nilai mutlak dan pertidaksamaan

nilai mutlak Nilai mutlak dari sebuah bilangan riil x didefinisikan sebagai berikut:

Makna geometris Secara sederhana, makna dari |x| adalah jarak antara titik x dengan titik 0. Secara umum, makna dari |x – y| adalah jarak antara titik x dengan titik y.

Bentuk lain dari nilai mutlak Selain dari definisi di atas, nilai mutlak mempunyai bentuk lain:

Persamaan nilai mutlak Masalah umum: Tentukan solusi dari |ax + b| = k ; k  0

Penyelesaian persamaan nilai mutlak Untuk menyelesaikan masalah |ax + b| = k untuk k  0 adalah: |ax + b| = k  ax+b = k atau ax+b = –k

ContOH Selesaikan persamaan berikut: a.|2x – 5| = 7 b.|3 – ¼ x| = 1 c. |9 – ½ x| = –4 (v) d. |2x – 1| = |2 – 3x| (v) e. |5x + 1| = 2x – 2 (v)

soal Selesaikan persamaan berikut: a. |2x + 5| = |7 + 9x| b. |5x + 10| = –|3x + 6| c. |x – 7| + |2x – 4| = 5 d. |2x + 4| – |3 – x| = –1 e. |x| + |x – 2| + |x – 4| = 6 (v)

Pertidaksamaan nilai mutlak Dasar dari penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah: a. Jika a bilangan riil positif, maka |x|< a  –a < x < a b. Jika a bilangan riil positif, maka |x|> a  x <–a atau x > a

soal Selesaikan pertidaksamaan berikut: a. |3 – 2x| < 4 b. |½ x + 6|  9 c. 2 < |2 – ½ x| ≤ 3 (v) d. –1 < |4 – 5x| < 10 e. |x2 – 1| < 3

soal Selesaikan pertidaksamaan berikut: a. |x + 5| ≤ |1 – 9x| b. |2x + 10| > –|–x – 5| c. |x + 7| + |2x + 4|  5 (v) d. |2x – 4| – |3 + x| < –1 e. 4 < |x + 2| + |x – 1| < 5 f. |x| – |x – 2| – |x – 4|  6

Pertidaksamaan umum Definisi: a > b  a – b > 0 Sifat Trikotomi Jika a dan b bilangan-bilangan riil, maka memenuhi hanya salah satu dari hubungan berikut: a < b, a = b, a > b

Sifat-sifat PERTIDAKSAMAAN a > b, b > c  a > c a > b  a + c > b + c a > b, c > 0  ac > bc a > b, c < 0  ac < bc ab > 0  a > 0, b > 0 atau a < 0, b < 0 ab < 0  a > 0, b < 0 atau a < 0, b > 0 a > b > 0 atau 0 > a > b  1/a < 1/b

Sifat-sifat PERTIDAKSAMAAN

Menyelesaikan pertidaksamaan Hal-hal yang dapat dilakukan Menambah sebuah bilangan yang sama kepada setiap ruas pertidaksamaan Mengalikan setiap ruas pertidaksamaan dengan bilangan riil positif Mengalikan setiap ruas pertidaksamaan dengan bilangan riil negatif, namun kita harus merubah arah tanda pertidaksamaan yang ada. Kuadratkan tiap ruas, namun kita harus pastikan bahwa nilainya positif semua di setiap ruasnya.

contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2 Penyelesaian 2x – 7 < 4x – 2  2x < 4x + 5 (menambah 7)  –2x < 5 (menambah –4x)  x > –5/2 (mengalikan –1/2)  Himpunan penyelesaian = {x R | x > –5/2} = (–5/2 ,)

CONTOH Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan –5  2x + 6 < 4 Penyelesaian –5  2x + 6 < 4  –11  2x < –2 (menambah –6)  –11/2  x < –1 (mengalikan ½ ) Himpunan penyelesaian = {x R | –11/2  x < –1 } = [–11/2 , –1)

soal Selesaikan pertidaksamaan berikut: a. x + 5 ≤ 1 – 9x b. 2x + 10 > –x – 5 c. x + 7 < 2x – 4 < 5 d. 2x – 4 < – 3 + x ≤ –1 + x (v) e. |x| < 3x – 2 < 6

soal Selesaikan pertidaksamaan berikut: