Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

The trigonometric Ratios, Functions, Equations and Identity

Perbandingan trigonometri Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan menggunakan klinometer  Hal.: 3 TRIGONOMETRI

Someone wants to measure a flag pole by clinometers Trigonometric Ratios Someone wants to measure a flag pole by clinometers  Hal.: 4 TRIGONOMETRI

Pengalaman Belajar Perbandingan Trigonometri Seorang siswa program keahlian bangunan ingin praktik membuat rangka atap rumah dengan ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka panjang x adalah … x m 4 m 2 m Hal.: 5 TRIGONOMETRI

Learning Experience Trigonometric Ratios A student of building construction technique wants to make a house roof frame, and the size as follows. Then the length X is … x m 4 m 2 m Hal.: 6 TRIGONOMETRI

Pengalaman Belajar Perbandingan Trigonometrri Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut elevasi 300 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450 seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara tersebut? 300 450 B A 20 m Hal.: 7 TRIGONOMETRI

Learning Experience Trigonometric Ratios The top of tower from A with elevation angle is 300 and seen from B with elevation angle 450 like in the picture. If the distance A and B is 20 meters, then what is the height of that tower? 300 450 B A 20 m Hal.: 8 TRIGONOMETRI

What is going on? Trigonometric Ratios If there are several teachers give task for the students, as follows: “A right triangle ABC has sides AC=4, BC=6 and AB=8. Then determine the A side.” Hal.: 9 TRIGONOMETRI

APA yang terjadi ? Perbandingan Trigonometri Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb: “Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi AC=4, BC=6 dan AB=8. Tentukan besar sudut A.” Hal.: 10 TRIGONOMETRI

A Glance ??? Trigonometric Ratios There isn’t any strange in the exercise that is given by the teacher, is there? The students try to calculate the side A by previously calculate Sinus A value The teachers don’t feel guilty Hal.: 11 TRIGONOMETRI

Sekilas ??? Perbandingan Trigonometri Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut? Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A Guru merasa tak bersalah Hal.: 12 TRIGONOMETRI

Trigonometric Rations How many meters the height of stair? 3 M 4M Hal.: 13 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA? 3 M 4M Hal.: 14 TRIGONOMETRI 14

Which is the longest circumference of the shape ? Trigonometric Ratios Which is the longest circumference of the shape ? 1) 2) 3) 4) Hal.: 15 TRIGONOMETRI

Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang? Perbandingan Trigonometri Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang? 1) 2) 3) 4) Hal.: 16 TRIGONOMETRI

1. Trigonometric Ratios of side The Scope 1. Trigonometric Ratios of side 2. Specific Angles ( special ) 3. Trigonometric Formula 4. Cartesius Coordinat and Pole 5. Sine, Cosine Rules and Triangle Areas 6. Trigonometric Identity 7. Trigonometric Equation Hal.: 17 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Ruang Lingkup 1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut 2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus ) 3. Rumus-rumus Trigonometri 4. Koordinat Kartesius dan Kutub 5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga 6. Identitas Trigonometri 7. Persamaan Trigonometri Hal.: 18 TRIGONOMETRI

AC Sin AOC = OC Trigonometric Ratios SINE IS A COMPARISON BETWEEN SIDE OF FRONT ANGLE AND HYPOTENUSE OF A RIGHT SIDE TRIANGLE AC OC C Sin AOC = A Hal.: 19 TRIGONOMETRI

AC Sin AOC = OC Perbandingan Trigonometri SINUS ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN HIPOTENUSA PADA SUATU SEGITIGA SIKU-SIKU AC OC C Sin AOC = A Hal.: 20 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku C OA OC Cos AOB = O A Hal.: 21 TRIGONOMETRI

OA OC Trigonometric Ratios Cosine is a comparison value between side of angle side and hypotenuse of right side triangle C OA OC Cos AOB = O A Hal.: 22 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi didepan sudut dengan sisi disamping sudut C AC OA Tan AOC = O A Hal.: 23 TRIGONOMETRI

Trigonometric Ratios Tangent is ratio value between side of angle front and side of angle side C AC OA Tan AOC = O A Hal.: 24 TRIGONOMETRI

Sudut Dalam Kedudukan Baku Perbandingan trigonometri Sudut Dalam Kedudukan Baku C X Y B C θ θ A Sudut θ tidak dlm kedudukan baku A B Sudut θ dalam kedudukan baku Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ Hal.: 25 TRIGONOMETRI

Angle in the Base Position Trigonometric Ratios Angle in the Base Position C X Y B C θ θ A Angle θ isn’t in the base position A B Angle θ is in the base position Side AB is beginning side from angle θ Side AC is limitation of side from angle θ Hal.: 26 TRIGONOMETRI

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP SINUS D E' C B A B' C' E D' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan sinus sudut A dan dilambangkan dengan sin A Hal.: 27 TRIGONOMETRI

According to the character of unvarying two right-angled triangle, so: TRIGONOMETRIC RATIOS D SINE CONCEPT E' C B A E B' C' D' According to the character of unvarying two right-angled triangle, so: The constant ratio value for that angle A is mentioned as angle A sine and denoted by sine A Hal.: 28 TRIGONOMETRI

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP KOSINUS D E' C B A E B' C' D' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan kosinus sudut A dan dilambangkan dengan cos A Hal.: 29 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC RATIOS COSINE CONCEPT D E' C B A E B' C' D' According to the characteristic of unvarying two right-angled triangle, so: The constant ratio value for that angle A is mentioned as Angle A cosine and denoted by cos A Hal.: 30 TRIGONOMETRI

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP TANGEN D E' C B A B' E D' C' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan tangen sudut A dan dilambangkan dengan tan A Hal.: 31 TRIGONOMETRI

According to the character of unvarying two right-angled triangle, so: TRIGONOMETRIC RATIOS TANGENT CONCEPT D E' C B A B' E D' C' According to the character of unvarying two right-angled triangle, so: The constant ratio value for that angle A is mentioned as angle A tangent and denoted by tan A Hal.: 32 TRIGONOMETRI

Perbandingan trigonometri Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm. Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah .... C B 5 A 10 ? didapat 5V3 Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3 Hal.: 33 TRIGONOMETRI

Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3 TRIGONOMETRIC RATIOS Given triangle ABC, the angle is at C. The lenght AB side = 10cm, BC side = 5cm. Cos A value and tan A orderly are.... C B 5 A 10 ? gotten 5V3 Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3 Hal.: 34 TRIGONOMETRI

Dikembangkan Soal Perbandingan Trigonometri Dengan mengukur panjang tangga BC, dan mengukur besa sudut ABC, dan menggunakan konsep sinus, maka siswa ditugasi untuk menentukan ketinggian lantai II dari dasar lantai. C Tangga B A Hal.: 35 TRIGONOMETRI

The expanded exercise TRIGONOMETRIC RATIOS By measuring the length of BC stairs, and measuring the size of ABC angle, and using the sine concept, then the students are given task to determine the height of second floor from base floor. C Stair B A Hal.: 36 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri C Dengan mengukur besar sudut BAC dan jarak AB, serta menggunakan konsep kosinus maka siswa dapat menentukan panjang tali pancang AC, yang sudah waktunya diganti itu! Tali pancang Tiang A B Hal.: 37 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC RATIOS B C By measuring the size of BAC angle and AB distance, and also using cosine concept, then the students can determine the length of the pole rope AC that must be changed! Pole rope Pole A B Hal.: 38 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Sudut khusus C R S A B D P Q ABC sama sisi panjang sisi = 2a PQRS persegi panjang sisi = 2a Hal.: 39 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC RATIOS Specific Angles C R S A B D P Q Equilateral ABC The sides = 2a A square PQRS The sides = 2a Hal.: 40 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Dengan menggunakan gambar di atas, tentukan nilai perbandingan : 0o 300 450 600 900 …. Hal.: 41 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC RATIOS By using the picture above, determine the ratios value: 0o 300 450 600 900 …. Hal.: 42 TRIGONOMETRI

Perbandibgan Trigonometri Sudut Khusus 45o 90o 1 V2 sin 45o = ½ V2 1 cos 45o = ½ V2 tan 45o = 1 sin 30o = ½ cos 30o = ½ V3 30o tan 30o = 1/3 V3 2 V3 sin 60o = ½V3 cos 60o = ½ 90o 60o 1 tan 60o = V3 Hal.: 43 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC RATIOS Specific Angles 45o 90o 1 V2 sin 45o = ½ V2 1 cos 45o = ½ V2 tan 45o = 1 sin 30o = ½ cos 30o = ½ V3 30o tan 30o = 1/3 V3 2 V3 sin 60o = ½V3 cos 60o = ½ 90o 60o 1 tan 60o = V3 Hal.: 44 TRIGONOMETRI

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI Perbandingan Trigonometry RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri a. Relasi Kebalikan: csc α = sec α = cot α = b. Relasi Pembagian: tan α = cot α = c. Relasi “Pythagoras”: sin2α + cos2α = 1 (dan variasinya) tan2α + 1 = sec2α 1 + cot2α = csc2α Hal.: 45 TRIGONOMETRI

TROGONOMETRIC FORMULAS TRIGONOMETRIC RATIOS TROGONOMETRIC FORMULAS Relation/Base Formula of Trigonometric Function a. Opposite Relation: csc α = sec α = cot α = b. Division Relation: tan α = cot α = c. “Pythagoras” Relation: sin2α + cos2α = 1 (and its variety) tan2α + 1 = sec2α 1 + cot2α = csc2α Hal.: 46 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi Perbandingan Trigonometri 2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo Bernilai ”+” All Sin Tan Cos Hal.: 47 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC RATIOS Related Angles 2. Trigonometric Function of related angles a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo Value ”+” All Sin Tan Cos Hal.: 48 TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Hal Khusus 1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka:   sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo 2. Jika αo + βo + o = 270o, maka: sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o Hal.: 49 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC RATIOS Specific Things 1. If αo + βo + γo = 180o , then:   sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo 2. If αo + βo + o = 270o, then: sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o Hal.: 50 TRIGONOMETRI

Koordinat Kartesius dan Kutub Y Y P( x,y ) P( r,  ) x x   y r y  x X o O Koordinat Kartesius Koordinat Kutub Koordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub r2 = x2 + y2 x = r cos a tan α = Y = r sin a Hal.: 51 TRIGONOMETRI

Cartesians Coordinate and Pole Y Y P( x,y ) P( r,  ) x x   y r y  x X o O Cartesians Coordinate Pole Coordinate Pole Coordinate to Cartesians Cartesians Coordinate to Pole r2 = x2 + y2 x = r cos a tan α = Y = r sin a Hal.: 52 TRIGONOMETRI

Rumus Trigonometri dalam Segitiga Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC: 2. Aturan (rumus) kosinus: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ cos α = atau cos β = cos γ = Hal.: 53 TRIGONOMETRI

Trigonometric Formula in Triangles Sine Rules (formula) in ABC Triangles: 2. Cosine Rules (formula): a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ cos α = or cos β = cos γ = Hal.: 54 TRIGONOMETRI

Rumus Trigonometri dalam segitiga Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian? U AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o = 400 + 1024 – 640 220o = 784 O 160o 60o 20 AB = 28 32 A Jarak antara kedua kapal 28 mil B Hal.: 55 TRIGONOMETRI

Trigonometric Formula in Triangles From a quay, boat A travels with 10 knot speed (mil/hour) to the 160o and boat B to the 220o with 16 knot speed. So what is the distance of two boats two hours later? U AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o = 400 + 1024 – 640 220o = 784 O 160o 60o 20 AB = 28 32 A The distance between two boats is 28 mil B Hal.: 56 TRIGONOMETRI

Rumus trigonometri dalam segitiga C 20 37 B 51 A Berapakah nilai tan A dan sin B? cos A = sehingga cos B = cos B = sehingga sin A = Hal.: 57 TRIGONOMETRI

Trigonometric Formula in Triangles 20 37 B 51 A Find tan A value and sin B? cos A = so cos B = cos B = so sin A = Hal.: 58 TRIGONOMETRI

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT Rumus selisih sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β   1. Rumus jumlah sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β   2. Rumus sudut rangkap Sin 2α = 2 sin α cos α Cos 2α = cos2α – sin2α   Rumus setengah sudut 2 sin2 ½ α = 1 - cos α 2 cos2 ½ α = 1 + cos α Hal.: 59 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC FUNCTION FORMULAS OF TWO ANGLES The Difference Formula sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β   1. Addition Formula sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β   2. Double Angle Formula Sin 2α = 2 sin α cos α Cos 2α = cos2α – sin2α   A half Angle Formula 2 sin2 ½ α = 1 - cos α 2 cos2 ½ α = 1 + cos α Hal.: 60 TRIGONOMETRI

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT 3. Rumus sudut rangkap tiga Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α Hal.: 61 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC FUNCTION FORMULA OF TWO ANGLES 3. Triple angles formula Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α Hal.: 62 TRIGONOMETRI

Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Fungsi Sinus/Kosinus 1. Hasil kali sinus dan kosinus 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α – β) 2 cos α sin β = sin(α + β) – sin(α – β) 2 cos α cos β = cos(α + β) – cos(α – β) –2 sin α sin β = cos(α + β) – cos(α – β) atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β) 2. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) Hal.: 63 TRIGONOMETRI

1. Multiplication Result of sine and cosine The difference, Addition Formula and Division Result of Sine/cosine Function 1. Multiplication Result of sine and cosine 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α – β) 2 cos α sin β = sin(α + β) – sin(α – β) 2 cos α cos β = cos(α + β) – cos(α – β) –2 sin α sin β = cos(α + β) – cos(α – β) or 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β) 2. Addition and Difference of Sine/Cosine Function sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) Hal.: 64 TRIGONOMETRI

IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap pengganti nilai variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1 Buktikan ! sec4 – sec2 = tan4 + tan2 Hal.: 65 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC IDENTITY Identity is an open sentence which has true value for every its variable value substitution for example : sin2α + cos2α = 1 Prove ! sec4 – sec2 = tan4 + tan2 Hal.: 66 TRIGONOMETRI

IDENTITAS TRIGONOMETRI Bukti: Hal.: 67 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC IDENTITY Prove: Hal.: 68 TRIGONOMETRI

IDENTITAS TRIGONOMETRI Bukti: Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan Ruas kiri: Ruas kanan: sec4 – sec2 tan 4 + tan 2 = sec2(sec2 – 1) = tan 2(tan 2 + 1) = sec 2 x tan 2 = (sec 2 – 1) sec 2 = (1 + tan 2) x tan 2 = sec 4 – sec 2 = tan 2 + tan 4 = ruas kiri (terbukti) = tan 4 + tan 2 = ruas kanan (terbukti) Hal.: 69 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC IDENTITY Prove: Alternative I From left space Alternative II From right space Left space: Right space: sec4 – sec2 tan 4 + tan 2 = sec2(sec2 – 1) = tan 2(tan 2 + 1) = sec 2 x tan 2 = (sec 2 – 1) sec 2 = (1 + tan 2) x tan 2 = sec 4 – sec 2 = tan 2 + tan 4 = left space (proven) = tan 4 + tan 2 = right space (proven) Hal.: 70 TRIGONOMETRI

Persamaan Trigonometri Sederhana Rumus I : 1). Jika sin x  sin  maka: x   + k. 360 atau x  (180  ) + k. 360 , k  B 2). Jika cos x  cos  maka : x   + k. 360 atau x    + k. 360, k  B 3). Jika tan x  tan  maka : x   + k. 180 k  B Hal.: 71 TRIGONOMETRI

Simple Trigonometric Equation Formula I : 1). If sin x  sin  then: x   + k. 360 or x  (180  ) + k. 360 , k  B 2). If cos x  cos  then : x   + k. 360 or x    + k. 360, k  B 3). If tan x  tan  then : x   + k. 180 k  B Hal.: 72 TRIGONOMETRI

Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol PERSAMAAN TRIGONOMETRI Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol 1). Jika sin x  0 maka: x  k.180 , k  B 2). Jika cos x  0 maka: x  90 + k.180 , k  B 3). Jika tan x  0 maka: x  k.180 , k  B Hal.: 73 TRIGONOMETRI

Formula II : At the same condition is equal to zero TRIGONOMETRIC EQUATION Formula II : At the same condition is equal to zero 1). If sin x  0 then: x  k.180 , k  B 2). If cos x  0 then: x  90 + k.180 , k  B 3). If tan x  0 then: x  k.180 , k  B Hal.: 74 TRIGONOMETRI

Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif PERSAMAAN TRIGONOMETRI Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif 1). Jika sin x  - sin   sin (-) maka: x  -  + k. 360 atau x  (180 + ) + k. 360 , k  B 2). Jika cos x  - cos   cos (180 +  ) maka: x  180 +  + k. 360 atau x  - 180 -  + k. 360 , k  B 3). Jika tan x  - tan   tan (-) maka: x  -  + k. 180 , k  B Hal.: 75 TRIGONOMETRI

Formula III : Equation contains negative value TRIGONOMETRIC EQUATION Formula III : Equation contains negative value 1). If sin x  - sin   sin (-) then: x  -  + k. 360 or x  (180 + ) + k. 360 , k  B 2). If cos x  - cos   cos (180 +  ) then: x  180 +  + k. 360 or x  - 180 -  + k. 360 , k  B 3). If tan x  - tan   tan (-) then: x  -  + k. 180 , k  B Hal.: 76 TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut: Untuk 0 ≤ x < 360: a) sin x0 = sin 400 b) cos 2x0 = Jawab: a) sin x0 = sin 400  x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360 untuk k = 0 → x = 40 k = 0 → k = 140 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140} adalah {30, 150, 210, 330} Hal.: 77 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC EQUATION Example Determine the soluton set of the trigonometric equation below: For 0 ≤ x < 360: a) sin x0 = sin 400 b) cos 2x0 = Answer: a) sin x0 = sin 400  x = 40 + k.360 or x = (180 – 40) + k.360 For k = 0 → x = 40 k = 0 → k = 140 So the solution set is {40, 140} is {30, 150, 210, 330} Hal.: 78 TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI b) cos 2x 0 = cos 2x 0 = cos 60 0 maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360 x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180 untuk k = 0 → x = 30 Untuk k = 1 → x = 2100 k = 1 → x = 150 k = 2 → x = 330 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {30, 150, 210, 330} Hal.: 79 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC EQUATION b) cos 2x 0 = cos 2x 0 = cos 60 0 then 2x = 60 + k.360 or 2x = -60 + k.360 x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180 for k = 0 → x = 30 for k = 1 → x = 2100 k = 1 → x = 150 k = 2 → x = 330 So the solution set is {30, 150, 210, 330} Hal.: 80 TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI Soal : 1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm, dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah .... 2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km Hal.: 81 TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRIC EQUATION Exercise : 1.Given ABC triangle, AC =25 cm, BC=40 cm, and the length of high line from C, is CD=24 cm. Cos A and tan B value orderly is.... 2. Two boats leave a quay at the same time. The first boat sails in the bearing of 030° with 8 km/hour, while the second boat sails in the bearing of 090° with 10 km/hour. The distance of two boats after sailing for 3 hours is ... km Hal.: 82 TRIGONOMETRI

Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti gambar berikut: Penerapan ke prgram keahlian Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti gambar berikut: Hitunglah panjang AB A B 2,20 m 35,30 28,50 10,30 m panjang AB adalah 3,14 m Hal.: 83 TRIGONOMETRI

A roof frame of a building is like the next picture: Application to the competence program A roof frame of a building is like the next picture: Calculate the length of AB A B 2,20 m 35,30 28,50 10,30 m The length of AB is 3,14 m Hal.: 84 TRIGONOMETRI

Perhatikan gambar: jarak AB = 12,6 cm jarak BC = 21,97 cm Penerapan ke program keahlian 18 cm 400 950 700 A B C Perhatikan gambar: Hitunglah jarak AB Hitunglah jarak BC jarak AB = 12,6 cm jarak BC = 21,97 cm Hal.: 85 TRIGONOMETRI

See the picture: The distance of AB = 12,6 cm Application to the competence program 18 cm 400 950 700 A B C See the picture: The distance of AB = 12,6 cm The distance of BC = 21,97 cm Calculate the distance of AB Calculate the distance of BC Hal.: 86 TRIGONOMETRI