Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Pertemuan ke 21. BAB VIII 1. Pendahuluan Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Pertemuan ke 21. BAB VIII 1. Pendahuluan Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan ke 21

2 BAB VIII

3 1. Pendahuluan Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik yang disebut simpul (verteks). sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis yang disebut sisi ( edge ).

4

5

6 A B C D Masalah jembatan Königsberg Apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula?

7 Jawaban yang dikemukakan oleh Euler adalah : Orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap simpul tidak seluruhnya genap. A B C D (3) (5) (3)

8 A B C D Dari C ke B

9 2. Definisi Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V, E ), yang dalam hal ini : V = himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices/ node) = {v 1, v 2,..., v n } dan V  1 E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul = {e 1, e 2,..., e n } dan E  0

10 Jika e adalah sisi yang menghubungkan v i dan v j, maka e dapat ditulis e = (v i, v j ) Jumlah simpul pada graf disebut kardinalitas graf dan dinyatakan dengan n=V, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = E. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi, dinamakan graf trivial.

11 G1G G3G e1e1 e7e7 e6e6 e5e5 e2e2 e3e3 e4e4 e8e8 G2G e1e1 e7e7 e6e6 e5e5 e2e2 e3e3 e4e4 Gambar 8.3

12 Sisi Ganda adalah sisi yang menghubungkan dua buah simpul yang sama. Gelang atau Kalang adalah sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

13 3. Jenis-jenis Graf A.Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang. a. Graf Sederhana: Graf yang tidak mengandung gelang atau sisi ganda. 1 G1G1 23 4

14 b. Graf tak Sederhana : Graf yang mengandung sisi ganda (graf ganda) dan Graf yang mengandung gelang (graf semu ). G2G e1e1 e7e7 e6e6 e5e5 e2e2 e3e3 e4e4 e8e8

15 B. Berdasarkan jumlah simpul. a.Graf Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n,berhingga. b.Graf tak Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n, tidak berhingga banyaknya.

16 C. Berdasarkan Arah pada sisi a.Graf tak berarah: Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (v i, v j ) = (v j, v i )

17 b. Graf berarah Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah(v i, v j ) dan (v j, v i ) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Maka (v i, v j )  (v j, v i ). Untuk (v i, v j ), simpul v i dinamakan simpul asal dan v j dinamakan simpul terminal. G3G

18 4. Contoh Terapan Graf Graf dipakai di berbagai disiplin ilmu maupun dalam kehidupan sehari-hari. Contoh pada : Rangkaian Listrik. Isomer senyawa kimia karbon. Transaksi konkuren pada basis data terpusat. Pengujian program. Terapan graf di dalam teori otomata. Turnamen Round-Robin.

19 Turnamen Round-Robin Gambar 8.10

20 5. TERMINOLOGI GRAF ● ●● ● ● ● 5 4 e1e1 e3e3 e4e4 e2e2 (b) G 2 (a) G 1 (c) G 3 Gambar 8.11 e5e5

21 1. Bertetangga ( Adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi Contoh 8.2 : Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4

22 2. Bersisian( Incident) Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj atau e bersisian dengan simpul vk Contoh 8.3 : Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, Sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4

23 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya G5G5 ●

24 4. Graf Kosong (Null graph ) Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong dan ditulis sebagai Nn, yang dalam hal ini n adalah jumlah simpul G6G6 ● ● ●● ● Graf N 5

25 5. Derajat (Degree) Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting ( pendant verteks). Simpul yang mempunyai gelang dihitung mempunyai dua buah sisi.

26 ●● ● ● ● ● e1e1 e3e3 e4e4 e2e2 G2G2 G1G1 G3G3 Contoh 8.6 : d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 d(3) = 4 d(4) = 1 Gambar 8.11

27 Definisi 8.7 : Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan d in (v) dan d out (v), yang dalam hal ini d in (v) = derajat-masuk (in-degree) d out (v)= derajat-keluar (out-degree) dan d(v) = d in (v) + d out (v)

28 a cd b Contoh 8.7 : Derajat setiap simpul adalah : d in (a) = 2 ; d out (a) = 1 d in (b) = 2 ; d out (b) = 3 d in (c) = 1 ; d out (c) = 2 d in (d) = 2 ; d out (d) = 1

29 Pada graf berarah G =(V,E) selalu berlaku hubungan Misalnya pada contoh 8.7 di atas,

30 Lemma Jabat Tangan. Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V,E), maka

31 Contoh 8.8 : Jumlah derajat seluruh simpul pada graf gambar 8.11 (a)

32 ● ● ● ●● Contoh 8.9 : Diketahui graf dengan 5 buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah : (a)2, 3, 1, 1, 2 (b)2, 3, 3, 4, 4

33 Contoh 8.9 : ● (2) (4) (3) Teorema 8.1 Untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap

34

35 6. Lintasan ( Path) Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi(1,2), (2,4), (4,3) Istilah lain untuk lintasan adalah jalur.

36 Lintasan Sederhana ( simple path ) Lintasan dimana semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali).

37 Lintasan Tertutup (closed walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Lintasan Terbuka ( open walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang tidak sama. Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut.

38 Contoh 8.10 : Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan sederhana, juga lintasan terbuka. Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 adalah juga lintasan sederhana, juga lintasan tertutup. Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka. Panjang Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3

39 7. Siklus (cycle)/Sirkuit(circuit) , 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit. Definisi 8.8 : Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.

40

41 a.Panjang Sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. b.Sirkuit Sederhana (simple path) Sirkuit dengan semua sisi yang dilalui hanya satu kali. c.Sirkuit Elementer (elementary path) Sirkuit dengan semua simpul yang dilalui hanya satu kali.

42 8. Terhubung (connected) Dua buah simpul v 1 dan v 2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v 1 ke v 2. Definisi 8.9 Graf tak berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul v 1 ke v 2 dalam himpunan V terdapat lintasan dari v 1 ke v 2 juga v 2 ke v 1. Jika tidak, maka G disebut graph tak terhubung (disconnected graph).

43 Gambar 8.14 graf tak-berarah tidak terhubung

44 Definisi 8.11 Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak-berarahnya terhubung ( graf tak-berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya ).

45 Dua simpul, u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u Simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).

46 Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected) Simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3.

47 9. Upagraf ( Subgraph) dan Komplemen Upagraf Definisi 8.13 : Misalkan G= (V, E) adalah sebuah graf. G 1 =(V 1, E 1 ) adalah upagraf (subgraph) dari G. Komplemen dari upagraf G 1 terhadap graf G adalah graf G 2 =(V 2,E 2 ) upagrafKomplemen G1G1 G G2G2

48 ● Jika graf tidak terhubung, maka graf tersebut terdiri atas beberapa komponen terhubung (connected component). G1G1 G3G3 G2G2 Gambar 8.17 Graf G yang mempunyai 3 buah komponen, yaitu G 1, G 2, dan G 3

49 Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (1, 3, 2, 1) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat ●

50 10. Upagraf Merentang (Spanning Subgraph) Upagraf G 1 =(V 1, E 1 ) dari G = (V, E) dikatakan upagraf merentang jika V 1 =V atau G 1 mengandung semua simpul dari G Upagraf Merentang G Bukan Upagraf Merentang G G G1G1 G2G2

51 11. Cut-Set Cut-Set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen

52 12. Graf Berbobot (Weighted Graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga. a b c d e

53 6. Beberapa Graf Sederhana Khusus a.Graf Lengkap (Complete Graph) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n berderajat n - 1

54 ● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● K1K1 K2K2 K3K3 K4K4 K5K5 K6K6 Contoh 8.15 : Graf lengkap K n

55 b. Graf Lingkaran Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n buah simpul, dilambangkan dengan C n. Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1, v2, …,vn maka sisi-sisinya adalah (v1, v2),…,(vn-1, vn ).

56 ● ●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● Contoh 8.16 : Graf lingkaran C n

57 C. Graf Teratur ( Reguler Graphs) Graf teratur adalah graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r.

58 ● ●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● Contoh 8.17 : ●● ● (i) derajat 0 (ii) derajat 1(iii) derajat 2 Graf teratur derajat 0, 1 dan 2

59 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ●● ● Contoh 8.18 : Graf teratur berderajat 3 (i) n=4, r=3 (ii) n=6, r=3(iii) n=8, r=3

60 Contoh 8.19 : Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e=nr/2. Jadi n= 2e/r = (2)(12)/r = 24/r Untuk r=3  n=24/3 = 8 r=4  n=24/4 = 6 r=6  n=24/6 = 4  tidak mungkin membentuk graf sederhana r=8  n=24/8 = 3  tidak mungkin membentuk graf sederhana r=12  n=24/12 = 2  tidak mungkin membentuk graf sederhana r=24  n=24/24 = 1  tidak mungkin membentuk graf sederhana Jadi jumlah simpul paling sedikit 6 buah dan paling banyak 8 buah Berapa jumlah maksimum dan minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ≥ 3 ?

61 ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● n=8, r=3 n=6, r=4 ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ●

62 d. Graf Bipartit Graf bipartit adalah : Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2. ● ● ● ● ● v1v1 v2v2

63 ●●● ●● ● ●● ● ● ● ●●●● ●● K 3,3 K 2,4 K 2,3 Contoh 8.21 : Apabila setiap simpul di V 1 bertetangga dengan semua simpul di V 2, maka G(V 1, V 2 ) disebut sebagai graf bipartit lengkap (complete bipartite graph), dilambangkan dengan K m,n v1v1 v2v2

64 ● ●● ● ● ● ●● ●● ●● ● ● (a) Persoalan utilitas (b) Jar. Komputer LAN H1H1 H2H2 H3H3 WEG

65 7. REPRESENTASI GRAF Untuk pemrosesan graf dengan program komputer, graf harus direpresentasikan ke dalam memori. Terdapat beberapa representasi yang mungkin untuk graf,misalnya matriks ketetanggaan, matriks bersisian, dan senarai ketetanggaan.

66 a.Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n  1 dan berukuran n x n, bila matriks tersebut dinamakan A = [ a ij ], maka : a ij = 1, jika simpul i dan j bertetangga a ij = 0, jika simpul i dan j tidak bertetangga.

67 Karena matriks ketetanggaan hanya berisi nol dan satu, maka matriks tersebut dinamakan matriks nol-satu (zero-one). Angka 0 juga bisa menyatakan nilai false dan angka 1 menyatakan nilai true.

68 ● (a) (b) (c) Contoh 8.23 : Gambar 8.30

69 Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tidak berarah selalu simetri. Sedangkan untuk graf berarah matriks ketetanggaannya belum tentu simetri tetapi akan simetri jika berupa graf berarah lengkap. Selain itu diagonal utamanya selalu nol, karena tidak ada sisi gelang.

70 e1e1 e7e7 e6e6 e5e5 e2e2 e3e3 e4e4 e8e Contoh 8.24 :

71 Matriks ketetanggaan nol-satu tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda. Untuk mengatasinya, gelang pada simpul v i dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i, j) di matriks ketetanggaannya. Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah elemen matriksnya dapat diakses langsung melalui indeks.

72 Derajat tiap simpul i dapat dihitung dari matriks ketetanggaan. Untuk graf tak-berarah, Sedang untuk graf berarah,

73 Tinjau matriks ketetanggaan pada gambar (a)Derajat simpul 2 pada gambar 8.30(a) adalah =3 Derajat simpul 4 pada gambar 8.30(a) adalah =2 Contoh 8.23 :

74 (c) Derajat-masuk (in) simpul 2 pada gambar 8.30(c) adalah =2 Derajat-keluar (out) simpul 2 pada gambar 8.30(c) adalah =

75 a b c d e a b c d e a ~ 12 ~ ~ 10 b 12 ~ c ~ 9 ~ 14 ~ d ~ ~ 15 e 10 8 ~ 15 ~ Contoh 8.25 :

76 b. Matriks Bersisian (incidency matriks) Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E), adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks n x m, baris menunjukan simpul, sedangkan kolom menunjukan sisi.

77 Bila matriks tersebut dinamakan A = [a ij ], maka : a ij = 1, jika simpul i bersisian dengan sisi j a ij = 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j. Matriks bersisian dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang.

78 Contoh 8.26 : ● ● ●● e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e Gambar 8.33

79 c. Senarai Ketetanggaan (adjacency list) Senarai ketetanggaan meng-enumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf.

80 ● (a) (b) (c) Contoh 8.27 : Senarai ketetanggaan: 1: 2, 3 2: 1, 3, 4 3: 1, 2, 4 4: 2, 3 1: 2, 3 2: 1, 3 3: 1, 2, 4 4: 3 5: - 1: 2 2: 1, 3, 4 3: 1 4: 2, 3

81 8. GRAF ISOMORFIK ( ISOMORPHIC GRAPH ) Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya yang berbeda ab cd xy wv G1G1 G2G2 G3G3 ● ●

82 ab cd G 1 isomorfik dengan G 2. Simpul 1, 2, 3, dan 4 di G 1 berkoresponden dengan simpul a, b, c, dan d di G 2. Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4), dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (a,b), (b,c), (c,d), (a,d), (a,c), dan (b,d). Semua simpul di G 1 dan G 2 berderajat 3 G1G1 G2G2

83 xy wv z a b c d e Graf (a) dan graf (b) isomorfik (a) (b) G1G1 G2G2 ● Dua buah graf pada gambar 8.36 dibawah ini juga isomorfik. Simpul a, b, c, d, dan e di G 1 masing-masing berkoresponden dengan simpul x, y, w, v, dan z di G 2. Masing-masing simpul berderajat 3, 2, 3, 3, dan 1

84 ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● Contoh 8.28 : (i)(ii) ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● Gambar 8.38 a x b y

85 Definisi dua buah graf isomorfik dapat memenuhi ketiga syarat berikut : a.Mempunyai jumlah simpul yang sama. b.Mempunyai jumlah sisi yang sama. c. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu. Tetapi ketiga syarat tersebut belum menjamin jika dua buah graf isomorfik, karena terdapat graf yang memenuhi ketiga syarat tersebut tetapi tidak isomorfik.

86 ●●●● ● ● ●● ● ●●● y v u x w (a) (b) Gambar 8.39 Di (a) terdapat 2 simpul anting-anting (berderajat 1) yang bertetangga dengan simpul x, sedang di (b) hanya terdapat 1 buah simpul anting-anting yang bertetangga dengan y (1) (3)

87 Contoh 8.29 : ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● a (2) d c (2) b r (2) p (3) qs h (3) f uw (3) e g t v (a) Gambar 8.40

88 ●● ● ●● ●● ● ● ● ● ● f e d a c b u t r s q p (b) Gambar 8.40 (2) (3) (2) (3)

89 Untuk memperlihatkan bahwa 2 buah graf isomorfik, kita dapat menunjukkan bahwa matriks ketetanggaannya kedua graf itu sama. a b c d e xy wv z a b c d e a b c d e x y w v z x y w v z A G1 = A G2 = ●

90 Contoh 8.30 : ●● ●● ●● ●● G1G1 G2G2

91 9. Graf Planar dan Graf Bidang Graf Planar adalah graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi- sisi tidak saling memotong. Jika terdapat sisi yang saling memotong maka disebut graf tak-planar. ● ● K 4 adalah graf planar

92 Suatu graf mungkin saja planar, walaupun digambarkan dengan sisi saling memotong, karena graf tersebut sebenarnya bisa digambarkan dengan sisi tidak saling memotong.

93 ● ● ● ●● ● ● ● ●● K 5 bukan graf planar ● ● K 4 adalah graf planar Contoh 8.31 :

94 ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● Gambar 8.44 (a) (b) H1H1 H2H2 H3H3 G W E Contoh 8.32 : bukan graf planar

95 ●●●● ● ● ●●●● ● ● a b b a Contoh 8.33 : Gambar 8.45 (a) (b) adalah graf planar

96 Graf Bidang ● ● ● ●● ● (b)(b)(a)(a)(c)(c) Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph) Gambar 8.46 graf bidang graf planar

97 R2R2 R1R1 R4R4 R3R3 R6R6 R5R5 Graf planar yang terdiri atas 6 wilayah Gambar 8.47 Sisi—sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face) ● ●

98 Rumus Euler : Graf planar yang digambarkan dengan sisi- sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang. Jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus Euler sebagai berikut : n – e + f = 2 atau f = e – n + 2 dimana : e = jumlah sisi n = jumlah simpul

99 e8e8 e6e6 e5e5 e9e9 e3e3 e2e2 e4e4 e1e1 e 11 e7e7 e 10 R2R2 R1R1 R4R4 R3R3 R6R6 R5R5 Contoh 8.34 : Pada gambar diatas, e = 11 n = 7 maka f = 11–7+2 = 6 ● ●

100 Corollary 8.1 : Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini v ≥ 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler e ≤ 3v-6. Contoh 8.36 : (a) K 4 Pada graf K 4,n = v = 4 e = 6 memenuhi e ≤ 3v-6 6 ≤ 3(4)-6 Dengan kata lain, K 4 adalah graf planar

101 Contoh 8.37 : Pada graf K 5,n = v = 5 e = 10 K 5 tidak memenuhi ketidaksamaan Euler e ≤ 3v-6 Sebab 10 ≥ 3(5)-6  10 ≥ 9 Hal ini menunjukkan bahwa, K 5 tidak planar (b) K 5

102 Corollary 8.2 : Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini v ≥ 3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler e ≤ 2v-4. Contoh 8.38 : Graf K 3,3 tidak memenuhi ketidaksamaan e ≤ 2v-4, karena e = 9 n = 6 e ≤ 2v-4 9 ≤ 2(6)-4 = 8 (salah) Yang berarti K 3,3 bukan graf planar.

103 ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● (a) K 4 (b) K 5 (c) K 3,3 Gambar 8.48 graf planar bukan graf planar

104 Teorema Kuratowski Teorema ini memungkinkan untuk menentukan dengan tegas keplanaran suatu graf. Dua graf Kuratowski : 1. Graf lengkap yang mempunyai lima buah simpul (K 5 ), adalah graf tidak planar. 2. Graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 sisi (K 3,3 ) adalah graf tidak planar.

105 Teorema Kuratowski (a) K 5 (b) K 3,3

106 Teorema 8.2 : Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika ia mengandung upagraf yang isomorfik dengan K 5 atau K 3,3 atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya. ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf, G 1 yang sama dengan K 3,3 G G1G1 (a)

107 ● ●● ● ● ● ●● ●● ● ● a a d d K 3,3 G ●● ●● ● a d G1G1 ● g g g ● Graf G tidak planar karena upagrafnya, G 1 isomorfik dengan K 3,3

108 ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ●●● ●● ● ● ●● ●● ● a a ad d d K 3,3 G1G1 G G G1G1 ●

109 Homeomorfik ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● v x y G1G1 G3G3 G2G2 Gambar 8.50 Dua graf G 1 dan G 2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf dapat diperoleh dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul berderajat 2. Membuang v Menambahkan x dan y

110 ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● Gambar 8.51 Graf G tidak planar karena upagrafnya, G 1 homeomorfik dengan K 5 GG1G1 K5K5

111 Gambar 8.52Contoh 8.39 : (a) Graf Petersen, G (b) G 1 (c) G 2 (d) K 3,3 (a) Graf Petersen, G (b) G 1 upagraf dari G (c) G 2 homeomorfik dengan G 1 (d) G 2 isomorfik dengan K 3,3

112 Pertemuan ke 23

113 10. GRAF DUAL (dual graph) Misalkan kita mempunyai sebuah graf planar G yang direpresentasikan sebagai graf bidang. Kita dapat membuat suatu graf bidang G* yang secara geometri merupakan dual dari graf tersebut dengan cara : 1.Pada setiap wilayah atau muka (face) f di G, buatlah sebuah simpul v* yang merupakan simpul untuk G*. 2. Untuk setiap sisi e di G, tariklah sisi e* yang memotong sisi e tersebut. Graf G* yang terbentuk dengan cara penggambaran demikian disebut graf dual (dual geometri) dari graf G.

114 Sebuah graf mempunyai dual hanya jika graf tersebut planar. Gambar 8.53 Pembentukan graf dual G* dari graf G V1*V1* V2*V2* e*

115 V1*V1* V2*V2*

116 d c ba e6e6 e5e5 e3e3 e4e4 e2e2 e1e1 e7e7 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 Gambar 8.54 (a) (b) Graf isomorfik ●●

117 ● d c ba e6e6 e5e5 e3e3 e4e4 e2e2 e1e1 e7e7 (a) a b c d e* 7 e* 6 e* 5 e* 4 e* 3 e* 2 e* 1 Dual dari gambar 8.54 (a)

118 a b c d e* 7 e* 6 e* 5 e* 4 e* 3 e* 2 e* 1 e* 2 e* 3 e* 4 e* 5 e* 6 e* 7 Dual dari gambar 8.54 (a)Dual dari gambar 8.54 (b) Gambar 8.55 tidak isomorfik

119 11.Lintasan dan Sirkuit Euler Definisi : Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan tersebut kembali ke simpul asal, membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup ini dinamakan sirkuit Euler. Jadi, sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.

120 Graf yang mempunyai sirkuit Euler dinamakan graf Euler. Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi Euler.

121 Contoh 8.40 : Lintasan Euler gbr (a) : 3, 1, 2, 3, 4, (a) (b) Sirkuit Euler gbr (b) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1

122 Lintasan Euler gbr (a) : 3, 1, 2, 3, 4, (a)

123 (b) Sirkuit Euler gbr (b) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6,

124 Teorema 8.3 Euler Graf terhubung tak berarah G adalah: Graf Euler jika dan hanya jika setiap simpul di dalam graf tersebut berderajat genap. Graf semi Euler jika dan hanya jika di dalam graf tersebut terdapat tepat dua simpul berderajat ganjil. Graf terhubung berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama.

125 Graf terhubung berarah G : memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat keluar satu lebih besar dari derajat masuk, dan yang kedua memiliki derajat masuk satu lebih besar dari derajat keluar (a)

126 Dengan menggunakan teorema Euler jelaslah masalah Jembatan Konigsberg tidak memiliki sirkuit Euler karena semua simpul berderajat ganjil. A B C D (3) (5) (3) A B D C

127 Graf yang mempunyai sirkuit Euler harus memenuhi : 1.Graf tersebut harus terhubung. 2.Semua simpul pada graf berderajat genap. Graf yang mempunyai lintasan Euler harus memenuhi : 1.Graf tersebut harus terhubung. 2.Graf memiliki tepat 2 buah simpul berderajat ganjil. f ed c b g a ba c d

128 b a c d (b) ba cd (c) (a) Graf berarah yang mempunyai sirkuit Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a) (b) Graf berarah yang mempunyai lintasan Euler (d, a, b, d, c, b) (c) Graf berarah yang tidak memiliki lintasan dan sirkuit Euler (a) f ed c b g a

129 ● ● ● ● ● ● ● Graf bulan sabit (Mohammed’s scimitars)

130 ● ● ● ● ● ● ● Graf berarah yang mempunyai sirkuit Euler (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 3, 7, 11, 6, 4, 10, 8, 1) Graf bulan sabit (Mohammed’s scimitars)

131 Contoh 8.41 : Gambar dibawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana saja?

132

133 Contoh 8.41 : Graf tersebut terdapat lintasan Euler karena memiliki 2 buah simpul (1 dan 6) berderajat ganjil.

134 Pertemuan ke 24

135 12. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan kembali ke simpul asal membentuk sirkuit maka dinamakan sirkuit Hamilton, atau Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui 2 kali.

136 Graf Hamilton dan Graf semi Hamilton Graf Hamilton : Graf yang memiliki sirkuit Hamilton. Graf semi Hamilton : Graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton.

137 (a) (b)(c) (a)Graf yang memiliki lintasan Hamilton (3,2,1,4) (b)Graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1,2,3,4,1) (c)Graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

138 dodecahedron

139 dodecahedron Yaitu benda yang disusun oleh 12 buah pentagonal dan disini ada 20 buah titik sudut. Dan tiap titik sudut diberi nama ibukota negara. Permainan yang dapat dilakukan adalah membentuk perjalanan keliling dunia, yang mengunjungi setiap ibukota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal.

140 Gambar 8.61

141

142 Teorema-teorema Hamilton Teorema 8.6 (teorema Dirac): Syarat cukup supaya graf sederhana G dengan n  3 buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 untuk setiap simpul di G. Teorema 8.8 : Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

143 Teorema 8.9 : Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul n  3, terdapat (n-1)!/2 buah sirkuit Hamilton. Teorema 8.10 : Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul n 3,terdapat (n-1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang bersisian). Jika n genap n 4,maka di dalam G terdapat (n-2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

144 13. Aplikasi Graf Di bawah ini diberikan beberapa aplikasi yang berkaitan dengan lintasan / sirkuit di dalam graf. Lintasan Terpendek (Shortest Path) Persoalan Pedagang Keliling. Persoalan Tukang Pos China. Pewarnaan Graf.

145 Lintasan Terpendek (Shortest Path) Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot Contoh terapan pencarian lintasan terpendek : 1.Menentukan jarak terpendek atau waktu tersingkat dari kota A ke kota B. 2.Menentukan jalur komunikasi terpendek antara 2 buah terminal komputer. Lintasan terpendek akan menghemat waktu pengiriman pesan dan biaya komunikasi

146 Sebagai ilustrasi, tinjau graf berarah pada gambar Lintasan terpendek dari simpul 1 ke semua simpul lain diberikan pada tabel (diurut dari lintasan terpendek pertama, kedua, ketiga dst) Simpul asalSimpul tujuanLintasan terpendekjarak

147 Simpul asalSimpul tujuanLintasan terpendekjarak 131, ,3, ,3,4, ,545 16tidak ada-

148 Simpul asalSimpul tujuanLintasan terpendekjarak 131, ,3, ,3,4, ,545 16tidak ada-

149 Penerapan Algoritma Dijkstra pada Jaringan Komputer Jaringan komputer terdiri dari sejumlah komputer yang terhubung satu sama lain melalui saluran komunikasi (misalnya kabel, serat optik, gelombang mikro, gelombang radio). kbps: kilobit per second Yang dimaksud dengan perutean (routing) adalah menentukan lintasan yang dilalui oleh paket dari komputer pengirim (asal) ke komputer penerima (tujuan)

150 Router 2 Router 1 Router 3 Router 4 Router 5 Router 6 (560 km, 56 kbps) (350 km, 5 kbps) (1225 km, 35 kbps) (340 km, 20 kbps) Gambar 8.66 (1040 km, 10 kbps) (450 km, 30 kbps) (2275 km, 25 kbps) (1210 km, 11 kbps) (890 km, 10 kbps) Yang dilihat kbps yang terbesar

151 asaltujuanvia asaltujuanvia asaltujuanvia asaltujuanvia asaltujuanvia asaltujuanvia Router 2 Router 1 Router 4 Router 6 Router 5 Router 3 Gambar 8.68

152 Persoalan Pedagang Keliling (Travelling Salesperson Problem – TSP) Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali ke kota asal keberangkatan. 9 a b c d

153 a b c d a b c d a b c d Gambar 8.70 S 1 = (a, b, c, d, a) = = 45 S 2 = (a, b, d, c, a) = = 41 S 3 = (a, c, b, d, a) = = 32

154 Persoalan tukang pos Cina Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan Mei Gan berasal dari China 1962 mengemukakan persoalan tukang pos Cina Persoalan tukang pos cina tidak lain menentukan sirkuit Euler

155 Pewarnaan Graf Definisi 8.20 : Pewarnaan adalah memberi warna pada simpul-simpul di dalam graf sedemikian sehingga setiap dua simpul bertetanggaan mempunyai warna yang berbeda. Gambar 8.73

156 Contoh 8.44 MahasiswaMata Kuliah ABCDE

157 D C EB A D C EB A Gambar 8.74

158 Algoritma Pewarnaan Graf Algoritma Welch-Powell 1.Urutkan simpul-simpul dari G dalam derajat yang menurun. 2.Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama yang mempunyai derajat tertinggi) dan simpul-simpul lain yang tidak bertetangga dengan simpul pertama. 3.Mulai lagi dengan simpul derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut yang belum diwarna dan ulangi proses pewarnaan simpul dengan menggunakan warna kedua. 4.Ulangi penambahan warna-warna sampai semua telah diwarna.

159 Algoritma Pewarnaan Graf Simpul Derajat Warnaabbcca Contoh 8.45 :

160 Cobalah buat pewarnaan graf dibawah ini!

161 ● ●● ● ● ●


Download ppt "Pertemuan ke 21. BAB VIII 1. Pendahuluan Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google