : - Senarai ketetanggaan : 1 : 2 2 : 1,3,4 3 : 1 4 : 2,3

47 Matematika Diskrit46 Isomorphic Graph (graf isomorfik) Dua buah graf, G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian hingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G 1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G 2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G 2 G 1 isomorfik dengan G 2. Simpul 1,2,3 dan 4 di G 1 berkoresponden dengan simpul a,b,c dan d di G 2. Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4) dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (a,b), (b,c), (c,d), (a,d), (a,c) dan (b,d). Semua simpul di G 1 dan G 2 berderajat 3 G 1 dan G 2 tidak isomorfik dengan G 3 karena simpul-simpul di G 3 2 buah berderajat 2 dan 2 buah berderajat 3, sedangkan G 1 dan G 2 berderajat G1G1 G2G2 G3G3 a b c d x y w v

48 Matematika Diskrit47 Contoh Simpul a,b,c,d dan e di G 1 masing-masing berkoresponden dengan simpul x, y, w, v dan z di G 2 Masing-masing simpul berderajat 3, 2, 3, 3 dan 1 a b c d e G1G1 G2G2 v x z y w

49 Matematika Diskrit48 Dua buah graf isomorfik harus memenuhi syarat : 1.Mempunyai jumlah simpul yang sama 2.Mempunyai jumlah sisi yang sama 3.Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu Untuk memeriksa graf isomorfik, digunakan bantuan matriks ketetanggaan (adjacency matrix) Isomorphic Graph (graf isomorfik) a b c d e G1G1 G2G2 v x z y w

50 Matematika Diskrit49 Graf Planar Graf planar adalah :  Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan) K 4 adalah graf planar K 5 bukan graf planar

51 Matematika Diskrit50 Graf Datar Graf datar adalah :  Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face) Graf planar dan graf bidang Bukan graf bidang tetapi graf planar Jumlah wilayah pada graf bidang = 4, R 1, R 2, R 3 dan R 4 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4

52 Matematika Diskrit51 Rumus Euler Jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus Euler n – e + f = 2 f = e – n + 2 dimana : e = jumlah sisi n = jumlah simpul Lemma jabat tangan : jumlah derajat = 2 x jumlah sisi r = 2 x ee = r / 2

53 Matematika Diskrit52 Contoh (1) Pada gambar di atas :  Jumlah sisi (e) = 9  Jumlah simpul (n) = 6 Sehingga jumlah wilayah (f) pada graf bidang tersebut adalah : f = e – n + 2 = 9 – f = 5 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4

54 Matematika Diskrit53 Contoh (2) Graf planar sederhana dan terhubung memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk ? Penyelesaian : Diketahui n = 24 ; r = 4 Maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 x 4 = 96 Sehingga jumlah sisi (e), menurut lemma jabat tangan : e = jumlah derajat / 2 = 96 / 2 = 48 Jadi jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana : f = e – n + 2 = 48 – f = 26

55 Matematika Diskrit54 Ketidaksamaan Euler Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku : e  3f/2  f  2e/3 Berdasarkan rumus Euler maka : n – e + f  2 n – e + 2e/3  2 3n – 3e + 2e  6 3n – e  6 e  3n - 6 Ketidaksamaan Euler digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v  3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e  3v - 6

56 Matematika Diskrit55 Ketidaksamaan Euler Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku : e  4f/2  f  e/2 Berdasarkan rumus Euler maka : n – e + f  2 n – e + e/2  2 2n – 2e + e  4 2n – e  4 e  2n - 4 Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v  3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e  2v - 4

57 Matematika Diskrit56 Contoh (1) Pada graf K 4 : n = 4 ; e = 6 Ketidaksamaan Euler : e  3n – 6 6  3 (4) – 6 6  6  terpenuhi K 4 merupakan graf planar K5K5 K4K4 Pada graf K 5 : n = 5 ; e = 10 Ketidaksamaan Euler : e  3n – 6 10  3 (5) – 6 10  9  tidak terpenuhi K 5 merupakan graf bukan planar

58 Matematika Diskrit57 Contoh (2) Pada graf K 3,3 : n = 6 ; e = 9 Ketidaksamaan Euler : e  2n – 4 9  2 (6) – 4 9  8  tidak terpenuhi K 3,3 merupakan graf bukan planar K 3,3

59 Matematika Diskrit58 Teorema Kuratowski Graf Kuratowski I, yaitu graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K 5 ) adalah graf tidak planar Graf Kuratowski II, yaitu graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi (K 3,3 ) adalah graf tidak planar Sifat graf Kuratowski :  Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur  Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak planar  Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkan menjadi graf planar  Graf Kuratowski I adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul minimum dan graf Kuratowski II adalah graf tidak planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya graf tidak planar paling sederhana Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf yang isomorfik dengan K 5 atau K 3,3 atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya K 3,3 G Graf G tidak planar karena mengandung upagraf K 3,3

60 Matematika Diskrit59 Homeomorphic (homeomorfik) Dua graf G 1 dan G 2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf dapat diperoleh dari graf lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul berderajat 2 G G1G1 K5K5 c b a c d e f g h i b a d e f g h i Graf G tidak planar karena upagrafnya, G 1, homeomorfik dengan K 5 a c eg h

61 Matematika Diskrit60 Graf Euler Lintasan Euler adalah :  Lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler adalah :  Sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali Graf Euler (Eulerian graph) adalah :  Graf yang mempunyai sirkuit Euler Graf semi-Euler (semi-Eulerian graph) adalah :  Graf yang mempunyai lintasan Euler

62 Matematika Diskrit61 Lintasan Euler pada graf : 4,2,1,4,3,2 Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) Graf Euler Lintasan Euler pada graf : 1,2,4,6,2,3,6,5,1,3 Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf semi- Euler) Lintasan Euler pada graf : 7,1,2,4,6,2,3,6,5,3,1,5,7 Graf yang mempunyai sirkuit Euler (graf Euler)

63 Matematika Diskrit62 Graf Euler Graf yang tidak mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) dan sirkuit Euler (graf Euler)

64 Matematika Diskrit63 Graf terhubung tak-berarah G adalah :  graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul di dalam graf tersebut berderajat genap  graf semi-Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf tersebut terdapat tepat 2 simpul berderajat ganjil Graf terhubung berarah G memiliki :  sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama  Lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali 2 simpul : 1.Memiliki derajat keluar 1 lebih besar dari derajat masuk 2.Memiliki derajat masuk 1 lebih besar dari derajat keluar Graf Euler

65 Matematika Diskrit64 Graf berarah yang memiliki sirkuit Euler (a,g,c,b,g,e,d,f,a) Graf Euler a e d b g c f d a b c Graf berarah yang memiliki lintasan Euler (d,a,b,d,c,b) d a b c Graf berarah yang tidak memiliki lintasan Euler dan sirkuit Euler

66 Matematika Diskrit65 Graf Hamilton Lintasan Hamilton adalah :  lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali Sirkuit Hamilton adalah :  Sirkuit yang melalalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui 2 kali Graf Hamilton adalah :  Graf yang memiliki sirkuit Hamilton Graf semi-Hamilton adalah :  Graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton

67 Matematika Diskrit66 Graf Hamilton a)Graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal : 3, 2, 1, 4) b)Graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1) c)Graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton (a) (b) (c) Graf yang mengandung sirkuit Hamilton

68 Matematika Diskrit67 Teorema Dirac :  Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian hingga derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v)  n/2 untuk setiap simpul v di G) maka G adalah graf Hamilton Teorema Ore :  Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian hingga d(v) + d(u)  n untuk setiap pasang simpul tidak bertetangga u dan v, maka G adalah graf Hamilton Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3) terdapat sebanyak (n – 1)! / 2 buah sirkuit Hamilton Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul :  n  3 dan n ganjil, terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan)  n  4 dan n genap, terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas Graf Hamilton

69 Matematika Diskrit68 Contoh Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian hingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dilaksanakan ? Penyelesaian : Dapat direpresentasikan oleh sebuah graf dengan 9 buah simpul sedemikian hingga setiap simpul menyatakan anggota klub dan sisi yang menghubungkan 2 buah simpul menyatakan kedua simpul tersebut bertetangga tempat duduk Pengaturan tempat duduk adalah :  1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 (gaaris tebal dan merah)  1,3,5,2,7,4,9,6,8,1 (garis putus-putus dan hijau) Ada 2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda (n = 9) : (n -1) / 2  n ganjil (9 – 1) / 2 = 4 Jadi pengaturan tempat duduk yang berbeda diterapkan selama 4 hari, setiap haarinya setiap peserta mempunyai tetangga yangberbeda dengan hari sebelumnya

70 Matematika Diskrit69 Aplikasi Graf Lintasan terpendek (shortest path) Persoalan pedagang keliling (travelling salesman problem) Persoalan tukang pos Cina Pewarnaan graf (graph colouring)

71 Matematika Diskrit70 Lintasan terpendek (shortest path) Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot Beberapa persoalan :  Lintasan terpendek antara 2 buah simpul tertentu  Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul  Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain  Lintasan terpendek antara 2 buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu Algoritma untuk lintasan terpendek adalah algoritma Dijkstra

72 Matematika Diskrit71 Algoritma Dijkstra Procedure Dijkstra (input m : matriks, a: simpul awal) { Mencari lintasan terpendek dari simpul awal a ke semua simpul lainnya masukan : matriks ketetanggan (m) dari graf berbobot G dan simpul awal a keluaran : lintasan terpendek dari a ke semua simpul lainnya } Deklarasi s1, s2, …, sn : integer (tabel integer) d1, d2, …, dn : integer (tabel integer) i, j, k : integer Algoritma { langkah 0 (inisialisasi) } for i  1 to n do s(i)  0 d(i)  m(a(i)) endfor { langkah 1 } s(a)  1(karena simpul a adalah simpul asal lintasan terpendek, jadi simpul a sudah pasti terpilih dalam lintasan terpendek) d(a)   (tidak ada lintasan terpendek dari simpul a ke a) { langkah 2 } for k  2 to n-1 do j  simpul dengan s(j) = 0 dan d(j) minimal s(j)  1 (simpul j sudah terpilih ke dalam lintasan terpendek) {perbarui tabel d) for semua simpul i dengan s(i) = 0 do if d(j) + m(ji) < d (i) then d(i)  d(j) + m(ji) endif endfor

73 Matematika Diskrit72 Contoh (1) Tentukan lintasan terpendek dari graf berikut : j=abcdef i=a  b  015  10  c20  015  d  20  035  e  300  f  3  0 Matriks ketetanggan M : Lintasan terpendek dari : a ke c adalah : a,c  p = 10 a ke d adalah : a,c,d  p = 25 a ke b adalah : a,c,d,b  p = 45 a ke e adalah : a,e  p = 45 a ke f tidak ada lintasan a c d b e f

74 Matematika Diskrit73 Contoh (2) Router asal Router tujuan Lintasan terpendek ,4,2 1,4,6,3 1,4 1,4,2,5 1,4, ,4,1 - 2,4,6,3 2,4 2,5 2,4, ,6,4,1 3,6,4,2 - 3,6,4 3,5 3, ,1 4,2 4,6,3 - 4,2,5 4, ,2,4,1 5,2 5,3 5,2,4 - 5,3, ,4,1 6,4,2 6,3 6,4 6,3,5 - Router km, 10 kbps Router 2 Router 4 Router 3 Router 5 Router km, 56 kbps 450 km, 30 kbps 1210 km, 11 kbps 350 km, 5 kbps 2275 km, 25 kbps 890 km, 10 kbps 1225 km, 35 kbps 340km, 20 kbps Jaringan komputer

75 Matematika Diskrit74 Router 1Router km, 10 kbps Router 2 Router 4 Router 3 Router km, 56 kbps 450 km, 30 kbps 1210 km, 11 kbps 350 km, 5 kbps 2275 km, 25 kbps 890 km, 10 kbps 1225 km, 35 kbps 340km, 20 kbps Lintasan terpendek yang dilalui oleh pesan dari router 1 ke router 5

76 Matematika Diskrit75 Persoalan Pedagang Keliling (Travelling Salesman Problem) Graf lengkap dengan n = 4 memiliki : (n – 1)! /2 = (4 – 1)! /2 = 3! / 2 = 3*2*1 / 2 = 3 sirkuit Hamilton Yaitu : S 1 = (a,b,c,d,a) atau (a,d,c,b,a) dengan panjang rute = = 45 S 2 = (a,c,d,b,a) atau (a,b,d,c,a) dengan panjang rute = = 41 S 3 = (a,c,b,d,a) atau (a,d,b,c,a) dengan panjang rute = = 32 Sehingga lintasan terpendek dari sirkuit Hamilton adalah : S 3 = (a,c,b,d,a) atau (a,d,b,c,a) Dengan panjang rute 32 a d c b a d c b

77 Matematika Diskrit76 Latihan Soal 1.Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi dengan r  4 2.Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan tiap simpul berderajat  3? 3.Gambarkan dua buah graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul


Download ppt "GRAFGRAF Matematika Diskrit. 1 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut Representasi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google