Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Distribusi Variabel Acak ( Diskrit ). Hubungan Beberapa Distribusi Diskrit.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Distribusi Variabel Acak ( Diskrit ). Hubungan Beberapa Distribusi Diskrit."— Transcript presentasi:

1 Distribusi Variabel Acak ( Diskrit )

2 Hubungan Beberapa Distribusi Diskrit

3 Distribusi Peluang Diskrit 1.Distribusi Bernoulli 2.Distribusi Binomial 3.Distribusi Poisson 4.Distribusi Geometrik 5.Distribusi Binomial Negatif (Pascal) 6.Distribusi Hipergeometrik

4 Distribusi Bernoulli  Definisi : Variabel acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli dengan parameter p, dan ditulis dalam bentuk : X ~ BIN (1, p) X10 P(X=x)p1 - p Probability mass function (pmf) untuk distribusi Bernoulli berdasarkan tabel di atas adalah

5 Distribusi Bernoulli  Karakteristik distribusi Bernoulli : Notasi : X ~ BIN (1, p) Rata-rata : µ = p Varians : σ 2 = p (1 – p)

6 Distribusi Bernoulli Contoh : Sebuah dadu diundi. Jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sukses, tentukan fungsi peluang, rata-rata, dan varians-nya. Penyelesaian : p = P(sukses) = P(muncul angka 2 atau 4) = 2/6 = 1/3 Rata-rata : µ = p = 1/3 Varians : σ 2 = p (1 – p) = 1/3 (2/3) = 2/9

7 Contoh: 1. Jika dalam suatu permainan sebuah dadu, kejadian dadu bernilai 4 atau 6 disebut sukses, dan kejadian lainnya disebut gagal, tentukan: a. Fungsi peluangnya b. Rata-rata dan variansnya c. FPM

8 Jawab: Peristiwa sukses jika dadu bernilai 4 atau 6 Peristiwa gagal jika dadu bernilai 1,2,3,5 Peluang sukses = Peluang gagal =

9 a. b. c.

10 2. Jika fungsi pembangkit moment suatu variabel acak adalah: Tentukan simpangannya Jawab: Simpangan:

11 10/9/0111 Trial n kali trial hingga sukses pertama kali jml sukses dalam n kali trial DistribusiGeometrik DistribusiBinomial

12 Distribusi Binomial  Distribusi Binomial merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali  Misal X i ~ BIN (1, p), dan X 1, X 2, …, X n saling bebas, maka X i ~ BIN (n, p) dimana

13 Distribusi Binomial  Karakteristik distribusi Binomial : Notasi : X ~ BIN (n, p) µ = ? σ 2 = ?

14 Distribusi Binomial

15  Contoh : Pada perusahaan A, 20 persen karyawannya dikategorikan sebagai pekerja yang baik. Jika dipilih 15 karyawan secara acak, berapakah peluang : a.4 orang karyawan berkategori baik b.Paling sedikit 2 orang berkategori baik c.Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik

16 Distribusi Binomial  Jawab : Diketahui : n = 15 ; p = 0.2  1 – p = 0.8 a.4 orang karyawan berkategori baik  x = 4 b.Paling sedikit 2 orang berkategori baik  x > 2

17 Distribusi Binomial c. Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik  x < 1 P( x < 1) = P(x = 0) + P(x=1) = = 0.167

18 Contoh: 1. Bila tentukan P(0

19 2. Jika tentukan a.Rata-rata dan variansnya b. 3. dan tentukan ~ ~

20 20 jika Jadi minimal rata-ratanya coklat yang ada di biskuit adalah 7.

21 Pada percobaan Binomial, yang dicari adalah peluang sejumlah sukses atau gagal dari n kali ulangan (misalkan peluang paling sedikit terjadi sukses 3 kali dari n ulangan, dll). Jika ingin diketahui peluang sukses yang ke- k dari n kali percobaan, maka percobaan tersebut adalah percobaan binomial negatif. Distribusi Binomial Negatif / Pascal

22  Distribusi Binomial Negatif adalah pengamatan terhadap percobaan Bernoulli untuk mengamati k “sukses” dengan P(sukses) = p  Notasi : X ~ PAS( p,k )

23 Contoh: Misalkan pada percobaan pelemparan mata uang 4x, maka peristiwa yang mungkin terjadi adalah sebanyak 16 (ruang sampel = ). Ingin diketahui: peluang munculnya sisi muka (M) yang ke dua kali terjadi pada lemparan ke -4 23

24 Ilustrasi : M Lemparan 1: Lemparan 2: Lemparan 3: Lemparan 4: Tiga lemparan pertama harus menghasilkan satu M, dimana saja satu M harus terjadi dari sisa lemparan (4-1) Lemparan ke 4 sudah pasti M (yang terjadi ke 2 kalinya) 24

25 Ruang sampel: Variabel acak X menyatakan banyaknya ulangan yang berakhir tepat pada sukses yang ke- k, jika X=4 dan k=2 maka kejadiannya : {MBBM,BMBM,BBMM} 25

26 Peristiwa: 26

27 Distribusi Binomial Negatif / Pascal Contoh : Ani dan Santi bermain “ular tangga” berulang kali hingga salah satu diantara mereka menang 5 kali. Misal permainan mereka saling bebas dan peluang Santi memenangkan sebuah permainan adalah Berapa peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 ?

28 Distribusi Binomial Negatif / Pascal Jawab : Misal X adalah jumlah pengulangan permainan hingga Santi menang 5 kali, dan Y adalah jumlah pengulangan permainan hingga Ani menang 5 kali. Maka X dan Y ~ PAS (5, 0.58) Peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 adalah Berapa peluang Santi menang ? Misal A = Santi menang

29 10/9/0129 Trial Geometrik: Coba terus sampai berhasil!! s p = 3/4 q = 1 - p = 1/4 g f(1)= 3/4 s s s g g f(3)= 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/64 f(4)= 1/4 x 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/256 f(2)= 1/4 x 3/4 = 3/16 1x 2x 3x 4x Probabilitas kumulatif s/d 4x =255/256 =

30 10/9/0130 Distribusi Geometrik  Variabel random X berdistribusi geometrik dengan parameter p apabila fungsi peluangnya f(x) = (1- p) x-1 p untuk 0

31 Distribusi Geometrik  Distribusi Geometrik berasal dari distribusi Binomial dengan penekanan pada pengamatan kejadian “sukses” pertama  Notasi : X ~ GEO( p ) x = 1,2, …

32 Distribusi Geometrik Contoh : 1 set kartu (52 buah) dikocok, satu kartu diambil secara acak dengan pengembalian, pengambilan kartu dianggap sukses jika diperoleh kartu “As”. Berapa peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10? Jawab : Misal X jumlah pengocokkan sampai diperoleh “As” pertama, maka X ~ GEO (1/13)

33 Distribusi Geometrik maka peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10 adalah

34 Distribusi Hypergeometrik  Misalkan dalam suatu populasi yang berukuran N terdapat N 1 item cacat dan N 2 item tidak cacat. Sebuah sampel diambil dengan ukuran sampel n, ternyata x diantaranya merupakan item cacat, maka peluang cacat pada sampel akan berdistribusi Hypergeometrik ( X ~ HYP( n, N 1, N 2 )) dengan fungsi peluang :

35 Distribusi Hypergeometrik

36 10/9/0136  Contoh  Terdapat 20 bola dalam sebuah kotak. 12 hitam dan 8 putih.  5 bola diambil acak tanpa pengembalian.  X adalah jumlah bola hitam yang terambil dalam sampel Distribusi Hypergeometric

37 10/9/0137  Berapa peluang X? N = 20, N 1 = 12 (bola hitam), n = 5 (sampel) P[X=0] = C(12,0)C(8,5)/C(20,5) = P[X=1] = C(12,1)C(8,4)/C(20,5) = P[X=2] = C(12,2)C(8,3)/C(20,5) = P[X=3] = C(12,3)C(8,2)/C(20,5) = P[X=4] = C(12,4)C(8,1)/C(20,5) = P[X=5] = C(12,5)C(8,0)/C(20,5) = Distribusi Hypergeometric

38 SOAL 38 Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 komponen merek B. Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, berapa probabilitas bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil?

39 Distribusi Poisson Jika percobaan binomial dilakukan sampai mendekati tak hingga kali ( ), dan peluang sukses sangat kecil ( ), maka distribusi binomial akan mendekati distribusi Poisson dengan parameter Distribusi Poisson dapat dibentuk dari pendekatan distribusi binomial.

40 Distribusi Poisson  Konsep dasar Distribusi Poisson berawal dari distribusi Binomial, oleh karena itu distribusi Poisson disebut sebagai pendekatan/hampiran dari distribusi Binomial Jika X ~ BIN (n, p), n  ∞ ; np = λ µ = ? σ 2 = ?  X ~ POI (λ)

41 Distribusi Poisson Deret MacLaurin :

42 Distribusi Poisson Contoh : Dalam tabel aktuaria perusahaan asuransi “T” ditentukan bahwa peluang seorang pria berumur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah Jika perusahaan asuransi “T” tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun, berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis? Jawab : λ = 4000 (0.0002) = 0.8

43 43 Contoh 1.Misalkan X adalah variabel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Jika P(X=0)=0.2, maka tentukan P (X=2). Jawab:

44 44 2.Misalkan dalam pembuatan biskuit Goodtime, jumlah coklat yang jatuh pada biskuit mengikuti distribusi Poisson. Konsumen menginginkan agar peluang sedikitnya dua coklat ada pada biskuit ini lebih besar dari atau sama dengan Tentukan berapa nilai terkecil untuk rata-rata coklat yang ada setiap biskuit Goodtime ini. Contoh

45 45 Jawab: Misalkan variabel acak X adalah jumlah coklat yang ada pada biskuit, maka:

46 Tabel Jumlah peluang Poisson

47

48

49

50


Download ppt "Distribusi Variabel Acak ( Diskrit ). Hubungan Beberapa Distribusi Diskrit."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google