AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG BARISAN DAN DERET AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG

1. Pola Bilangan Adalah: susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu Contoh: 1,2,3,4,5…mempunyai pola bilangan ditambah satu dari bilangan sebelumnya. 2. Barisan Aritmatika Adalah: suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku berurutan (beda) selalu tetap. a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b),…,(a + (n-1)b) Suku ke- n ditentukan dengan rumus: Un = a + (n-1)b Dimana: a = suku pertama b = beda = Un - Un-1 INGAT!!!

Suku barisan adalah bilangan – bilangan dalam suatu barisan. suku pertama = U1 suku kedua = U2 suku ketiga = U3 …………………………………….. suku ke -n = Un

Contohnya : 1, 3, 5, 7, … U1 = 1 U2 = 3 U3= 5 U4 = 7 5, 10, 15, 20, … U1 = 5 U2 = 10 U3 = 15 U4 = 20

Rumus suku ke-n Misalnya suatu barisan aritmatika mempunyai suku pertama a dan b. barisan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : a a+b a+2b a+3b a+4b … +b +b +b +b +b

Perhatikan : Dari pola diatas didapatkan bahwa suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah Un = a + (n – 1 )b U1 = a U2 = a + b U3 = a + 2b U4 = a + 2b U5 = a + 2b U1 = a + (1 – 1 )b U2 = a + (2 – 1 )b U3 = a + (3 – 1 )b U4 = a + (4 – 1 )b U5 = a + (5 – 1 )b

Contoh soal…….. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 3, 8, 13, 18, … Jawab : Suku pertama atau a = 3 Beda atau b = 5 Rumus suku ke-n = Un = a + (n – 1 )b Un = 3 + (n – 1 )5 Un = 3 + (5n – 5 ) Un = 3 + 5n – 5 Un = 5n – 2

Pada suatu barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke-2 adalah 0,dan suku ke-5 adalah 6 Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut Jawab : U2 = 0 → a + b = 0 ….( 1 ) U5 = 6 → a + 4b = 6 - ….( 2 ) -3b = -6 b = 2 untuk b = 2 maka berdasarkan (1) dapat diperoleh a = -2 jadi, suku pertama dan beda barisan tersebut berturut – turut adalah a = -2 dan b = 2 Berdasarkan hasil diatas diperoleh : Un = a + (n – 1 )b Un = -2 + ( n – 1 )2 Un = -2 + ( 2n – 2 ) Un = -2 + 2n – 2 Un = 2n – 4 jadi, rumus suku ke-n barissan tersebut adalah Un = 2n – 4

Sisipan B.A = U1, U2, U3, . . . Un Misalkan U1 = x suku awal U2 = y suku akhir Dengan b = Un – U(n-1)

diantara U1 dan U2 disisipkan bilangan sebanyak Sehingga didapat : b = y - ( x + kb ) b = y – x – kb kb + b = y – x b ( k + 1 ) = y – x b = Setelah sisipan

Jadi beda barisan aritmetika yang terbentuk : Keterangan : x = bilangan pertama y = bilangan terakhir k = banyak sisipan b = beda b =

Contoh Soal : 1). Diantara 10 dan 13 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dari barisan tersebut! jawab : x = 10 y = 13 k = 3 b =

Lanjutan jawaban : B.A = 10,(10+b), (10+2b), (10+3b),13 =

Deret Aritmatika Pengertian : Deret adalah jumlahan berurut suku-suku dari suatu barisan . Jumlah suku deret aritmatika dinyatakan dengan Sn

Rumus Deret Aritamtika Bentuk umum

Bentuk umum deret aritamtika Sn = U1 + U2 + U3 + U4 +…+ Un atau Sn = a+[ a+b] +[a+2b] +[a+3b]+…+[a+(n-1)b]

Rumus Deret Aritmatika Sn = jumlah suku ke-n a = U1 = suku pertama b = (U2 – U1) = beda suku n = banyak suku Un = suku ke-n dengan Un = [a + ( n – 1 ) b ]

1 m kedua biayanya bertambah Rp5.000,00 Contoh : 1 Seorang pembuat sumur dengan ketentuan biaya penggalian sebagai berikut: 1 m pertama biayanya Rp30.000,00 1 m kedua biayanya bertambah Rp5.000,00 1 m ketiga biayanya bertambah Rp5.000,00 demikian seterusnya, jika biaya penggalian seluruhnya habis Rp525.000,00 maka tentukan dalamnya sumur tersebut

Diketahui : a = 30.000 b = 5.000 Sn= 525.000 Ditanyakan: n Jawab : Sn = n/2 {2a + (n – 1)b} 525.000 = n/2 {2(30.000) + (n – 1) 5.000} 525.000 = n/2 {60.000 + 5.000n – 5.000} 1.050.000 = 55.000n + 5.000n2 n2 + 11n – 210 = 0 (n +21) (n – 10) = 0 n = -21 atau n = 10 Jadi dalamnya sumur itu adalah 10 m.

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki perbandingan(rasio) antara dua buah suku terdekat berturut-turut selalu tetap. Contoh : Barisan geometri 1. 1, 3, 9, 27, ... 2. 3, 6, 10, 25, … Tentukan rasio dari masing-masing contoh di atas dan apakah merupakan barisan geometri?

Contoh 1 : 1, 3, 9, 27, ... rasio : 1, 3, 9, 27, ...merupakan barisan geometri karena mempunyai perbandingan(rasio)tetap yaitu 3. Contoh 2 : 3, 6, 10, 25, … rasio : 3, 6, 10, 25, …bukan merupakan barisan geometri karena perbandingan(rasio)tidak tetap.

Rumus barisan geometri Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah dengan Keterangan : Un = suku ke-n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio

Contoh : Tentukan suku ke 8 dari barisan geometri berikut 2, 6, 18, 54, …! Jawab : Barisan geometri 2, 6, 18, 54, …

Deret Geometri maka deret geometrinya adalah Deret Geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah maka deret geometrinya adalah Bentuk ini dikenal sebagai jumlah n suku pertama deret geometri, yang dapat dinyatakan n, a, dan r.

Untuk itu, gunakan sifat bahwa rasio antara dua suku berurutan selalu r dengan proses berikut. Kita tuliskan hasil ini dalam teorema berikut tentang suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri.

Teorema Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri Pada deret geometri dengan suku pertama = = a dan rasio deret = r, dengan maka suku ke-n deret ini adalah dan jumlah n suku pertamanya adalah

Contoh Pada suatu deret geometri, jika suku pertamanya adalah 7, suku terakhirnya adalah 448 dan jumlahnya 889, tentukan rasio dan banyaknya suku deret tersebut. Jawab: Jika deretnya maka kita mempunyai dan

dan dari diperoleh sehingga dan dari diperoleh sehingga . Gantikan data ini pada persamaan terakhir diperoleh

Gantikan r = 2 ke persamaan sehingga Jadi rasio deret adalah 2 dan banyaknya suku deret adalah 7

Deret Geometri konvergen ( tak hingga )

Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan dari suatu deret geometri yang jika deret tersebut kita jumlahkan,maka kita tidak dapat menghitung banyak seluruh deret geometri tersebut. Atau dapat kita tuliskan : U1 + U2 + U3 + ….. contoh : 1 + 2 + 4 + 8 + …..

Jika suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan pendekatan jumlahnya, maka deret tersebut dinamakan deret yang konvergen. Contoh : a. 1000 + 100 + 10 + 1 + 0.1 + ….. b. 100 – 50 + 25 – 12½ + ….. Rasio masing - masing deret tersebut adalah 0.1dan -½

Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut terletak pada interval -1< r < 1 atau |r| < 1

Rumus jumlah deret geometri tak hingga Jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

Contoh 1 : Carilah jumlah deret geometri berikut. Jawab : sehingga,

Contoh 2 : Diketahui jumlah tak hingga 4 dan rasionya ½, maka tentukanlah suku pertamanya ! Jawab : Sehingga, Jadi suku pertamanya adalah 2

Soal 1. Carilah jumlah deret geometri berikut 2 Soal 1. Carilah jumlah deret geometri berikut 2. Diketahui jumlah tak hingga 4 dan suku pertamanya 16, maka tentukanlah rasionya !

Deret Geometri tak terhingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1. Jumlah S dari dert geometri tak hingga adalah Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu:

Kasus Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n →∞, nilai rn makin besar. Untuk r < -1, n →∞, dengan n ganjil didapat rn →∞ Untuk r < -1, →∞, dengan n genap didapat rn →∞ Untuk r > 1, rn →∞ didapat rn →∞ Akibatnya, Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar).

Contoh 1 : Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut! Jawab:

Sehingga didapat r = 2 Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar = 8, kalian mendapatkan a.2 = 8 sehingga a = 4 Jumlah n suku pertama deret ini adalah :

Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah :

h0= ketinggian mulamula 6 m. Sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian 6 m. pada setiap pantulan, bola memantul dan mencapai ketinggian dari ketinggian semula. Tentukan panjang lintasan yang terjadi hinggabola benar-benar berhenti.   Jawab Panjang lintasan total bola hingga berhenti dinyatakan oleh deret berikut h0= ketinggian mulamula 6 m.

Dengan demikian, anda dapat menuliskan

Dapat anda lihat bahwa: Merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan a = 4 dan r =2/3 .Oleh karena itu, jumlah dari deret tersebut (dimisalkan D) adalah Dengan demikian: Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola sampai bola berhenti adalah 30 m.