Ukuran Penyebaran Data Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Universitas Islam Indonesia

Apa itu Ukuran Penyebaran Data? Ketika kita mendengar suatu kalimat: “Rata-rata banyaknya pencari kerja di Indonesia dalam 10 tahun adalah 20 juta jiwa” Maka secara otomatis kita akan membayangkan bahwa banyaknya pencari kerja setiap tahunnya berada “di sekitar” nilai rata-rata tersebut. Ada yang sama dengan, lebih kecil, dan lebih besar dari rata-rata tersebut. Dengan kata lain, ada variasi atau dispersi dari nilai-nilai tersebut.

Ada 3 kelompok data: Kelompok nilai homogen (tidak bervariasi) Kelompok nilai heterogen (sangat bervariasi) Kelompok nilai relatif homogen (tidak begitu bervariasi) Perhatikan 3 kelompok nilai berikut: 15 15 15 15 15 Rata-rata hitung = 15 15 14 13 16 17 Rata-rata hitung = 15 25 5 15 20 10 Rata-rata hitung = 15 Jika kelompok-kelompok data tersebut digambarkan, maka:

Ukuran Penyebaran Data Nilai Jarak (Range) Simpangan Baku dan Variansi

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 =𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀𝑎𝑘𝑠−𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀𝑖𝑛 Nilai Jarak (Range) Range Data Tunggal Merupakan ukuran variasi yang paling sederhana Urutkan data dari yang terkecil ( 𝑋 1 ) sampai yang terbesar ( 𝑋 𝑛 ) Rumus perhitungan range: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 =𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀𝑎𝑘𝑠−𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀𝑖𝑛 = 𝑋 𝑛 − 𝑋 1 Contoh: Cari range dari data berikut: 50 40 30 60 70 Urutkan data: 30 40 50 60 70 Hitung range, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒= 𝑋 5 − 𝑋 1 =70−30=40

Range Data Berkelompok Untuk data berkelompok, range dapat dihitung dengan dua cara: Range = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama Range = Limit atas kelas terakhir – Limit bawah kelas pertama

Catatan: Cara I cenderung menghilangkan kasus-kasus ekstrem Contoh: Cara I Range =73−61=12 kg Cara II Range =74.5−59.5=15 kg Catatan: Cara I cenderung menghilangkan kasus-kasus ekstrem Berat Badan (kg) Banyak Mahasiswa (𝒇) 60 – 62 5 63 – 65 18 66 – 68 42 69 – 71 27 72 – 74 8

Simpangan Baku dan Variansi Simpangan Baku dan Variansi Data Tunggal Perhatikan dua jenis data berikut Variasi (penyebaran) dari setiap data terhadap pusat data (mean sampel) tercermin dari simpangannya (deviasinya), yaitu: Deviasi = Observasi – Mean Sampel = 𝑋 𝑖 − 𝑋

Untuk sembarang himpunan data, jumlah seluruh deviasi adalah 0 Contoh: Terdapat data: 10 10 12 14 14 dan memiliki mean sebesar 12, maka simpangannya adalah Untuk sembarang himpunan data, jumlah seluruh deviasi adalah 0 ∑ 𝑋 𝑖 − 𝑋 =0 Data Deviasi 10 -2 12 14 2

Untuk mengukur sebaran, kita harus mengeliminasi tanda negatif sebelum menjumlahkan dan merata-ratakannya. Cara menghilangkan tanda negatif yaitu dengan mengkuadratkan nilai deviasinya. Ukuran penyebaran data ini disebut dengan variansi. Variansi Populasi: 𝜎 2 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑋 𝑖 −𝜇 2 Simpangan Baku Populasi: σ= 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑋 𝑖 −𝜇 2

Variansi Sampel: 𝑆 2 = 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 − 𝑋 2 Simpangan Baku Sampel: 𝑆= 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 − 𝑋 2

Contoh: Jadi, variansinya adalah 𝑆 2 = 1 𝑛−1 𝑖=1 5 𝑋 𝑖 − 𝑋 2 = 1 4 16 =4 Data Deviasi ( 𝑿 𝒊 − 𝑿 ) 𝑿 𝒊 − 𝑿 𝟐 10 -2 4 12 14 2 𝑖=1 5 𝑋 𝑖 − 𝑋 2 16

Simpangan Baku dan Variansi Data Berkelompok Misalkan 𝑀 1 , 𝑀 2 , …, 𝑀 𝑘 adalah titik-titik tengah kelas yang memiliki frekuensi masing-masing 𝑓 1 , 𝑓 2 , …, 𝑓 𝑘 , maka variansinya adalah Variansi Populasi 𝜎 2 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑀 𝑖 −𝜇 2 Simpangan Baku Populasi 𝜎= 1 𝑁 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑀 𝑖 −𝜇 2

Variansi Sampel 𝑆 2 = 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑀 𝑖 − 𝑋 2 Simpangan Baku Populasi 𝑆= 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑀 𝑖 − 𝑋 2

Contoh: Modal dari 40 populasi perusahaan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut: Nilai Tengah ( 𝑴 𝒊 ) Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 118 – 126 122 3 127 – 135 131 5 136 – 144 140 9 145 – 153 149 12 154 – 162 158 163 – 171 167 4 172 – 180 176 2 Total 40

Langkah-langkah perhitungan variansi: Tentukan rata-ratanya 𝜇= 𝑖=1 7 𝑀 𝑖 𝑓 𝑖 𝑖=1 7 𝑓 𝑖 Hitung 𝑀 𝑖 −𝜇, kemudian kuadratkan yaitu 𝑀 𝑖 −𝜇 2 Hitung 𝑓 𝑖 𝑀 𝑖 −𝜇 2 kemudian totalkan Hitung variansinya yaitu 𝜎 2 untuk populasi dan 𝑆 2 untuk sampel Untuk mempermudah, lakukan semua perhitungan langsung di dalam tabel.

Rata-ratanya adalah 𝜇= 5879 40 =146 Rata-ratanya adalah 𝜇= 5879 40 =146.975 Variansi: 𝜎 2 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑀 𝑖 −𝜇 2 = 1 40 7530.95 =188.27 Simpangan Baku: 𝜎= 188.27 =13.72 Modal Nilai Tengah ( 𝑴 𝒊 ) Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 𝑴 𝒊 𝒇 𝒊 𝑴 𝒊 −𝝁 𝑴 𝒊 −𝝁 𝟐 𝒇 𝒊 𝑴 𝒊 −𝝁 𝟐 118 – 126 122 3 366 -24.975 623.75 1871.25 127 – 135 131 5 655 -15.975 255.2 1276 136 – 144 140 9 1260 -6.975 48.65 437.85 145 – 153 149 12 1788 2.025 4.1 49.2 154 – 162 158 790 11.025 121.55 607.75 163 – 171 167 4 668 20.025 401 1604 172 – 180 176 2 352 29.025 842.45 1684.9 Total 40 5879 7530.95

Latihan Hitung nilai jarak (range), variansi, dan simpangan baku dari populasi yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut: Kelas Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 0 – 4 2 5 – 9 7 10 – 14 12 15 – 19 6 20 – 24 3

Daftar Pustaka Bhattacharya, G.K., dan R.A., Johnson, 1997, Statistical Concept and Methods, John Wiley and Sons, New York. Soejoeti, Zanzawi, 2014, Metode Statistik 1, Universitas Terbuka, Tangerang Selatan. Supranto, J., 2008, Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 1, Erlangga, Jakarta. Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisi ke-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.