EKO500 Matematika Ekonomi PENGOPTIMUMAN TOPIK LANJUTAN Toni Bakhtiar Institut pertanian bogor 2010
Kendala Ketaknegatifan Misalkan diberikan fungsi utilitas dengan 1 komoditas: Ada tiga kemungkinan: Boundary solution Boundary solution Interior solution
Kendala Ketaknegatifan Syarat orde pertama: Secara umum,
Kendala Pertidaksamaan Masalah pengoptimuman dengan kendala pertidaksamaan: Dapat diubah menjadi kendala persamaan dengan menambahkan variabel dummy atau variabel slack: Dapat diselesaikan dengan metode Lagrange
Metode Lagrange Definisikan fungsi Lagrange: Syarat orde pertama:
Metode Lagrange Karena maka kondisi (2) dapat ditulis menjadi Kondisi (3) memberikan: Kondisi (2) dapat ditulis ulang tanpa melibatkan variabel dummy: Kondisi terakhir bersama-sama dengan kondisi (1) disebut sebagai kondisi Kuhn-Tucker (named after H.W. Kuhn & A.W. Tucker)
Kondisi Kuhn-Tucker Masalah: Syarat orde-1 (Kondisi Kuhn-Tucker)
Kondisi Kuhn-Tucker Masalah: Fungsi Lagrange: Kondisi Kuhn-Tucker:
Kondisi Kuhn-Tucker: Trial & Error Trial and Error: Jelas x 0 dan y 0, karena x = y = 0 menyebabkan U = 0. Akibatnya, Fx = Fy = 0:
Kondisi Kuhn-Tucker: Trial & Error Misal 2 = 0, maka y = x, sehingga y = x = 50 (melanggar kendala x 40). Haruslah 2 > 0, dan akibatnya F1 = 0, yaitu 40 x = 0. Diperoleh x = 40 dan y = 60.
Feasible Region 100 40 x y U = xy maksimum
Kondisi Kuhn-Tucker: Minimization Masalah minimisasi: Dapat diubah menjadi masalah maksimisasi: Dengan perubahan ini, kondisi Kuhn-Tucker tidak perlu dimodifikasi
Syarat Orde-2 Masalah: x* merupakan maksimum global bagi = f(x) jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: Fungsi objektif f(x) terturunkan dan konkaf Fungsi kendala gi(x) terturunkan dan konveks x* memenuhi kondisi Kuhn-Tucker